测地线方程01 广义相对论的粒子运动方程，也称短程线方程，相当牛顿力学第二定理的运动方程

来源: 于 2011-07-18 18:08:00 [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 本文已被阅读：次

测地线方程是广义相对论的粒子运动方程，也称短程线方程，相当牛顿力学第二定理的运动方程。它和场方程构成了广义相对论的基础。因此知道测地线方程是如何导出的对正确理解测地线方程是很有帮助的。本贴只是一个浅谈，想通过一个最简单的导出方法做一介绍。有点帮助的话，望顶一下，不对的望批评指正。

测地线是指在一个弯曲空间中连接两点最短的一条线。广义相对论告诉我们，弯曲空间的粒子是沿测地线运动的。所以测地线实际上就描述了弯曲空间的粒子运动的轨迹。

首先，设有一个矢量u(i)，括号中的i为u的上标。为了直观，先从三维空间中理解，即：i=1,2,3。首先我们来考虑“矢量平移”，把该矢量u(i)沿着一条线移动，如果保持和该线切向角度不变的话，则称这样的移动称为“矢量平移”。由定义可知，如果是沿直线移动的话，该矢量移动前后是相等的；如果是在曲线上移动的话，就不相等了。反过来，根据移动前后的矢量有无差异，也可知道是在直线上移动还是在曲线上移动。同理，在四维时空中，我们根据一个矢量移动平移前后的差异也可判断空间是平直还是弯曲的。
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2楼

现在来看这个矢量u(i)在一个四维弯曲时空中的平移：
把u(i)放在一个弯曲面上的某条曲线上的A点，并和该曲线切线成一定角度。然后使该矢量沿曲线平移（保持和该曲线切线的角度不变）至距离为δx(k)处的B点。此时，我们知道这个平移后的新矢量和原来的矢量u(i)是不同的，它们之间有个差值δu(i)。其实，现在我们并不知道这个差值的大小，但可以知道，它肯定和这条曲线上所移动的距离δx(k)大小有关，而且还和原来的矢量u(i)大小有关。这样的话，给一个比例系数Γ(i,jk)，就可写出下面的关系式：

δu(i)=-Γ(i,jk)*u(j)*δx(k) ――― ①

这里的比率系数Γ(i,jk)实际上就是所谓的“第二类克氏符号”，前面加一负号，主要是为了后面推导的方便。式中的(i,jk)表示Γ的上下标，“，”之前的i表示上标，“，”之后的jk表示下标。下面亦同。

再回过头看看，通过上面的平移，在B点有了两个矢量：

1、u(i)在B点应有的矢量：u(i)+du(i)
2、u(i)平移到B点的矢量：u(i)+δu(i)

3楼

好了，我们可以定义测地线了。此时，这两个矢量如果相等，就是A点到B点 的最短距离了，即测地线。

u(i)+du(i)= u(i)+δu(i)

变形：

du(i) - δu(i) = 0 ――― ②

代入①式，得：

du(i) + Γ(i,jk)*u(j)*δx(k) = 0 ――― ③

两边同除dτ

du(i)/dτ + Γ(i,jk)*u(j)*δx(k)/dτ = 0 ――― ④

即：

du(i)/dτ + Γ(i,jk)*u(j)*u(k) = 0 ――― ⑤

又可写为：

d^2x(i)/dτ^2+Γ(i,jk)*dx(j)/dτ*dx(k)/dτ=0 ――― ⑥

这，就是测地线方程。

比例系数Γ(i,jk)被称为第二类克氏记号，是度规g(jk)的函数，它不是一个张量。弯曲空间确定的话，即度规g(jk)已知的话，Γ(i,jk就可算出。

在⑥式中，如果Γ(i,jk)=0,则为平直的闵氏空间。

即：

d^2x(i)/dτ^2 = 0

这就是牛顿理论中粒子的匀速直线运动方程。

4楼

好，完工！

差不多都是初中的代数了。应该能理解吧？

5楼

呵~

60.18.122.*

6楼

广义相对论的时空线元,完全可以摆脱场方程,由狭义相对论和麦克斯韦方程导出,而且引力波的波动方程就是麦克斯韦波动方程的翻版!
测地线方程可以轻易的由时空线元的变分求得!

7楼

好贴

8楼

应该加精了。

9楼

谢谢加精！

对广相有兴趣的人不多啊？

10楼

好帖子。简洁

11楼

呵呵，写得挺清楚的。

很多人可能有些误解，觉得凡是提到测地线方程就必然和相对论相关，其实测地线方程并不是相对论特有的，事实上经典力学下的＊自由＊粒子运动方程（不严格的来说，如果引入广义力的概念，非自由运动粒子的方程也可以写成测地线方程的形式，不过方程的又端不再是0而已）也可以被写成测地线方程的形式（当然经典力学里方程是3维，即张量指标只包含三个空间维度，而测地线方程里的对原时的导数，在经典力学里要换成对时间的导数）。尤其是在从笛卡尔坐标到其他坐标系的变换下(比如到球坐标系)，经典力学里测地线的方程也具有三维空间里的协变性（即方程的形式不随坐标系改变而改变）。

相对论场贡献之一在于，爱因斯坦场方程告诉了我们如何从时空中物质／能量的分布（能动张量）来计算出时空度规，从而从时空度规来推导出测地线方程（运动方程）里所必须的联络系数（克利斯多福符号）。

210.77.8.*

12楼

加了联络的经典方程

13楼

11楼说得不错。从所言可知，11楼不是一般爱好者中的高手，很可能是一专家，在这个吧里很少见。希望有空也来做点科普。这个吧在前任吧主历风和现任吧主们的努力下，真的很不错。

14楼

peng_56 :我又给你重新整理一下,有错的地方请指出

15楼

2

16楼

测地线确实不是相对论的创造。
早在18世纪，欧拉就已经证明：被约束在光滑曲面上的物体的运动曲线是测地线。

17楼

3

18楼

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19楼

xj51075107：谢谢你，非常正确。现在看了一下，如果能把各符号的意义和矢量在曲线上平移的图形加上去就很完美了。

拉普拉斯：对的，测地线方程是曲面几何的一个内容。实际上在非相对论大地测量中经常用到。

20楼

6楼：当然，测地线方程有很多方法可以导出，变分法也是常用的。但个人认为，本贴给出的方法比较简明，在物理上好理解，在数学上导出简单、而且易学易懂。

“广义相对论的时空线元,完全可以摆脱场方程”不知是什么意思？
场方程决定空间的弯曲程度，也就是决定度规g(jk)。没有场方程就决定不了空间的弯曲程度，就谈不上广相了。

其实，测地线方程也可很方便的由场方程导出来。不妨作为一问题，看哪位能导出，贴出为盼。
（如果有兴趣又不知如何导，可说一下，我提示或给出。）

60.18.43.*

21楼

就是一个二阶的协变微分,拉格朗奇函数还能由场方程导出呢!究竟有什么用处呢?

60.18.43.*

22楼

由场方程导出的能量动量方程,物质的能量动量是一个张量形式,而引力却无法表成张量的形式,这在当时就有人非议,一个理论应当是对称的,完美的,才容易让人接受!而场方程就明显缺乏对称性!

23楼

说的确实挺清楚，但个人认为，仍然是给已经懂了的人写的。。。呵呵
要讲明白克氏符号，就得要讲清楚张量，要从仿射空间,指标升降,协变逆变这些基本的概念讲起啊。
另外，贴中使用了einstein求和约定，应该说明一下，d和δ的微妙区别也应该做出说明。

24楼

23楼：

我倒是觉得，如果只是在经典力学的框架下，克利斯多福符号并没有那么难讲述清楚，我就见过人教经典力学，一上来就是讲矢量和基的概念，然后直接从a=dv/dt和基矢量的时间导数（de/dt）的角度阐述，整个课程第一节课30分钟的时候就讲完了克利斯多福符号的概念。

事实上，如果不是为了让测地线方程形式更加简洁，个人感觉克利斯多福符号并不是必须的，矢量的平移以及协变微分，其实从李导数和矢量互易的角度讲述更加清楚且不容易引起不必要的误解，毕竟这一整套数学里面，单独放一个不是张量的东西在里面，看着比较别扭。

25楼

invariant您好,

欢迎您的又一次光临,听一位吧友说美国要做太空迈---莫实验,这是真的吗?另一个GP-B实验的全部数据结果都出来了吗?另外还有什么关于验证相对论的实验,您是否能提供点信息.

最后预祝您涉及的实验项目顺利!成功!祝您工作愉快!

26楼

拉普拉斯：你说的很有道理，如果能从基础讲起，就更好理解了。你现在正在写的“相对论力学简明入门”很不错。希望能把这些基础问题作为一节写进去。

我这个贴是这样考虑的：

1、我在此贴中，整篇都不敢提“张量”二字，即使是“克氏符号”也只说是一比例系数，是怕吓跑一些人（我知道有些喜欢物理的朋友是比较讨厌数学的）。也是想做到深入浅出，让对相对论感兴趣的朋友知道，“测地线方程”不过如此简单。

2、对广义相对论感兴趣的朋友，多多少少会看一点张量的。而且本贴只涉及到一阶张量（即矢量），一点张量代数，而不涉及二阶张量、张量分析（协变微分）等。所以对张量稍稍有点了解的人应该是能看懂的。

3、如果真能看懂，并有兴趣的朋友，就会想：哦，原来克氏符号还有这么大的用啊。就会继续提出问题，如：克氏符号如何确定？矢量平移怎么会测量出空间的弯曲等等？这样能带着问题学，就可进入一个良性的学习状态。

前面有个朋友提出应该用变分法。不错，稍稍学过变分法的人一看就知道，这个问题是典型的泛函问题。泛函是怎么说的？解决多条曲线函数的极值函数问题。但是，对于没学过变分法的人来说，绝对又是一头雾水。我认为，数学式过多，数学名词过多，都很打击人学习相对论的积极性。

27楼

阿Shen,

我没有听说单纯的太空的干涉仪实验，另外我以前曾经跟你说过的NASA和ESA合作的LISA实验（LISA本身是一个空间的引力波探测器，但从本质来说是一个干涉仪）也因为经费和技术上的原因被推迟了，这个消息对于和我一样主要搞引力波的人来说是个坏消息。（在四个被归为NASA的"超越爱因斯坦"的计划里面，最先实施的会是一个有关宇宙暗能量的JDEM实验，而LISA会在JDEM之后再付诸实施，你可以搜索NASA beyond Einstein找到更多的相关信息）。
GP-B相关的信息我最近没有怎么留意，frame dragging方面的数据分析似乎还在进行之中，不过似乎的第二级实验数据已经上载到nasa的网上数据库里，如果你感兴趣，可以在下面这个链接里找到相关的信息(在第一栏"data collection name"里输入"gravity probe-b"，然后点击"submit'即可):
http://nssdc.gsfc.nasa.gov/nmc/DatasetQuery.jsp
GP-B的第三级实验数据会在下个月放到网上，第1和第2级数据对于非GP-B的数据分析项目内部的人来说非常的难用，因为你需要一个非常庞大的数据库字典，否则你完全无法知道数据文件里每一项所对应的具体物理量，第三级的数据对非相关人员应该是比较有用的，如果你关心此方面的进展，可以留意GP-B的网页。
其他直接且单纯检验相对论的我知道的不多，但从我比较熟悉的领域来说，如LIGO之类的实验，实验的重点当然在于观测引力波，但观测到引力波之后，其具体的能量范围，波形等等是否和相对论预言的相符，这也是实验里很重要的一部分，从这个角度来说，现在进行的很多的实验，都是检验相对论的平台。

28楼

谢谢您invariant 先生提供信息!我对实验的注意力主要集中在实验给出的结果.具体分析数据没有能力,如果您感兴趣,我提供两个实验的方法供您参考,一个地球纬度的不同,迈莫实验的微扰不同,这也与地球纬度上引力不同有关.高度的不同迈莫微扰也不同,这些与飞机原子钟东慢西快也是有关联的,这个实验相对你成本不高好做你可以作为参考,另一个相对地球表面的运动,不满足迈莫实验地球原地性的各向相等性,而是满足运动参照下的各向相等性.证明相对论这是起决定性的.一个实验证明相对论的对错应该这里,我提供的实验供您参考.特别是相对地球运动这一快.不管是什么结果,那么会让反相与维相的一方永远闭上嘴的!我感觉应该是这样的.

微扰那个我给个结果,赤道的微扰值是大于两侧纬度的微扰的.这个您做一下对您没有坏处.如果实验成功你就把这一现像称作米勒现象,算作对他的纪念吧.

我所说的只作为你的参考,您也可以当作笑话,你应该相信我一次.我是不相信纸上谈兵,就愿意看实验,实验能检验物理一切条件.

再一次谢谢您给我及吧里提供信息.真的谢谢您!祝您事业有成!

29楼

阿shen:
想跟你说一点有关实验物理的小常识。首先，现有的实验物理、尤其是比较重大的实验，在具体进行实验之前，是需要进行大量的理论工作的。你尊重物理实验这一点是值得认同的，但我觉得你还需要注意的一点就是，在提出一个实验之前，你至少需要估算一下你的理论和现有理论对于这个实验的结果的预言上，究竟有多大的差别（至少在数量级上你需要给出一个大概的估计范围），如果这种差别是在现有的实验精度下可以检测到的，那么至少从这一点来说这个实验就是有去付诸实施的必要，反之这样的实验就不会被任何严肃的实验物理工作者所重视。

我这里且不说你的那个吸水球的理论是对是错，单单从你仅仅凭“xx和xx是有关联的”就建议一个实验上来说，我觉得你的做法至少不是一种非常严肃的科学态度。任何实验都有误差，都有背景噪声的效应，否则实验物理工作者也不用在每个实验数据后面都加上一个误差范围。比如你按照你的理论来说干涉仪的图案会因为经纬度的不同而不同，那么这种纬度带来的两束光的相位差究竟有多大？是千分之一，还是10^(-22)，这些看上去可能仅仅是数值的不同，但是涉及到实验工作者来说，就需要考虑用什么样的激光，什么样的反射镜悬挂系统，是否需要考虑激光的高斯光束特性，是否需要考虑光的量子特性，这些都需要花费大量的人力物力（比如LIGO就是要测干涉仪光臂长度变化精确到10^(-21)的量级，这种情况下反射镜就比需要用一个巨大的纯蓝宝石晶体，单单一个镜子就要花费上百万甚至千万美元，更别说整个光路长达4公里的管道都需要抽到超高真空的花费了）。

所以我的建议，1）你需要对现有的物理实验条件有一个大概的概念，什么样的测量，具体的精度大概是多少，这个心里要有个数；2）对于你脑子里冒出来的每一个实验，如果你觉得有意义的，首先先估算一下数量级，比如你说“微扰”，那么这个微绕具体有多大，对原子钟的快慢有大的影响，或者对干涉仪干涉图会有多大的变化，这些数值如果只是要估算的话，都是非常简单和基本的，如果你对自己的理论足够重视，就应该静下心来把这些被实验物理工作者的东西估算出来。

30楼

呵呵，invariant先生果然是一相对论专家。查了一下发言记录，好像是在美国研究引力波的。对你来说，这儿简直是幼儿园了，哈哈。

顺便请教一下，LISA计划为什么被推迟了？经费当然是很大一个问题（好像是要发射6个卫星和地球同步绕太阳旋转），还有没有其它原因？比方说，发现引力波除了验证相对论，其它的意义到底有多大？当然，根据引力波穿透性强的特性，可以确认发生源和途中的一些信息。其它还有哪些意义？有多大？实惠点说吧，发现了能不能得诺贝尔奖？（哈哈，利禄薰心啊。）