四维速度01，我们这样定义：四速度定义成dt/ds，ds是间隔,时间分量为dt/dτ,dx/dτ, 空间分量dy/dτ, dz/

来源: marketreflections 于 2011-07-18 17:54:42 [] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 阅读数 : (58831 bytes)

dτ是什么物理量

 

29楼

固有时。

有些书把四速度定义成dt/ds，
ds是间隔

四维速度，我们这样定义：
它的时间分量为dt/dτ
它的空间分量为dx/dτ, dy/dτ, dz/dτ。
分母是dτ。
读者可能很容易猜到为什么要这样定义

三维矢量和四维矢量

1楼

本文算作是“根梁老师学SR”活动的一个补充阅读资料，目的在于向大家介绍为什么要引入四维矢量。
顶

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4楼

大家在学中学物理的时候，就接触到了矢量。
当时接触到的矢量都是三维矢量，有3个空间上的分量。
比如说速度v，有三个分量：v_x, v_y, v_z。
v的定义式：v = ds/dt，
或分量表达式：v_x = dx/dt, v_y = dy/dt, ...
（中学生读者可以把“d”看成Δ，即v = Δs/Δt, v_x = Δx/Δt等等）

因为后面在讲四维矢量的时候，还要提到速度v，所以这里多提一句：
三维速度v，是一个依赖于参照系的物理量——选不同的参照系，物体的速度会不同。
这是大家上中学时熟知的知识。

5楼

牛顿力学把时间和空间割裂开来，所以，中学学到的矢量都只考虑它的3个空间分量。
而相对论把时间和空间看成是一体的。在相对论中，矢量除了空间分量，还有时间分量。

设想，你以房间的某个墙角作为坐标原点，建立一个直角坐标系。假设一直蟑螂在t = 1时从墙角起飞，t = 3时飞到了坐标值为（1,1,1）的地方。
学过高中物理的人，很容易把蟑螂的位移画出来——原点指向（1，1，1）点的一个箭头。
或者直接说：蟑螂的位移是（1，1，1）；
或者可以把位移写成分量：
Δx = 1,
Δy = 1，
Δz = 1。

以上就是三维语言中的位移。
要表示成四维语言，无非把时间也加上去就可以了。
换句话说，这时候我们描述这只蟑螂的位置，不但要写它的空间坐标，还要写上相应的时间：(t,x,y,z)。（更专业点的书会写成(x^0,x^1,x^2,x^3)，“^”表示上标，x^0就是表示t，x^1表示x，余类推。）
对于这只蟑螂来讲，它在t = 1时处于原点，因此，可以写成坐标(1,0,0,0)。“蟑螂在t = 1时处于原点”，这件事情，是一个“事件”（event），（事件概念梁教授课程第一课就有讲到。）我们称之“事件A”。
蟑螂在t = 3时处于坐标（1，1，1）处，同样是个事件，称之为“事件B”，可以写成坐标(3,1,1,1)。

于是，我们就可以用四维语言写出蟑螂的位移。
Δt = t_B - t_A = 2
Δx = x_B - x_A = 1
Δy,Δz类推。
方便起见，这里写了分量式。
这个位移就是四维矢量。

6楼

可以看到，四维矢量的位移(t,x,y,z)，除了3个空间分量外，还有一个时间上的分量。
三个空间分量是蟑螂在空间中的运动（从一个地方运动到另一个地方），而时间分量，大概可以理解为“物体在时间中的运动”。
即使蟑螂在你面前静止不动，它在空间中没有运动，但它照样会在时间中运动。

稍稍提醒一下：(t,x,y,z)中的t，是你的时间，而非蟑螂的固有时。
你在墙角建立一个坐标系的同时，手里还拿了个标准钟，换句话说，你建立了一个四维坐标。因此，你才能测量出各事件在你的四维坐标中的坐标值。

8楼

接下来谈谈“位移长度”的问题。
还是从三维矢量的位移开始：
(x,y,z)。
我们知道，矢量长度的表达式是：
ΔL^2 = Δx^2 + Δy^2 + Δz^2
（为避免打根号，本贴中的长度表达式都表示成平方。）
这长度有一个特点，即：你换个坐标系，
比如说，你现在不以墙角为坐标系了，以屋顶中心为原点，建立一个直角坐标系。
这样的话，
蟑螂的初、末位置都会变，
Δx, Δy, Δz也会变，但长度ΔL是不变的。

9楼

现在来看四维语言中的位移长度。这个“长度”我们用ds表示。（没学过微积分的同学同样可以把ds理解成Δs，后面的dx,dy也类似。）
但这个长度我们写成：
ds^2 = -dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2
要注意，dt^2前面有个负号。
为什么要加负号？
因为只有这样做，才能保证在坐标变换下，四维位移矢量长度ds不变。
（四维坐标变换分类见：http://tieba.baidu.com/f?kz=619503239，57L。其中的boost对应的就是洛仑兹变换公式。读者对此还不清楚的话，务必学习一下前面的课程。）
事实上，四维位移矢量的长度专门有个名称，我们叫它“间隔”。有篇文章值得参考：
http://tieba.baidu.com/f?kz=459562427

10楼

这里我们就可以看出四维坐标比三维坐标的好处。
8L中的ΔL，并不是在所有坐标变换下都是不变的
——如果是boost，ΔL就会变。常提到的尺缩效应就是一个证明。

而9L中的ds，是所有坐标变换下都不变的一个物理量。

11楼

接下来看速度。
三维速度的定义：v = ds/dt，
或分量表达式：v_x = dx/dt, v_y = dy/dt, ...
很容易计算出那只蟑螂的三维速度，在此就不多说了。

四维速度，我们这样定义：
它的时间分量为dt/dτ
它的空间分量为dx/dτ, dy/dτ, dz/dτ。
分母是dτ。
读者可能很容易猜到为什么要这样定义。

12楼

这样定义的话，四维速度矢量的“大小”，也就是“矢量长度”，可以写成：

u^2 = -(dt/dτ)^2 + (dx/dτ)^2 + (dy/dτ)^2 + (dz/dτ)^2
（注意：等号右边第一项同样有个负号，和间隔的表达式类似。）

这个长度，在参照系变换下，是不变的：
u^2 = (-dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2)/dτ^2 = ds^2/dτ^2

式中，间隔ds，以及固有时dτ，都是参照系变换下的不变量，因此，它们的比值也必然是个不变量。
如果你听过梁老师前面的课，就知道这个比值是-1。
所以，u^2 = -1。

13楼

我们看看这个结论能带给我们什么启示。
四维速度矢量的“长度”——也就是说四维速度的大小，是个不变量。
这意味着：一个运动的物体，我们换个参照系去看它，它的运动（三维速度）会变；但是它在四维时空中的运动快慢却不会变。
换句话说，三维速度大小（在空间中运动快慢）不同的物体，其在时空中的运动快慢是一样的。
有些物体在空间中运动得快一些，换句话说，它的四速度的空间分量要大些，那么，它在时间中就“运动”得“慢”一些。这就体现为“钟慢效应”。（读者可以自己画时间轴。）
你相对于你自己而言，始终是静止的，换句话说，在你自己的坐标系中，你不在空间中运动，只在时间中“运动”（你的世界线就是t轴）。在你看来，你手上带的表总是最快的——所有钟运动快慢一样，但其它钟会走走弯路，往空间方向跑跑，而你是一个劲直接往时间方向冲的。（当然了，有个默认的前提，就是你是闵氏空间中的惯性观者。）

14楼

另外，四维矢量的“长度”不变，这暗示了四维矢量是绝对的，是一个不依赖于坐标系的量。
你可以在一张纸上画一个箭头，代表矢量。
现在，纸上只有箭头，没有坐标系。
你为了描述这个箭头，可以画上一个坐标系：
箭头的起点为坐标原点，箭头末端有个坐标读数：(x,y)。
于是你就可以用一组坐标值(x,y)描述这个箭头。

你可以画另外一个坐标系，这样的话，描述这个箭头的坐标值会不同，用(x',y')表示吧。但你知道，不同的坐标值描述的都是同一个箭头。
换句话说，箭头是不依赖于你画的坐标的一个“绝对”的东西。

四维矢量也一样。
不同的坐标系，相当于不同的观者。
换个观者，物体运动的四维速度的分量会变：(u_t, u_x,u_y,u_z)各个值会变，变成(u'_t, u'_x,u'_y,u'_z)，
（用速度变换公式可以很容易得到u'_t等。）
但这个变化和四维速度本身无关。四维速度它本身并没有变，只是你看它的角度变了而已。

所以说，四维速度是绝对的。初学物理时强调过：运动是相对的，描述物体的运动，一定要事先声明参照系。
相对论告诉我们：运动是绝对的，描述物体的运动，不依赖于参照系。但前提是你要用四维语言描述。
另外，在计算时，为了方便起见，往往还是取一个参照系比较方便（但这并非必须）。取了参照系后，就要用4个分量来描述四维矢量，这4个分量依赖于参照系的选择。

15楼

之所以普通物理课一直强调：运动是相对的；强调参照系，
这是因为，以往都是用三维矢量来描述物体的运动，
这就相当于给四维矢量做了个3+1分解，这个分解是和参照系相关的。
听过梁老师课的，应该知道3+1分解是什么意思。这里不多解释，同样做个比喻。
以14L举的箭头的例子来说，
箭头本身是绝对的。但假如你现在看不到整个箭头，只能观察到箭头在x方向上的投影，这样的话，在你看来，这个箭头的长度是和坐标系选取相关的。于是你会得出结论：这个箭头是和坐标系选取有关的一个东西，根据你选取的坐标系不同，它的长短会改变。

16楼

所有的四维矢量，都能够造出一个在坐标系变换下的不变量。
所以，所有四维矢量都是“绝对”的。
四速度如此，四加速也是如此。

17楼

另外，还可以很容易得到一个结论：
四加速总是垂直于四速度。

这是因为四速度的大小不变，所以，四加速在四速度方向上的分量必然是0。
（可以类比匀速圆周运动，速度大小不变，所以加速度始终垂直于速度。若不然，切向加速度就会改变速度的大小。）

124.235.128.*

18楼

插楼表示支持

19楼

ls已经晚了...

20楼

顶起来，学习学习！

21楼

好贴!

22楼

难得！

23楼

顶，聊表支持之意~~

24楼

吧主，Dimensions II 那个视频什么时候出来啊？

25楼

不知道……我经常去看的，还没出来。

26楼

晕，等得恼火```

27楼

up

116.26.211.*

28楼

四维速度，我们这样定义：
它的时间分量为dt/dτ
它的空间分量为dx/dτ, dy/dτ, dz/dτ。
分母是dτ。
读者可能很容易猜到为什么要这样定义。


dτ是什么物理量

29楼

固有时。

有些书把四速度定义成dt/ds，
ds是间隔。

30楼

量子力学里说：
对于几率波函数而言， 速率不是厄米算符，因此没有物理意义。

能不能把相对论抽象成: 本征函数， 算符， 本征值 ---- 就是把相对论转成矩阵力学。

31楼

在相对论框架下， 速率会是一个什么样的算符，真的很让人期待

202.38.220.*

32楼

读读书吧，不要胡思乱想

33楼

能不能这样理解，物体在三维世界的速度越快，它在四维世界的波体积就越大？当然，如果这样理解是对的，那么任何物体在四维空间都是有一个极限波体积的，那就是其波体积不可能超过三维世界的光速那么大。。。
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