对空域中比波长还要小的精细结构，或者说空间频率大于的信息，在单色光照明下不能沿方向向前传递。光在自由空间传播时，携带信息的能力是

来源: 于 2011-07-18 15:33:26 [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 本文已被阅读：次
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第九讲 标量衍射的角谱理论

平面波的复振幅的传播

  • 三个空间频率不能相互独立,由于 所以


  • 平面波的复振幅即平面波方程可以写为



  • 其中

  • 该式表达了在任一距离z的平面上的复振幅分布，由在 平面上的复振幅和与传播距离及方向有关的一个复指数函数的乘积给出
  • 这说明了传播过程对复振幅分布的影响，已经在实质上解决了最基础的平面波衍射问题

复振幅分布的角谱

  • 对任一平面上的光场复振幅分布作空间坐标的二维傅里叶变换，可求得其频谱分布
  • 设有一单色光波沿 方向投射到 平面上，在 处光场分布为 其频谱分布可由二维傅里叶变换计算得到为

  • 由于各个不同空间频率的空间傅里叶分量可看作是沿不同方向传播的平面波，因此称空间频谱为平面波谱即复振幅分布的角谱
  • 同时有逆变换为

  • 上式说明，单色光波在某一平面上的光场分别可以看作是不同传播方向的平面波的叠加，在叠加时各平面波有自己的振幅和位相，它们的值分别为角谱的模和幅角。

平面波角谱的传播

  • 复振幅分布的空间频谱以平面波传播方向的角度为宗量表示为



  • 而 平面上的光场分布 和 平面上的光场分布 可以分别记作





  • 研究角谱的传播就是要找到上面两个角谱，即 平面上的角谱和 平面上的角谱之间的关系

复振幅分布及其角谱的传播

从亥姆霍兹方程讨论传播规律

  • 将 表达式代入亥姆霍兹方程,改变积分与微分的顺序，可以推导出，二阶线性微分方程

  • 该二阶常微分方程的一个基本解是


  • 平面上的角谱 为因而有


  • 最后得到两个平行平面之间角谱传播的规律为





两平行平面间角谱传播规律的意义

  • 在由已知平面上的光场分布 得到其角谱

  • 可以利用两个平行平面之间角谱传播的规律求出它传播到 平面上的角谱

  • 再通过傅立叶反变换求出其光场分布 。

  • 实际上这就是自由空间衍射的数理模型，即光传播的角谱分析方法

  • 还需要说明一点的是，两个平行平面之间角谱传播的规律也可以由平面波的复振幅传播规律直接导出，这从前面的例题已经可以看出。

传导波与倏逝波

  • 当传播方向余弦此 满足 时

经过距离 的传播只是改变了各个角谱分量的相对位相，引入了一个位相延迟因子

这是由于每个平面波分量在不同方向上传播，它们到达给定的点所经过的距离不同

  • 对于 的情况，角谱传播公式中的平方根是虚数，得到

  • 其中

  • 是个正数，因此说明一切满足 的波动分量，将随 的增大而按指数 衰减。在几个波长的距离内很快衰减到零。称为倏逝波 。

自由空间传播的传递函数

  • 在满足标量衍射理论近似条件情况下，倏逝波总是忽略不计的，因而传递函数可表示为



  • 进而可以表示为


  • 因而，可以把光波的传播现象看作一个空间滤波器。它具有有限的带宽（见下图）。在频率平面上的半径为的圆形区域内，传递函数的模为1，对各频率分量的振幅没有影响
  • 对空域中比波长还要小的精细结构，或者说空间频率大于的信息，在单色光照明下不能沿方向向前传递。光在自由空间传播时，携带信息的能力是有限的

自由空间传播的有限空间带宽

衍射孔径对角谱的作用

  • 如图所示，在平面 处有一无穷大不透明屏，其上开一孔，该孔的透射函数为：

衍射孔径对角谱的作用（续）

  • 沿方向传播的光波入射到该孔径上的复振幅为 ，则紧靠孔径后的平面上的出射光场的复振幅 为：


  • 对上式两边做傅立叶变换，用角谱表示为



  • 由于卷积运算具有展宽带宽的性质，因此，引入使入射光波在空间上受限制的衍射孔径的效应就是展宽了光波的角谱

  • 角谱的展宽就是在出射波中除了包含与入射光波相同方向传播的分量之外，还增加了一些与入射光波传播方向不同的平面波分量，即增加了一些高空间频率的波，这就是衍射波。

衍射惠更斯—菲涅尔—基尔霍夫标量理论

  • 经典的标量衍射理论最初是1678年惠更斯提出的，1818年菲涅耳引入干涉的概念补充了惠更斯原理，1882年基尔霍夫利用格林定理，采用球面波作为求解波动方程的格林函数，导出了严格的标量衍射公式

  • 衍射理论要解决的问题是：光场中任意一点为的复振幅能否用光场中其它各点的复振幅表示出来

  • 显然，这是一个根据边界条件求解波动方程的问题。

  • 惠更斯—菲涅尔提出的子波干涉原理与基尔霍夫求解波动方程所得的结果十分一致，都可以表示成类似的衍射公式

点光源照明平面屏幕的衍射








  • 衍射公式

  • 倾斜因子

  • 复常数

菲涅尔衍射计算公式

  • 衍射公式可以适用于更普遍的任意单色光照明的情况，这是因为任意复杂的光波都可以分解为简单球面波的线性组合，把它们的贡献叠加起来

  • 根据基尔霍夫对平面屏幕假定的边界条件，孔径以外阴影区内，因此积分限可以扩展到无穷

  • 在傍轴近似下，并利用二项式近似


  • 上述近似均代入得到菲涅尔衍射计算公式

平面波角谱的衍射理论

  • 本书的重点是从频域的角度即用平面波角谱方法来讨论衍射问题

  • 前面已经讨论过频域的角谱传播问题，在由已知平面上的光场分布 可通过傅里叶变换得到其角谱


  • 其后，可以求出它传播到平面 上的角谱


  • 最后，通过傅里叶反变换可以进而得到用已知的 表示的衍射光场分布，从而得到空域中的衍射公式

平面波角谱衍射理论的基本公式

  • 作傅里叶反变换有



  • 代入在衍射平面上的角谱的表达式得到




  • 上式的四重积分是类似基尔霍夫公式的一个精确的表达式，尽管它不含三角函数，但是使用起来仍很不方便。下面还是要按照菲涅耳的办法进行化简，首先对不同传播距离衍射的情况做个直观的说明

按传播距离划分衍射区

用角谱衍射理论导菲涅耳公式（1）

  • 假定孔径和观察平面之间的距离远远大于孔径的线度，并且只对轴附近的一个小区域内进行观察，则有


  • 因而


  • 用二项式展开，只保留一次项，略去高次项，则


  • 这样四重积分式变为

。












用角谱衍射理论导菲涅耳公式（2）

  • 利用高斯函数的傅里叶变换和傅里叶变换的相似性定理有

  • 因而



  • 该式与用惠更斯—菲涅尔—基尔霍夫标量理论导出的菲涅耳衍射公式完全一样，更常用的菲涅耳衍射公式如下

菲涅耳衍射成立的条件

菲涅耳衍射成立的条件为

因而

所以观察距离满足

其中孔径的最大尺寸和观察区的最大区域分别为

这种近似称为菲涅耳近似或近轴近似 ，此时传递函数可表示为