黎曼曲面01 设想有一个由2个全同粒子组成的系统,两粒子分别位于r′和r〃处,整个系统的状态用波函数ψ(r′,r〃)来描述

设想有一个由2个全同粒子组成的系统,两粒子分别位于r′和r〃处,整个
系统的状态用波函数ψ(r′,r〃)来描述. 显然,两粒子互换位置后的状态应当
用ψ(r〃, r′)来描述.

    现在要问:ψ(r′,r〃)与ψ(r〃, r′)之间有何种关系? 回答是: 全同粒
子互换位置后不影响概率,意味着
      ∣ψ(r′,r〃)∣^2 =∣ψ(r〃, r′)∣^2            ①
解此方程,得到两解:
            ψ(r′,r〃) = +ψ(r〃, r′)                ②
            ψ(r′,r〃) = -ψ(r〃, r′)                ③
我们把能够满足②式的函数称为具有对称性的函数,而把够满足③式的函数称
为具有反对称性的函数.

为什么玻色子的波函数是对称的，而费米子相反？

浏览次数：1481次悬赏分：115 | 解决时间：2007-5-26 18:37 | 提问者：芍药系

请给出推导过程，如果没有时间请给出方法，谢谢。

最佳答案

理论上解：
要查看量子场论或量子统计方面的书籍.印象中是这样:

    设想有一个由2个全同粒子组成的系统,两粒子分别位于r′和r〃处,整个
系统的状态用波函数ψ(r′,r〃)来描述. 显然,两粒子互换位置后的状态应当
用ψ(r〃, r′)来描述.

    现在要问:ψ(r′,r〃)与ψ(r〃, r′)之间有何种关系? 回答是: 全同粒
子互换位置后不影响概率,意味着
      ∣ψ(r′,r〃)∣^2 =∣ψ(r〃, r′)∣^2            ①
解此方程,得到两解:
            ψ(r′,r〃) = +ψ(r〃, r′)                ②
            ψ(r′,r〃) = -ψ(r〃, r′)                ③
我们把能够满足②式的函数称为具有对称性的函数,而把够满足③式的函数称
为具有反对称性的函数.

    接着问:何种粒子的波函数具有对称性? 何种粒子的波函数具有反对称性? 
回答是: 玻色子不受泡利原理的限制,同一个态上的粒子数可以是任意的,意味
着允许r′= r〃.代入②式后得到的是恒等式,代入③式后得到的只能是零解,
表示概率为零,意味着“不可能”,所以说,玻色子的波函数是对称的.
    费米子要受泡利原理的限制,同一个态上的粒子数不许超过1.所以,如果 r
是代表单粒子的全部彼此独立的态参量,那么r′= r〃是不许可的.方程①只有
两种解,既然费米子不可能满足②式,那就只能是满足③式. ③式中的负号是表
示:存在着绝对值相同的异号的自旋磁量子数.泡利原理和异号磁量子数要求波
函数具有反对称的形式.


试验上解：严格的量子场论当然能解释，不过如果能用一种更简单，但却又更普遍的方法看这
个问题会有些不同的意义吧：

主要说说费米子吧（因为玻色子的行为从量子力学的角度看还是显然的），很奇怪的是泡
利不相容原理，正是因为它，才有统计上的很多奇怪的性质。
泡利不相容原理意味着交换后几率幅的变号。这里说一个简单的小实验来验证这种性质。

首先这样一点是明显的：把两个粒子交换一下对波函数的影响和把其中一个的参考系相对
于另一个旋转360度，结果都是一样的。

这样就可以自己动手来做一个小实验验证这个结论了。
准备一个纸条；
设想两个粒子的状态就又纸条两端的两个点表示，我们可以通过观察纸条是否扭转来确定
参考系是否转动；
现在交换纸条的两端，然后尽量让纸条恢复原状，你会发现，枝条的确转过了360度。

就是这么简单。交换和旋转的结果是等价的，那么波函数差一个（-1）的相位也就好理解
了。

参考资料：http://bbs.nju.edu.cn/blogcon?userid=051150043&file=1163244501