黎曼曲面01 二维环面 莫尔斯函数的极大值点个数与极小值点个数均为1，鞍点个数为2;

假定M是紧的微分流形，??为它的一个莫尔斯函数。以μ_i记指数为i的临界点个数,则μ_i<∞。设b_i为M的第i个贝蒂数(以有理数作系数的第i个同调群的维数)。那么成立莫尔斯不等式 这里 ⅹ(M)为M的欧拉示性数。由这些关系式，可以从M的拓扑结构推出莫尔斯函数的极值性质。例如对于二维环面T,已知b₀(T)＝b₂(T)＝1，b₁(T)＝2,ⅹ(T)＝0，那么环面上的莫尔斯函数的极大值点个数与极小值点个数均为1，鞍点个数为2。另一方面，若巧妙地构造莫尔斯函数,则可推出流形的拓扑结构。

 这个理论已被直接推广到无限维的希尔伯特流形，这种流形与希尔伯特空间局部微分同胚。所考虑的函数必须满足弱紧致条件