李雅普诺夫奇点

常微分方程6.3

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6.3 奇点 李雅普诺夫创立了处理稳定性问题的两种方法： 第一方法要利用微分方程的级数解，在他之后没有 得到大的发展； 第二方法是在不求方程的情况下，借助一个所谓的 李雅普诺夫函数V(x)和通过微分方程所计算出来的导数 (5.11) 的符号性质，就能直接推断出解的稳定性，因此又称为 直接法.本节主要介绍李雅普诺夫第二方法. 函数的分类对一切 x恒有V(x) ≥ 0----函数V为 常正 的; 对一切 x ≠ 0都有V(x)>0----函数 V为 定正 的; -V是定正(或常正)的----V为 定负(或常负)的. 例 函数V ( x, y) = ( x 2 + y 2 )...常正的; 函数V ( x, y) = ( x + y)2 + y 2 ...定正的; 函数V ( x, y) = sin( x 2 + y 2 ) : 在x 2 + y 2 <π 上定正的,在全平面上是 变号的; 二次型函数 V(x,y)=ax2 + bxy + cy 2 ,当a > 0且4ac b2 > 0时是 定正的;而当a < 0且4ac b2 > 0时是定负的 零解的稳定性态 零解的稳定性态 dx = f ( x ). dt (6.20) 定理4 如 果 对微分方程组(6.20)可以找到一个定正函数 V(x),其 dv 通过 (6.20)的 全导数 为常负函数或恒等于零, 则 方程 组(6.20) dt 的零解 是稳定的. dv 如 果 有 定 正 函 数 V(x),其 通 过 (6.20)的 全 导 数 为定负函 dt 数 , 则 方 程 组 (6.20)的 零 解 是 渐 近 稳 定 的 . 如 果 存 在 函 数 V ( x ) 和 非 负 常 数 , 而 通 过 (6.20)的 全 导 数 可以表示为 dv dt dV = V + W ( x ), 且 当 =0时 ,W为 定 正 函 数 ,而 当 dt ≠ 0时 为 常 正 函 数 或 恒 等 于 零 ;以 在 x=0的 任 意 小 领 域 内 都 至 少 存 在 某 个 x , 使 V ( x ) > 0, 那 么 , 方 程 组 (6.20)的 零 解 是 不 稳 定 的 dx = f ( x ). dt (6.20) dV 定理5 如果存在定正函数V(x),其通过方程组(6.20)的全导数 dt dV ( x) 为常负, 但使 = 0的点x的集中除零解x=0之外并不包含方程 dt 组(6.20)的整条正半轨线,则方程组(6.20)的零解是渐近稳定的. 6.2.2 二次型V函数的构造定理6 如果一阶线性微分方程的 特 征 根 λi 均 不 满 足 关 系 λi + λ j = 0( i , j = 1, 2,..., n ), 则 对 任 何 负 定 (或 正 定 )的 对 称 矩 阵 C , 均 有 唯 一 的 二 次 型 V ( x ) = x T Bx ( B T = B ) (6.27) 使 其 通 过 方 程 组 (6.10) 的 全 导 数 有 dV = x T Cx (C T = C ) , (6.28) dt 且 对 称 矩 阵 B满 足 关 系 式 A T B + BA = C , (6.29) 这 里 A T , B T , C T , x T 分 别 表 示 A , B , C , x的 转 置 . dx = Ax , x ∈ R n (6.10) dt 1.2.1(8):相空间、奇点和轨线相空间：不含自变量、仅由未知函数组成的空间称 为相空间。微分方程的解在相空间中的轨迹称为轨 线,轨线也可定义积分曲线在相空间中的投影。 对于方程组 dy = f (y) dt f (y) = 0 的解称为平衡解（驻定解、常数解），又称为奇点 （平衡点）。 下面转入介绍平面定性理论。本节考虑驻定微分方 程组是线性的情形下其轨线在相平面上的性态。考虑二维(平面)一阶驻定微分方程组 dx dt = X ( x , y ), dy = Y ( x , y ), dt (6.3 3) 假 设 X , Y 对 x , y 有 连 续 偏 导 数 且 X 2 + Y 2不 恒 等 于 零 . 可将方程组(6.33)改写成 在相平面上,方程组(6.33)的轨线不能相交。 dy Y ( x , y ) = dx X ( x , y ) (X ( x , y ) ≠ 0) (Y ( x , y ) ≠ 0) (6.34) (6.35) 或 dx X ( x , y ) = dy Y ( x , y ) 方程(6.34)或(6.35)满足存在唯一性定理的条件, 它们在Oxy平面 的积分曲线可看成是方程组(6.33)在Oxy相平面上的轨线。 因此,在相平面上,方程组(6.33)的轨线不能相交。 对于驻定微分方程组 dx dt = X ( x , y ), dy = Y ( x , y ), dt (6.3 3) 假 设 X , Y 对 x , y 有 连 续 偏 导 数 且 X 2 + Y 2不 恒 等 于 零 . 若(x* , y * )是方程组(6.33)的奇点,则x = x* , y = y *是方程组的解. 可以通过坐标平移将奇点移到原点(0,0)，此时,X(0,0)=Y(0,0)=0. 下面考虑驻定微分方程组是线性的情形下其轨线在相平面上 的性态，即考虑方程组 dx dt = ax + by , dy = cx + dy , dt (6.36) 我们根据奇点领域内轨线分布的不同的性态来区分奇点的不同类型。 考虑线性驻定微分方程组 dx dt = ax + by , dy = cx + dy , dt (6.36) 我们根据奇点领域内轨线分布的不同的性态来区分奇点的不同类型。 显然,坐标原点(0,0)是(6.33)的奇点,则x = 0, y = 0是(6.33)的解.若 a b c d 则此奇点还是唯一的。 微分方程组(6.36)可化成标准形式，其系数矩阵为下列四种形 式之一： λ 0 λ 1 λ 0 α β 0 , 0 λ , 0 λ , β α , ≠0 其中λ, ,α , β为实数. λ 0 λ 1 λ 0 α β 0 , 0 λ , 0 λ , β α , 下面仅标准形式的线性方程组讨论奇点的类型。按特征根为相 异实根、重根或共轭复根，分五种情形进行讨论。 情形I 同号相异实根 dξ = λ1ξ , dt dη = λ2η , dt (6.40) 情形II 同号相异实根 dξ = λ1ξ , dt dη = λ2η , dt (6.40) 情形III 重根 dξ dη = λξ + η , = λη , dt dt dξ dη = λξ , = λη , dt dt (6.42 ) 或 λ 0 λ 1 λ 0 α β 0 , 0 λ , 0 λ , β α , 情形IV 非零实部复根 dξ = αξ + βλ , dt dη = βξ + αη , dt (6.44 ) 情形V 纯虚根 dξ = βλ , dt dη = βξ , dt 定理7(p286) 作业 P293 1(1,3),3. 思考：2,4.