如果系統是定常系統,位置不顯性地相依於時間， ，則只有 不等於零。所以， ，動能是廣義速度的2 次齊次函數

来源: marketreflections 于 2011-07-12 09:02:08 [] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 阅读数 : (32518 bytes)

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廣義速度

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拉格朗日力學時常涉及廣義速度。假設一個物理系統的廣義坐標是 (q_1,\ q_2,\ q_3,\ \dots,\ q_N)\,\! ，表示廣義速度為 (\dot{q}_1,\ \dot{q}_2,\ \dot{q}_3,\ \dots,\ \dot{q}_N)\,\! 。廣義速度定義為廣義坐標隨時間 t\,\! 的導數：

\dot q_i={dq_i \over dt}\,\! 。

[编辑] 與動能的關係

在三維空間裏，一個質量為 m\,\! 、速度為 \mathbf{v}\,\! 的粒子的動能是

T =\frac{1}{2}m v^2 \,\! 。

速度是位置 \mathbf{r}\,\! 對於時間 t\,\! 的導數。應用偏微分連鎖律，可以得到

\mathbf{v}=\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\sum_i\ \frac{\partial \mathbf{r}}{dq_i}\dot{q}_i+\frac{\partial \mathbf{r}}{dt}\,\! ；

其中，q_i\,\! 是第 i\,\! 個廣義坐標，\dot{q}_i\,\! 是對應的廣義速度。

所以，

T =\frac{1}{2}m\sum_i\ \left(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_i}\dot{q}_i+\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t}\right)^2\,\! 。

將方程式展開[1]，動能可以分為三個項目表示：

T =T_0+T_1+T_2\,\! ；

其中，

T_0=\frac{1}{2}m\left(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t}\right)^2\,\! ，
T_1=\sum_i\ m\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t}\cdot \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_i}\dot{q}_i\,\! ，
T_2=\sum_{i,j}\ \frac{1}{2}m\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_i}\cdot \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_j}\dot{q}_i\dot{q}_j,\! 。

T_0\,\! 、T_1\,\! 、T_2\,\! 分別為廣義速度 \dot{q}_i\,\! 的 0 次、1 次、2 次齊次函數。如果這系統是定常系統，位置不顯性地相依於時間，\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t}=0\,\! ，則只有 T_2\,\! 不等於零。所以，T =T_2\,\! ，動能是廣義速度的2 次齊次函數。

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