共形场论01 正则量子化中， 虽然沿古典场 D j (x) = 0, 但 量子化后的 current 未必守恒, 即是说 D j

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浅谈场量子化与低维拓朴 郑日新 随著量子力学的发展, 量子化后的物理 系统恒为精密的实验所支持, 而描述量子系 统的"新"数学在某种意义下也推广了旧有的 数学. 本文尝试介绍若干低维拓朴理论与某 些场量子化理论的关联, 而"新"的精细拓朴 不变量常可理解为有关场算子的 n-"point" 相关 (correlation) 函数. 我们将提到因为这 个看法而导致研究方法改变的一个例子: 即 Donaldson 四维微分结构不变量的研究因 Seiberg-Witten 场论的看法主方程由瞬息 子 (instanton) 方程转到较易处理的某种 单极 (monopole) 方程 (现在叫 SeibergWitten 方程), 另外也提一个量子场论思想 对原拓朴问题思考方式影响的例子: 即某种 精细的三维触结构拓朴不变量的定义. 是 | φn |O|φ |2. 我们现在看一个点粒子的量 子力学, 其 Hamiltonian H (代表能量) 为 H = ( 2 /2m)2 + V (x). 这里 2 为 Laplacian 算子, V (x) 为 位能函数.( 表 Planck 常数, m 表粒 子质量) 令 x(0) 表位置算子, 即其固有 值表粒子位置, 在通常用波函数 φ 表达态 时, (x(0)φ)(y) = yφ(y) (一维时, 以 下同). 令时间 t 时的位置算子 x(t) = exp(iHt)x(0) exp(iHt). 调整 H (加一 常数) 使其最小固有值为 0, 对应的固有向量 |0 > 称为此系统的基态 (ground state). 取 t1 > t2 > > tn , 0|x(t1 ) x(tn )|0 或简单表为 x(t1 ) x(tn ) 是极重要的物 理量, 所谓的 n-point 相关函数. 在量子场 论中此等量 (见后述) 有直接的物理意义, 它 们包含了所有的物理预测. 它们也叫 Green 函数, 可验证 2-point 相关函数在某些情况 确为一般方程意义下的 Green 函数. 此 npoint 相关函数有 Lagrangian 描述, 即 用 Feynman 路径积分来表示. 对应的 Lagrangian L = (1/2)m(dx/dt)2 V (x), 作 用量 S(x()) 为 L 对时间的积分. 我们有如 4 1. 从量子化谈起对一个物理系统的描述, 须要知道什麼 是它的态 (state), 什麼是可观测的物理量 (observable). 一般描述量子物理系统中的 态是用所谓 Hilbert space的数学语言, 而物 理量则为作用其上的算子. 当我们对某物理 态 |φ > 去测量某物理量 O 时, 我们量到 的是 O 的某个固有值 (eigenvalue) λn , 这 里 O|φn >= λn |φn >, 而量到 λn 的机率 浅谈场量子化与低维拓朴 5 下的公式: x(t1 ) x(tn ) i =N [Dx]x(t1 ) x(tn ) exp(( )S(x)). 这里 N 是一个正规化 (normalization) 常 数. 注意我们用 x(t) 表时间 t 时路径 x 之位置, 也表量子化后相关之算子如前述. 积分把所有路径 x() 积掉了, 剩下的是参 数 t1 , t2 , , tn 的函数. 当物理系统由"场" (eld) 来描述 (如电磁场, 重力场等), 它 定义域中的空间座标可视为标示某粒子的参 数, 量子化后, 场变成场算子 (eld operator), 而其定义域中的空时座标仍为参数. 一 个常提的例子是 Klein-Gordon 场 , 它的 作用量 S() = (1/2) d4 x {D D m2 2 }. 这里 D 依序 ( = 0, 1, 2, 3) 表时 空的微分, 而 D 依序等於 D0 , D1 , D2 , D3 . 我们有类似点粒子的 n-point 相关函 数如下: (x1 ) (xn ) i =N [D](x1 ) (xn ) exp(( )S()). 这里 x1 , , xn 表 n 个时空点, 而如 前 (x) 在左式中表量子场 (场算子). 透过 Feynman 积分的操作可得 (D D +m2 ) (x1 )(x2 ) = δ 4 (x1x2 ). 即 (1/ ) (x1 )(x2 ) 2 2. 拓朴不变量与相关函数首先给一物理系统后, 我们会观察它有 什麼对称性, 然后导出相关守恒量, 叫 current 及 charge. 数学上来说, 即对所关切之 动力学变数 (dynamical variable) 给一 Lagrangian(density) L(, D ) 及作用量 S() = d4 xL(, D ). 其相关 EulerLagrange 方程的解叫做古典场 (classical eld). 假如 δ 表某对称作用於 的一阶 变量, 则沿古典场 计算 δS() = 0 可得 D j = 0, j = δ{DL/D(D)}. 这里 D 表偏微分. j 即由此对称产生的 current 或 current 向量. 定义在时间 t 的 charge Q(t) = d3 xj 0 (t, x). 由散度定理 容易验证 dQ(t)/dt = 0, 即是说 charge Q(t) 守恒. 注意在电磁场的情况, U(1) 对 称给出的 (j ), = 1, 2, 3, 叫电流密度, 而 Q 就是通常所称的电荷. 一般 (含时空对称) 来说, 时空平移对应的 current 叫能动量张 量 (energy-momentum tensor), 空间旋转 对应的 current 叫角动量, U(1) 规范转换对 应的 current 叫电流 (电荷) 如前述. SU(2) 规范转换对应的 current 叫 isospin 等等. 虽然沿古典场 D j (x) = 0, 但 量子化后的 current 未必守恒, 即是说 D j (x) 可能不为零. 若此情况发生, 我 们说有 (quantum)anomaly, 而此非零量 D j (x) 也叫 anomaly. 拓朴上有名的例 子是 Dirac 算子的指标 (index). 考虑一个 闭 n 维流形 M, 其上有度量, 规范场及无质 量的费米子 (fermion) φ, 度量及规范场决定 为古典运动方程 (D D + m )(x) = 0 即所谓 KleinGordon 方程的 Green 函数. 我们在后文中 将发现许多拓朴不变量均可理解为某种量子 场论的相关函数. 6 数学传播 25 卷 4 期 民 90 年 12 月 了 Dirac 算子 D, 规范对称给出了所谓 chiral current j5 (x) A(K) ≡ K|A 来研究重力的量子化. 描 述重力的度量被表为某种规范场 A. 量子化 后的波函数 φ(A) 透过几何型的 Fourier 转 换: φ∧ (K) = dAφ(A) K|A (叫 loop 转换) 可用一纽结不变量 φ∧ 来取代, 这就 是量子重力的一个态 (state). 而纽结的等价 性对应於度量的微分同胚 (dieomorphism constraint). 谈过了 n-point 相关函数中"point"是 一维 (纽结) 的情形后, 现在谈"point"是 上同调类 (可用闭曲线, 曲面等代表). 有名的一个例子是辛流形上同调的量子积 ((small)quantum product), 记为 a b, 其中 a, b 为上同调内的元素. a b 的定义包 含了相关仿全纯 (pseudoholomorphic) 曲 线的计数. 由上同调的一组基底可定出一内 积, 表为 g(, ). 另一方面, 令O(a), O(b) 等 表某一非线性 (twisted) σ-模型相关的算子, 量子积可用此模型的 3-point 相关函数来理 解, 其关系如下: g(a b, c) = O(a)O(b)O(c) . 辛流形的上同调带著 的乘法, 一般叫量子 上同调 (quantum cohomology). (对更多 细节有兴趣的读者, 可参看 [1]) = φ (x)γ5 γ φ(x). 这 里 γ5 , γ 是通常的 Dirac γ 矩阵. 沿古典 Dirac 场 φ : Dφ = 0, 易知 j5 (x) = 0. 这里 是含规范场的协变 (covariant) 微 分. 但量子化后 D j5 (x) 不一定为零, 事 实上可算出它的积分等於两倍 Dirac 算子的 指标, 记为 Index D: IndexD = (1/2) dn xD j5 (x) . 我们叫 D j5 (x) chiral anomaly.(对更多 细节有兴趣的读者, 可参考 [3]) 接著我们谈三维拓朴中的纽结 (knot) 理论. 有一个著名的 (定向) 链结 (link)(若 干个纽结相扣在一起) 不变量叫 Jones 多项 式, 记为 VK (t)(t1/2 的 Laurent 多项式), 这里 K 表一链结. 设若 K 由 n 个纽结 K1 , K2 , , Kn 相扣在一起, 可考虑规范场 绕纽结 Kj 的环移值, 记为 A(Kj ), 一般叫 做 Wilson loop. 在八零年代末期, Witten 考虑 A(Kj ) 在 Chern-Simons 规范场论下 的期望值, 发现 Jones 多项式 VK (t) 可理解 为下列 n-"point"(n-"knot") 相关函数: A(K1 ) A(Kn ) = [DA]e(ik/4π)CS(A) A(K1 ) A(Kn ) (乘以 tw(K)/4 , w(K) 为所谓 writhe 数). 这 里 t = exp(2πi/(k + 2)). 而 ChernSimons 作用量 CS(A) = (2/3)iA3 ).([4]) 另外值得一提的是物理学家 Ashtekar, Rovelli和 Smolin 等利用 Wilson loop tr(AdA 3. 量子场论对拓朴的冲击迄今冲击最大的例子首推 SeibergWitten 理论对四维流形研究的影响. 在九四 年前人们用所谓 Donaldson 不变量来了解 四维流形的微分结构, 其定义牵涉到瞬息子 (instanton) 模空间的紧致化, 技术上颇费手 脚. 令 X 表一闭四维流形, 1, , n 表 浅谈场量子化与低维拓朴 7 代表 X 第二下同调类的曲面. 相关的 Donaldson 不变量记为 DX ( 1, , n ). 想法当然是透过仿全纯曲线连系轨迹线而定 义边界算子 D (boundary operator), 进 而有同调群 (Floer type), 这就是一个触结 构不变量. 但在检验 D 2 = 0 时, 须要强的 条件, 这使得应用时大打折扣. 情况持续若干 年, 直到有人看出 D 应理解为某种场论中的 BRST 转换 δB , 而 δB 作用在相关的 (算 子) 代数上. 所以应纳入周期轨迹线作为生成 元的代数结构. 此一想法的改变使 D 2 = 0 自然成立, 无须任何条件. 而所定出的触同调 代数 (contact homology algebra) 即 δB 的 BRST 同调. 如果视相关的 BRST charge 为 Hamiltonian, 则此触同调代数可理解为 系统的"真实"基态全体. (对更多细节有兴趣 的读者, 可参看 [2]) 九 零年代初期 Seiberg 和 Witten 研究所 谓N = 2超对称 Yang-Mills 理论. Witten 看出了某些与 BRST 对称有关的算子, 记为 O( 1 ), , O( n ). 而 Donaldson 不变量可理解为这些算子的相关函数: DX ( 1, , n) n) = exp O( 1 ) exp O( . 这里 n-"point"相关函数的"point"是曲面 j. 因为有关场论的真空 (或基态) 由一复 参数 u 所描述. 期望值的积分也要对 u 做. 又因为总积分独立於 X 上度量的选取, 令 gt = tg. 然后看当 t → 0 及 t → ∞ 积分对 u 分布的变化. Witten发现当 t → 0 主要贡 献来自 u = 0, 这里用瞬息子方程的解空间 计算, 即与原来 Donaldson 不变量的定义一 致. 当 t → ∞ 主要贡献来自 u = ±∧ , 这 里应用"某单极方程" 的解空间计算. 这个单 极方程就是后来所谓的 Seiberg-Witten 方 程. 用这个方程所定的不变量比原来 Donaldson 不变量在技术上容易掌握多了, 却有 与 Donaldson 不变量相同的功用. 因此九 四年后, 整个研究方向就被 Seiberg-Witten 理论所主导了. 我们再提一个量子场论思想对原拓朴问 题思考方式影响的例子. 给一闭触 (contact) 三维流形, 我们看与触结构相关的向量场的 周期轨迹线. 想经由轨迹线的适当计数得到 触结构不变量 (contact invariant). 第一个 2 参考文献 1. D. Cox and S. Katz, Mirror Symmetry and Algebraic Geometry, Mathematical Surveys and Monographs, Vol. 68. 2. Y. Eliashberg, A. Givental and H. Hofer, Introduction to Symplectic Field Theory, Math. SG/0010059. 3. D. Friedan and P. Windey, Supersymmetric Derivation of the AtiyahSinger Index and the Chiral Anomaly, Nuclear Physics B235[FS11](1984), 395-416. 4. L. Kauman, Knots and Physics, World Scientic Pub. (1991). 5. E. Witten, Monopoles and 4-manifolds, Math. Res. Letters 1 (1994), 764-796. —本文作者任职於中央研究院数学研究所—

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贡献时间：2010-05-16

贡献者： KTJD_wuting 初试锋芒 二级

 

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数学 物理学 力学

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