张广祥 克莱因瓶01 对称的两个三角形是全等的 , 但是这两个三角形 不可能通过在平面上的 “运动” 而重合 ( 假定两个 三

来源: marketreflections 于 2011-07-04 08:58:52 [] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 阅读数 : (5296 bytes)

数学探究的一个途径 ——数学想象力 — 张广祥 　( 西南师范大学　　任何数学图形都是某种数学概念的直观表 达方式 , 是一种用于思维的科学图式. 因此数学图 形对数学结构的提示作用都是经过人的想象力实 现的 . P. Berneys 说 : 理想化特别出现在几何图形的概念之中 , 在 这种情况下可以说 , 当我们考察一些直观结构以 及形成关于这些结构的概念时 , 理想化不仅出现 在科学中 , 而且已经被本能地应用了. 在自然科学 中所有理论描述都是图式的 , 尤其是这种描述受 到某种数量尺度的限制. 图形受数量尺度限制的一个重要方面是维数 的限制 . 迄今为止我们所见到的图形都是 2 维平 面的图形 , 但是现代数学区别于古典数学的一个 重要标志是研究对象不限于特定的空间维数. 我们所生活的实际空间是 3 维的 , 因此大量 的几何形象都是 3 维的空间形象 , 用平面图形来 表达 3 维对象则首先要求一定的空间想象能力. 如果涉及高于 3 维的几何对象则要求更高层次的 几何想象能力 . 我们观察下面两幅图形. 　 400715) 在 3 维空间画 4 维的图象呢 ?求助于计算机动画能 否解决某些问题 ? 下面的克莱因 ( Klein) 瓶实际上是 4 维空间的 闭曲面 , 拓扑学教材中通常采取下面方法显示它 的图形形象 , 至于 4 维空间中的真实形象则必须 求助于几何的想象力. 克莱因瓶是想象中的一 个处处光滑 、 没有边界 、 没有 内外的一个有限闭曲面. 图 3 能显示以上所有性质 , 但图 3 的一个重要缺陷是 “自相交” , 克莱因瓶实际上是不自相交 图 3 　克莱因瓶 的 , 这是 3 维空间无法克服的 困难 . 为了解释克莱因瓶不自相交 , 我们作以下说 明. 图 4 是把一根有限长的管子 ( 圆柱) 两截口按 图中的方向粘合 , 得到的闭曲面称为环面. 图 4 　环面 图1 图2 　　由于经验和习惯我们很容易看出图 1 是一个 立体图形 , 它由 10 个体积相同的单位正方体堆积 而成 , 我们甚至已不习惯把图 1 看成一种平面图 形 . 但图 1 中抽去一些线段得到图 2 , 这是一个地 道的平面图形 . 因此把图 1 看成一个立体图形这 完全是由人的本能的想象力产生的结果. 任何立 体图形画在平面上实际上是对应的立体在平面上 的某种投影 . 投影原理可以使我们在平面上画出 立体图形 , 那么与之相关的问题是 :可否用投影法 克莱因瓶与环面的区别是圆环面截口按相反 的方向粘合 , 这在 3 维空间实现的唯一途径是刺 破柱面的管壁从内部粘合 , 自相交由此产生 ( 图 5) . 但是在 4 维空间中不必刺破管壁 , 只须把柱面 的一端口穿过第 4 维空间再回到另一端口 , 粘合 之后便得到克莱因瓶 , 在 4 维空间中的这操作不 再产生自相交 . 上面的解释可由下面的简单情形得到更形象 的理解 . 图 6 是两个平面上的轴对称图形. 平面上轴 作者简介 :张广祥 . 1970 年毕业于四川大学数学系 , 1981 年获西南师范大学硕士学位 , 现为西南师范大学教授 , 享受 国务院特殊津贴 . 注 :本文摘自张广祥教授的 《数学中的问题探究》 一书 . ' 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved. 2004 年 　第 10 期 　数学通报 1 一个特殊的曲边多边形 , 它只有一条边一个面. 把 克莱因瓶按原来的圆柱沿母线切开便成为两个默 比乌斯带 . 一个有洞的球面可以用一个圆盘 ( 平面上由 圆周围成的部分) 来补 , 因为球面上一个洞的边 界可以看成一条闭曲线 , 圆盘边界也是一条闭曲 线 . 同样的道理一个有洞的球面也可以用一条默 比乌斯带来补 , 因为默比乌斯带的边界也是一条 闭曲线 . 这样我们找到有洞 ( 一个洞) 的球面有两 种不同的补法 , 这也相当于对一个球面来说存在 一种挖补方法把球面上挖去一个圆盘再补上一条 默比乌斯带 . 这种操作把闭曲面球面变换成另一 种闭曲面 , 把这种操作简单说成在球面上添加默 比乌斯带 . 同样地可以把球面上挖去两个圆盘 , 再 把圆柱的两端分别粘合到两个洞口. 这种添加一 个环柄的球面可以通过连续变形 ( 允许曲面形状 改变 , 但不撕裂 、 不粘连) 可以变为图 4 中的环面 . 用拓扑学的术语称为与环面同胚. 有趣的是如果 球面上已经添加了一个默比乌斯带 , 则再添加 n 个环柄与添加 2 n 个默比乌斯带的球面同胚. 这样 我们用在球面上添加若干个环柄或默比乌斯带的 方法可以把球面变换成各种不同类型 ( 互不同胚) 的闭曲面 . 我们有下面重要的闭曲面分类定理 : 图 5 　克莱因瓶 对称的两个三角形是全等的 , 但是这两个三角形 不可能通过在平面上的 “运动” 而重合 ( 假定两个 三角形都不是等腰三角形) . 但在 3 维空间中左 、 右两个三角形可绕过第 3 维空间而折叠重合. 平 面上两个相同半径的圆 ( 当然是轴对称的) 可以 通过平面上的移动而重合 , 但是如果像图 6 ( b) 中 那样限制圆周的方向 , 那么同样不能通过平面中 的运动而重合 , 而必须经过第 3 维叠合才能重合 . 克莱因瓶由圆柱经过第 4 维两端粘合而得与上面 的 “叠合” 方法是同一个道理. 图6 默比乌斯 ( Mobius) 带有与克莱因瓶类似的性 质 , 默比乌斯带是一个有边界的曲面 , 它与普通的 曲面的区别是 : 默比乌斯带只有一条边 , 一个面 ( 没有正反两个面) , 因此可以把默比乌斯带看成 图 8 　有洞球面 图 9 　球面添加 一个球柄 图7 　　定理 　任何曲面或同胚于球面、 或同胚于球 面上添加有限个环柄 、 或同胚于球面上添加有限 个默比乌斯带 . 设 H ( p) 为所添加的环柄个数 , M ( q) 为所添加默比乌斯带个数. 则上面的闭曲 面同胚当且仅当对应的 H ( p) 或 M ( q) 相等 . 闭曲面分类定理是 20 世纪初拓扑学的一项 重要研究成果 , 也是人们对客观几何空间认识的 一项重大进展 . 所有这些都是人类数学想象力的 重大成就 . ( 上接第 6 页) 所以 e = cosβ 注意 ,π确定后 , 内切球就确定 , 所以 , F 是定 点 ( 焦点) , m 是定直线 ( 准线) . e 就是圆锥截线上 PF PT cosα cosβ = = = . PM OM PD cosα PD 任一点 P 到定点 F 与定直线的距离之比. ( 1) 当 β > α, 有 cosα > cosβ, 即 0 < e < 1 , 所以平面π与圆锥的截线为椭圆 ; ( 2) 当 β = α, 有 cosα = cosβ, 即 e = 1 , 所以 平面π与圆锥的截线为抛物线 ; ( 3) 当 β < α, 有 cosα < cosβ, 即 1 < e < + ∞, 所以平面π与圆锥的截线为双曲线. ? 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.

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