微分几何 §3 曲面的第二基本形式
微分几何
§3 曲面的第二基本形式 3.1 曲面的第二基本形式 前面研究了曲面的内蕴几何，而与的曲面的形式 无关，本节研究外在形式---曲面的弯曲性 曲面在一点的弯曲性，自然地用曲面偏离此点的 切平面来描述 给出曲面S 给出曲面S ： r=r(u,v) 上的曲线C： 上的曲线C u=u(s),v=v(s) P为C上一点对应参数为s，Q为其邻近点（s+△s） 上一点对应参数为s 为其邻近点（s+△ n Q p C δ M TP uuu r 1 PQ = r ( s0 + ?s ) ? r ( s 0 ) = r ( s0 )?s + （r ( s0 ) + ε）?s ) 2， ε = 0 ( lim ?s → 0 2! 由Q作 ⊥ P点的切平面点M,?s一定时,|pM|大则曲面弯曲厉害. ruuuu ruuu r r r 1 记δ =nMQ = nPQ = n(r ( s0 )?s + （r ( s0 ) + ε）?s ) 2 ) ( 2! 1r 1r 1r 2 2 = （r ( s0 ) + ε）?s ) ≈ （r ( s0 )(?s ) = n r (ds ) 2 n ( n 2! 2! 2! r r r r 2 2 2δ ≈ n r (ds ) = nruu du + 2ruv ndudv + nrvv dv 2 r r r 令L = nruu , M = ruv n, N = nrvv 有定义 定义：称 II = Ldu 2 + 2Mdudv + Ndv 2 为曲面的第二基本 形式，其中L，M，N为曲面的弯曲系数。 几何意义：曲面的第二基本形式近似地等于P的邻近 邻近 点Q到P的切平面中距离的两倍 计算公式1 r ru × rv n= = | ru × r |v ru × rv EG ? F 2 ,L = (ruu , ru , rv ) EG ? F 2 ,M = (ruv , ru , rv ) EG ? F 2 ,N = (rvv , ru , rv ) EG ? F 2 uu r 所以 II = ?dndr 可得 r uu r r 2 计算公式2：因为 ndr = 0 ? dndr + nd r = 0 uu r uu r uu r L = ?nu ru , M = ?ru nv , N = ?nv rv 例1 求球面 r = {R cos θ cos ? , R cos θ sin ? , R sin θ } 的第二基本形式 基本形式 r n 解： = {cos θ cos ? , cos θ sin ? ,sin θ } ru × rv 2 EG ? F EG ? F EG ? F r? = {? R cos θ sin ?，R cos θ cos ?， 0} 2 ,L = (ruu , ru , rv ) ,M = (ruv , ru , rv ) 2 , (rvv , ru , rv ) EG ? F 2 rθ = {? R sin θ cos ?， R sin θ sin ?，R cos θ } ? E = r? r? = R 2 cos 2 θ，F = r? rθ = 0，G = rθ rθ = R 2 r n = {cos θ cos ? , cos θ sin ? ,sin θ } r?? = {? R cos θ cos ?，R cos θ sin ?， 0} rθ? = {? R sin θ sin ?， R sin θ cos ?，0} ? rθθ = {? R cos θ cos ?， R cos θ sin ?，-R sin θ } ? 所以第二基本形式 基 II = ?( R cos 2 θ d? 2 + Rdθ 2 ) 对于曲面 r = {x , y , z ( x , y )} 有 r L = r ?n = , 1+ p + q xx 2 2 s M = r ?n = , 1+ p + q xy 2 2 N = r ?n = yy 其中： ?z ?z p= ,q = , ?y ?x t , 1+ p + q ? z ? z ? z s= ,r = ,t= ?y ?x ?x?y 2 2 2 2 2 2 2 注1 第二基本形式不是正定型： 2、参数变换下最多差有一个符号： 3.2 曲面上曲线的曲率给出曲面S 给出曲面S ：r=r(u,v)及 S上曲线C：u=u(s),v=v(s) 上曲线C P是C上一点对应参数为s，则对C有 对应参数为s，则对C r r r r = α， = k β， ⊥ α，β ⊥ α， n，β 共面,设n，β 夹角θ , 则 r n ? r r 2 II= r n( ds ) = k β n( ds ) 2 = k cos θ ( ds ) 2 = ( ds ) 2 I 2 2 2 2 n II Ldu + 2 Mdudv + Ndv ∴ k cos θ = = Edu + 2 Fdudv + Gdv I 只要在p点及与C相切的曲线，这个值不变，这就是曲面 在P点沿C方向的法曲率 定义3.4.2 设点P是曲面上曲线C上一点, k是C在点p 定义 r 的曲率,. 则称 k β 为C在点p的曲率向量 称 k β n 为在 曲率向量, 曲率向量 曲面S上的点P处沿曲线C的切方向的法曲率 法曲率.记为 k 法曲率 n (d ) 的函数 k n = f ( p, du ) 曲面法曲率是曲面上点P和方向 dv 同一点只要方向相同，则法曲率相同 S上点p的切方向d和曲面的法向确定的平面称为曲面 上一点处沿切方向的法截面 ，法截面 和曲面的交线 就是P点处沿切方向的法截线 对法曲率，是否存在一条曲线使得这条曲线的曲率就 是法曲率呢？只要 cos θ = 1 即可，这就是法截线 n 梅尼埃定理：曲面上曲线 Γ 在给定点p处的曲率中 心C就是与曲线具有相同切线的法截线 Γ 0 在同一 点p的曲线中心 c 0 在曲线C的密切平面上的投影。 Γ0 例 在球面上验证梅尼埃定理: 把梅尼埃定理中的取 为一个球面上的小圆, 取为与该小圆相切于点的大 圆. 则梅尼埃定理显然成立. 3.3 杜邦指标线 du ) 在P点沿方向dr取线段PN使得 PN = 1 dv | kn | 法曲率是曲面上点P和方向 dr=ru du + rv dv 的函数 k n = f ( p, 的点N的轨迹曲面在P点处的杜邦指标线 r r r uuur r r 1 dr 1 r u du + r v dv r = ur r PN = xr u + yr v = | kn | | d r | | kn | | r u du + r v dv | 两边平方得 曲面在一点处的杜邦指标线方程为 N Lx + 2 Mxy + Ny = ±1 2 2 曲面上点的分类 由曲面在一点处的杜邦指标线方程知是以P为中 心的有心二次曲线 椭圆点 双曲点 抛物点 平点 LN ? M 2 ? 0 LN ? M 2 ? 0 LN ? M 2 = 0 L=M =N =0 例:求证曲线的切线曲面上的点都是抛物点。 v v 证：设曲线 ( C ) : r = r ( s ) 其切线曲面的方程为 v? v u v r = r ( s ) + vα ( s ) v? u v v ? u v uv ?u r s = α ( s ) + v ? α ( s ) ? = α ( s ) + vk β , ? ? v? u v v? u ? v v ? uv 2 r v = α ( s ) , r ss = ? k vα + ? v k + k ? β + vkτ γ , ? ? v? v? v? uv v ? v r s × r v ?vk v r sv = k β , r vv = 0, n = v ? v ? = γ. vk rs × rv L = ? vk τ , M = 0, N = 0, 由于 LN ? M ≡ 0 ，所以曲面上的点都是抛物点 2 。 3.4 曲面的渐近方向和共轭方向 定义:如果P点是曲面的双曲点,则它的杜邦指标线有 一对渐近线,我们把沿渐近线的方向 (d ) = du : dv 称为曲面在P点的渐近方向.由解析几何中二次曲线 的理论可知,这两个渐近方向满足方程 L0 du 2 + 2 M 0 dudv + N 0 dv 2 = 0 L0、M 0、N 0分别表示 L、M、N 在P点的值. 曲线上的曲线,如果它上面每一点的切方向都是渐近 方向,则称为渐近曲线.渐近曲线的方程是 L du + 2M dudv + N dv = 0 2 2 命题1 如果曲面上有直线， 命题 如果曲面上有直线，则它一定是曲面上的渐 进曲线。 进曲线。 证明:因为直线的曲率 证明 因为直线的曲率 k = 0 ,所以沿直线方向的 所以沿直线方向的 法曲率 kn = k cos θ = 0 ,即 即 L du 2 + 2 M dudv + N dv 2 = 0 因而直线是曲面的渐近曲线. 因而直线是曲面的渐近曲线 命题2 命题 曲面在渐进线上一点的切平面一定是渐进曲 线的密切平面 证明:沿渐近曲线有 证明 沿渐近曲线有 kn = k cos θ = 0 得到 渐近曲线是直线,这时曲面的切平面 当 k =0 时, 渐近曲线是直线 这时曲面的切平面 过它,因此切平面又是密切平面 因此切平面又是密切平面. 过它 因此切平面又是密切平面 当 k ≠ 0, cos θ = 0时， 曲面的法向量垂直于渐近曲 线的 主法向量,因此曲面的切平面除通过渐近曲线的切线外 主法向量 因此曲面的切平面除通过渐近曲线的切线外 还通过主法向量,所以它又是渐近曲线的密切平面 还通过主法向量 所以它又是渐近曲线的密切平面. 所以它又是渐近曲线的密切平面 如果曲面上的点都是双曲点,则曲面上存在两族渐近 如果曲面上的点都是双曲点 则曲面上存在两族渐近 曲线,这两族渐近曲线 称为曲面上的渐近网. 这两族渐近曲线、 曲线 这两族渐近曲线、称为曲面上的渐近网 k = 0或 cos θ = 0. 命题3 命题3 曲面的曲纹坐标网是渐进网的充分必要条件 是 L = N = 0. L du2 + 2M dudv + N dv2 = 0, 证明: 证明:渐近网的方程是 曲纹坐标网的方程是 dudv = 0 即 du = 0或dv = 0, 若 L= N =0, 代入渐近网方程可得 Mdudv = 0, 即 du = 0或dv = 0. 反之,若 du = 0或dv = 0. 代入渐近网方程可知 L = N = 0. 设曲面上P点处的两个方向为 ( d ) = du : dv, 和 (δ ) = δ u : δ v 如果包含这两个方向的直线是P点 的杜邦指标线的共轭直径,则方向 (d )和(δ ) 称为曲 面的共轭方向 共轭方向. 共轭方向 由解析几何二次曲线理论杜邦指标线 杜邦指标线 Lx + 2 Mxy + Ny = ±1 2 2 两个共轭方向满足 两个共轭方向满足 L duδu + M (duδv + dvδv ) + N 0 dvδ v = 0 0 0 给出曲面上的两族曲线,如果过曲面上每一点, 给出曲面上的两族曲线,如果过曲面上每一点,此两族 曲线的两条曲线的切方向都是共轭方向, 曲线的两条曲线的切方向都是共轭方向,则这两族曲 线称为曲面上的共轭网 线称为曲面上的共轭网 设与曲线族 设与曲线族 Adu + bdv = 0 共轭的方向为（δ） Lduδu + M (duδv + dvδv ) + Ndvδv = 0 即有Adu+Bdv=0 （Lδu+Mδv）du+（Mδu+Nδv）=0 由方程组有非零解得共轭的方向为（δ）满足 Lδ + Mδ Mδ + Nδ u v u v A B =0 所以u线（A=0）的共轭方向δ满足Lδu+Mδv=0 若u线（A=0）的共轭方向δ是v线方向则有M=0 反之也对。有下命题 命题 命题4 曲纹坐标网是共轭网的充分必要条件是M=0 命题4 曲纹坐标网是共轭网的充分必要条件是M=0 证明：必要性已证 充分性：M=0，取du:dv=1:0； δu:δv=0:1代入共 轭条件成立.
