自然中空间的点或时空中的事件并没有任何自然的向量结构

微分几何
理解广义相对论所需的几何是简单的黎曼几何到非正定的度规的推广。幸运的是，这个推广没有引起多少重要的数学改变。随之，大多数人为理解日常生活遇到的2维表面——如一个土豆的表面——的黎曼几何而拥有的大部分直觉通常可以可靠地过渡到广义相对论中。然而也要牢记两个重要警告：（1）大多数人拥有的有关2维表面曲率的直觉是这个表面是在它存在的3维欧氏空间中弯曲的。这个曲率的外部表示必须和使这个表面本身初始平行的测地线失去平行关系相关的纯内蕴曲率表示小心区别开。而正是这个内蕴曲率表示才与广义相对论的建立相关。（2）非正定度规带来的一个新特性是空向量的出现，即，“长度”为0的非0向量。在从黎曼几何到空向量和空表面（即，处处与空向量正交的表面）上运用直觉的努力都将导致严重错误！
不管在本科阶段还是研究生阶段讲授广义相对论，我都向学生强调他们的主要挑战之一是要把他们在高中（如果不是更早）所学到的默认的有关空间和时间的一些基本的错误抛弃。我们已经讨论过一个这样的谬误，即绝对同时性的表示。通常学习广义相对论的学生对狭义相对论都已经有一定接触，所以他们知道——至少在某个水平上——狭义相对论中没有绝对同时性的表达。然而，很少有学生对自然中空间的点或时空中的事件并没有任何自然的向量结构有过哪怕模糊的理解。确实，“向量”的概念通常是在学生们的物理学教育早期通过表示空间中点的“位置向量”的概念传授给他们的！学生们是这样被教的，假定给定一个点作为“原点”，则空间中的点的相加和数乘都有意义。狭义相对论中唯一显著变化是把这样的向量空间结构从空间推广到时空：在狭义相对论里，表达空间中一点的位置向量\vec{x}被表达时空中一个事件的“4维向量”x^\mu取代。你可以象在对相对论前物理学中的普通位置向量那样对狭义相对论的4维向量进行相加或数乘。
上述情况在广义相对论中却显著地改变了，因为空间或时空的向量空间特征严重地依赖于一个平坦的几何。在广义相对论中，把时空中的两个事件“相加”不一定有意义，就像试图给土豆表面上的点定义相加一样。
那怎样才能给广义相对论中的时空几何一个准确的数学描述——或者说，同样的道理，给土豆表面的几何？对土豆表面可以定义一个点间（有限分离的）的“距离函数”表达，类似地对广义相对论中的事件（有限分离的，但足够闭合的）可以定义一个“时空间隔”的表达。但是把这些实体的几何描述建立在上述表达上将是相当笨的。相比之下更好的办法是使用无限逼近的办法，用在足够小的范围内一个弯曲的几何可以看成是平坦的思想。这些偏离平坦的部分就可以通过微分算子来描述。为了作到这点，我们先引入一个切向量的表示来描述对一点p的无穷小替代。在点p的所有切向量的集合给出了一个向量空间的自然结构，但在弯曲几何中，在点p 的一个切向量无法自然地和在另一点q的一个切向量区分开。然后我们用线性代数中的基本构造来定义更一般的表示，在点p的张量。一个特别重要的张量场（即，一个在所有p点定义的张量）的例子是度规，简单地是（不必是正定的）切向量上的内积（如后面所述）。当一个度规（任何种类的）存在时，它就自然给出了一个张量场的微分表达。这个微分表达让我们可以定义一个测地线（作为一个“尽可能直”的曲线）和曲率——可以用初始平行的测地线失去平行来定义，或者，更直接地，用张量场的连续两个导数的非交换性来定义