纤维丛 p : E → B 的一个截面 s。一个截面使得可以将底空间 B 等同于 E 的子空间 s(B)。

纤维丛 p : E → B 的一个截面 s。一个截面使得可以将底空间 B 等同于 E 的子空间 s(B)。 R2 上一个向量场。切丛的一个截面是一个向量场。 http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%88%AA%E9%9D%A2_(%E7%BA%A4%E7%BB%B4%E4%B8%9B) 從歐幾里得到微分幾何 什麼是幾何學 （第 6 頁） 陳省身 整理：林麗明

首頁 | 搜尋 ．原載於科學月刊第十八卷第六期 ‧對外搜尋關鍵字

聯絡、矢量叢、規範場論 在黎曼幾何中，Levi-Civita 平行性是一個重要的觀念。Levi-Civita 以為在黎曼幾何（廣義相對論裡的其中一種，稱為勞倫茲幾何）都有一個很基本的性質，那就是平行性；在這個時候，空間不再是只用一個坐標系表示的空間，而是需要很多不同的坐標系才能表現的「流形」(manifold)，這樣又把幾何研究的空間推廣了。所以我常有個比喻，如果我們把幾何空間的推廣和人類穿衣服的過程相對照，那麼一開始的歐幾里得幾何，便好比人在原始社會中沒有穿衣服，是裸體的；然後笛卡兒把坐標的概念加入了「赤裸」的空間，就好比人類開始穿衣服；而到了流形的階段，就好比現代人，不只穿一件衣服，還要常常換。也許有些人不太能接受這樣「奇裝異服」式的換坐標，但是沒有關係，愛因斯坦花了七年的時間，才終於接受坐標可以轉換的概念，而能從狹義相對論進展到廣義相對論。空間中有不同的坐標系，那麼麻煩就來了，因為幾何的性質是和坐標系的選取有關，不過不要緊，只要我們能控制坐標變換的性質，使在變換前即有的性質，經過變換之後仍為我們所控制，那麼換坐標就沒關係了，這是近代幾何學比較困難的地方。 用以表示流形的坐標系是任意的，因此可能是非線性的坐標，這在處理上就變得比較困難;但是我們可以取線性的空間去逼近流形。換句話說，雖然流形本身是非線性的，但在流形上的一點，都有一個和普通空間一樣的線性空間，即切空間。這些切空間之間原本是沒有關係的，而 Levi-Civita 平行性就是要建立二點之間的切空間的關係；之後，微分幾何學家發現，這個平行性是非常基本的性質。又因為拓樸學 (topology) 的發展，我們把這個觀念推廣了，不一定要談切空間，任意一個空間都可以，於是就有矢量叢 (vector bundles) 和聯絡 (connections) 的觀念。也就是說流形的切空間差不多是平的，但是矢量叢卻可以是一個豎起來的空間，任何的矢量空間都可以，這是今天在幾何上大家所公認的一個基本結構。從黎曼幾何推廣到有聯絡的矢量叢，這也就是物理上規範場論 (gauge field) 的數學基礎。

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• 微分几何 求导（或求微）的对象从函数推广到向量场（就是向量丛的截面，如切向量场和余切向量场）， 定义域则移到了整个流形上（不再是 -marketreflections- ♂ (3721 bytes) () 06/29/2011 postreply 15:27:53