空间?度量的本质?
在外尔的几何三部曲中，联系仿射联络空间与度量空间这两个环节的关键就是微分几何的基本定理：在黎曼流形或外尔流形上，存在唯一与黎曼度量gij 或外尔度量 (gij, φk)相容的无挠仿射联络 Γ和 wΓ。从1920年之后，外尔开始发问，这个定理的逆命题是否成立？【11】或者说，采用二次齐次微分式来定义度量的依据何在？我们能否从一个更直观的基础出发，利用自由运动的合同公理，并假设上述逆命题成立，从而说明黎曼或外尔度量假设的合理性呢？
这就是外尔所说的 ?空间问题? (Das Raumproblem)。在黎曼或外尔几何中，线元的长度表示为二次齐次微分式的平方根，用外尔的话讲，就是?在无穷小范围内毕达哥拉斯定理是成立的?。外尔把这个度量假设称作?空间度量的毕达哥拉斯本质?，有时简称为?空间的本质?或?度量的本质? ( die Natur der Metrik)，因为它是与空间中点的位置无关的。在外尔的用语中，?度量的本质?是与?度量在各点的相对定向?比照而言的，后者的意思是说， 空间各点的切空间中可以作自同构线性变换，从而改变度量表达式中 n(n+1)/2个项的系数。 外尔之所以考虑这个问题，旨在为他的?纯粹无穷小几何?奠立一个更牢固的、更合理的基础。我们知道，外尔的?纯粹无穷小几何?是他用来统一引力场和电磁场的数学框架，但这个统一场论先后遭到了爱因斯坦和泡利的批判【 12】。面对物理学家的反驳，作为数学家的外尔仍然相信自己的理论在数学上的优越性，这就逼使他从一个更明显、更直观的、甚至在某种意义上是先验的基础出发来证明外尔几何的合理性。 那么，这个直观的、先验的基础是什么呢？黎曼本人显然没有考虑这个问题，因为这种发问方式明显带有爱尔兰根纲领【13】和希尔伯特公理化运动的性质。
