随机过程01 金融衍生产平方可积01 not all 波函数平方可积平面波不是平方可积散射态则是非束缚态，一个粒子被散射之后

来源: marketreflections 于 2011-06-27 11:28:12 [档案] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 阅读数 : (51813 bytes)

回答: 随机过程01 金融衍生产品概论（沈思玮）平方可积过程一阶不可微，不可积积分包含了两个部分一阶可积项二阶可积项由 marketreflections 于 2011-06-27 10:40:34

关于量子力学的束缚态的定义请问，对于束缚态的定义，需要 (1)波函数平方可积， (2)波函数模方在无穷远趋于零， (3)两者都需要在解谐振子和氢原子的时候，似乎通过要求(1)就可以得到能级了，那么(2)还有必要吗？谢谢
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2^#大中小发表于 2008-11-24 17:34 只看该作者

(2)还有必要
显然，不然你那么多厄米算符怎么来的？

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星空浩淼

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3^#大中小发表于 2008-11-24 17:56 只看该作者

第一条要求，应该是针对一般波函数的；而第二条要求，才是对束缚态的进一步要求，或者说是定义

[ 本帖最后由星空浩淼于 2008-11-24 17:57 编辑 ]

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smile'

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4^#大中小发表于 2008-11-24 20:10 只看该作者

谢谢各位的解答，平面波不是平方可积的，所以(1)是不是不适合散射态呢？

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smile'

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5^#大中小发表于 2008-11-26 01:55 只看该作者

如果只使用(2)，是不是对束缚态的充分定义呢？谢谢

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6^#大中小发表于 2008-11-26 12:22 只看该作者

这些概念翻翻量子力学书就可以知道。其实回答这些基本概念问题的人，如果想回答准确一些，也是先翻书后作答的，没有几个能够时刻记在脑海里。与其让别人翻书，不如自己翻书。有些内容比较难懂难掌握，不是靠死记就能掌握的基本概念之类的东西，则另当别论。

“(2)还有必要
显然，不然你那么多厄米算符怎么来的？”
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
证明一个算符是厄米算符时，利用的波函数不一定满足条件(2)，例如平面波。此时利用的，不是φ*ψ在无穷远处为零，而是利用诸如
ξδ(ξ)＝0这样的性质，其中δ(ξ)是ξ的δ函数。

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小杰

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7^#大中小发表于 2008-11-26 12:26 只看该作者

我认为一般而言，波函数不一定必须是平方可积的，
正如你说的平面波就是个例子。

但是如果位置表象的波函数是平方可积的，在无穷远处应该就自然会是零了吧。

不太确定你所谓的束缚态的充分定义指的是什么，
因为无穷远处是零的函数，不见得就是平方可积的，
它也有可能发散，但这显然不能存在在量子力学里。

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8^#大中小发表于 2008-11-26 12:48 只看该作者

这和我说的有矛盾吗？而且我也不知道你要表达什么意思。

我不知道你举得是什么，如果你是指平面波动量，那么动量是厄米函数的缘由，有附加条件，是满足周期性边界条件的箱规一化才是厄米。

这网站打开真慢。

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9^#大中小发表于 2008-11-26 16:44 只看该作者

简答一下：

1）波函数的平方可积要求，是从量子力学的测量理论出发，人为地补充加进去的。比如，为了满足全空间的总概率为1的要求，即波函数的归一化要求，也要求波函数平方可积。如果某个波函数不平方可积，可以重新附加一个归一化因子，使之平方可积。自由运动的粒子（确定的动量本征态），理论上对应一个平面波，但是从测量的观点来看，不存在真正的平面波，不能用平面波来描述自由粒子，自由粒子仍然对应一个波包。

2）束缚态，顾名思义，就是被束缚在空间某个有限区域中的态，因此这种态ψ(r)被定义为在无穷远处趋于零的态：r→∞，ψ(r)→0。散射态则是非束缚态，一个粒子被散射之后，向无穷远的空间中运动，而不是被约束在某个地方。因此，平面波可以描写散射态ψ(r)在r→∞时的渐进行为。

3）对于平面波，厢归一化方法不具有一般性。见后面附件说明：

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10^#大中小发表于 2008-11-26 16:55 只看该作者

由上面可见，完全不必采用厢归一化，同样可以证明动量算符在它的本征态（即平面波）空间，是一个厄米算符

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11^#大中小发表于 2008-11-26 17:38 只看该作者

首先真不知道你针对的是什么。

在解谐振子和氢原子的时候，似乎通过要求(1)就可以得到能级了，那么(2)还有必要吗？谢谢
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lz说在解决这个的时候，并没有用到2条件。

首先我的重申一下，他估计要表达，用算子代数解决，而不去用条件2，我回答说好多厄米算符怎么得到的、？

原来微分方程，铁定要用到边界条件2。也就趋向无穷的条件的束缚态条件。

你又拉进来平面波来反驳我，有意义么？

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12^#大中小发表于 2008-11-26 17:42 只看该作者

算了，我打开这个网站很慢，所以不能引用的发言，抱歉。

[ 本帖最后由一直想思考于 2008-11-26 22:06 编辑 ]

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13^#大中小发表于 2008-11-26 17:57 只看该作者

刚才、实在下载太慢，看错了，谢谢你提供的定义。

算了，我打开这个网站很慢，所以不能引用的发言，抱歉

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14^#大中小发表于 2008-11-26 23:16 只看该作者

我提出这个问题的原因是Dirac的量子力学原理对束缚态(他称为闭合态)通过波函数模方在无穷大的体积部分的积分定义(附件)，而不是一些量子力学教材要求波函数或者其模方自身在无穷远取值趋于零。在这个定义下，波函数模方对全空间的积分，除去无穷大的体积部分，只剩下有限大的体积部分，从物理上说波函数是连续的，所以有限大的体积部分的积分也是有限的，那么整个波函数就平方可积了。所以能不能仅仅通过平方可积来定义束缚态呢？像平面波这种散射态因为不是平方可积的就被排除了。不过这样定义好像有边界条件的问题?

注：这里的波函数都指态矢量在位置表象的表示。

[ 本帖最后由 smile' 于 2008-11-26 23:29 编辑 ]

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15^#大中小发表于 2008-11-26 23:36 只看该作者

楼主，你上面发的，跟我9楼说的第一点是一致的

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16^#大中小发表于 2008-11-26 23:42 只看该作者

“在这个定义下，波函数模方对全空间的积分，除去无穷大的体积部分，只剩下有限大的体积部分”
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
这个地方没有明白何意。你是说积分结果是两项之和，一项是无穷大的体积积分？还是说积分结果对应一个无穷大的积分因子（乘积因子）乘以一个有限的部分，把它除掉，得到有限结果？我理解是后者，这其实就是重新选择归一化因子的过程。我9楼第一点提到过。

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17^#大中小发表于 2008-11-27 02:31 只看该作者

引用:

原帖由 星空浩淼 于 2008-11-26 23:42 发表
“在这个定义下，波函数模方对全空间的积分，除去无穷大的体积部分，只剩下有限大的体积部分”
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
这个地方没有明白何意。你是说积分结果是两项之和，一项是无穷大的体积积分？还是说积分结果对应一个无穷大的积分因子（乘积因子）乘 ...

抱歉我应该说减去，对于一维体系， $\int_{-\infty}^{\infty} |\psi|^2 dx = \int_{-\infty}^{A} |\psi|^2 dx + \int_{A}^{B} |\psi|^2 dx + \int_{B}^{\infty} |\psi|^2 dx$ , A和B是某两个常数，按Dirac的观点，对束缚态 $\int_{-\infty}^{A} |\psi|^2 dx$ 和 $\int_{B}^{\infty} |\psi|^2 dx$ 都是有限的， $\int_{A}^{B} |\psi|^2 dx$ 是连续函数在闭区间的积分，结果是有限的，所以全空间的积分 $\int_{-\infty}^{\infty} |\psi|^2 dx$ 是有限的，所以这个波函数是平方可积的。Dirac对积分收敛的要求是对束缚态的，如果我没有理解错的话。9楼认为波函数的平方可积是对任何波函数的要求。诚然现实中粒子都是在有限空间中的分布，平面波只是一种理想化的处理，所以这种不可归一化的情况在现实中并不存在。但散射的计算中用平面波描写入射粒子，以及散射态自身都是一种理想化的处理，对这种理想化的波函数，仍然不是平方可积的。

7楼觉得可以从(1)推出(2)，（或者从(2)推出(1)?) 我想很可能也是这样，但不知道如何证明，有没有反例。

[ 本帖最后由 smile' 于 2008-11-27 05:26 编辑 ]