完备01 光滑01:一阶导数存在连续解析01:幂级数收敛于自身全纯:全平面解析; 完备空间或者完备度量空间是具有下述性质的

来源: marketreflections 于 2011-06-25 13:53:24 [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 本文已被阅读：次

完备空间

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完备空间或者完备度量空间是具有下述性质的空间：空间中的任何柯西序列都收敛在该空间之内。

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[编辑] 例子

有理数空间不是完备的，因为 $\sqrt{2}$ 的有限位小数表示是一个柯西序列，但是其极限 $\sqrt{2}$ 不在有理数空间内。
实数空间是完备的
开区间(0,1)不是完备的。序列(1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ...)是柯西序列但其不收敛到任何(0, 1)中的点。
令S为任一集合，S^N为S中的所有序列，定义S^N上序列(x_n)和(y_n)的距离为1/N，其中若 $x_n \neq y_n$ 的最小索引存在则N为该索引否则N为0。按此方式定义的度量空间是完备的。该空间同胚于离散空间S的可数个副本的积。

[编辑] 直观理解

直观上讲，一个空间完备就是指“没有孔”且“不缺皮”，两者都是某种“不缺点”。没有孔是指内部不缺点，不缺皮是指边界上不缺点。从这一点上讲，一个空间完备同一个集合的闭包是类似的。这一类似还体现在以下定理中：完备空间的闭子集是完备的。