广义 Ｈａｍｉ１ｔｏｎ系统的研究概况
云南省应甩数学研竞所，云南大学数学系
程 耀ｃ／／陆启韶
— ， ＿ — — — ＿ — 一
北京航空航天大学应用数学物理系
昆咀 （邮政编码６５加９１）
黄克累
政犏种㈣ Ｄ Ｊ
提要 用广义Ｐｏｉｓｓｏｎ括号直接定义的广义Ｈａｍｉｌｔｏｎ系统是经典Ｈａｍｉｌｔｏｎ系统的
一
种推广．由于它的维数没有限制，同时它又保持了经典 Ｈａｍｉｌｔｏｎ系统的主要性
质，因此具有更大的普遍性和广泛的应用前景．本文简要介绍了广义 Ｈａｍｉｌｔｏｎ系
统理论的发展历史、基本概念和研究现状．
关键词
广 ￣Ｈａｍｉｌｔｏｎ系统｜Ｐｏｉｓｓｏｎ结构｜约化 ｜稳定性｜扰动；分岔｝混沌｜积分算法
冶 窟 灸
一‘一 ，
１ 目Ｉ 言
。
。
Ｈａｍｉｌｔｏｎ系统的动力学研究长期以来一直是力学盼重要课题．Ｈａｍｉｌｔｏｎ力学的观点有
效地解决了一系列不能用其他方法解决的问题，显示重要的理论价值 ．然而，经典Ｈａｍｉｌｔｏｎ
系统的相空 间只能是偶数维的，它不能用来研究相空间是奇数维或无限维的保守力学系统，
例如描述自由刚体定点转动的 Ｅｌｉｌｅｒ方程，其相空间是 ３维的．
经典的辛流形上的 Ｈａｍｉｌｔｏｎ系统可用芷则 Ｐｏｉｓｓｏｎ括号表示．作为一种推广，可以甩广
义Ｐｏｉｓｓｏａ括号去直接定义广义Ｈａｍｉｌｔｏｎ系统．广义 Ｈａｍｉｌｔｏｎ系统可以是任意有限维或无
限维的，同时又保持了经典 Ｈａｍｉｌｔｏｎ系统的大部分良好性质，因此它可以描述更多的动力
学问题，具有更大的普遍性，井在刚体动力学、天体力学、飞行器动力学、等离 子 体 动 力
学、磁流体动力学、机器人动力学等方面有重要的应用．
由广义 Ｐｏｉ ＳＳＯＤ括号定义的广义 Ｈａｍｉｌｔｏｎ系统的研究早在 ５Ｏ～６０年代就开始了 （实际
上还可追溯到上个世纪 Ｓ．Ｌｉｅ的工作），但是一直没有弓ｆ起数学、力学界的足够重视．直到
８Ｏ年代，由于 Ｈｏｌｍ，Ｍ ａｒｓｄ＇ｅｎ和 Ｗｅｉｎｓｔｅｉａ等把广义ｌＰｏｉｓｓｏｎ括号 （他们称之为Ｈａｍｉｌｔｏｎ结
构）用于相对平衡点的稳定性研究，才重新唤起人们的注意．至今国外在这方面已有槽当数
量的研究成果．我们在这里对这一重要的研宽领域在力学中的应用作简要的综述．关于现代
Ｈａｍ／ｌｔｏｎ力学的基本理论可参阅［１，４，５
国享闩然科学基金、 空科学基盒、目末教委基金稻云南省科委蕉金资骑谭琵
－
２８９・
ｔ，● Ｊ
± 广义 Ｈａｍｉ Ｉｔｏｒｌ系统与广义Ｐｏｉ ｓ ｓｏｒｌ括号
经典Ｈａｍｉｌｔｏｎ力学处理的是偶数维相空间．但在实际问题中有许多动力学系统具有非正
则的相空间，即相空间流形不具有余切丛结构，但仍可赋予一个 Ｐｏｉｓｓｏｎ括号，它具有反对
称性、双线性、导数性质及满足 ￣ａｃｏｂｉ恒等式 ．例如刚体 自由转动的 Ｅｕｌｅｒ动力学方程就是
这种情况．通常把这种相空间称为Ｐｅｉｓｓｅｎ流形．按 Ｌｉｃｈｎｅｒｏｗｉｃｚ最初的定义 ３，Ｐｏｉｓ￣ｏｎ
流形Ｐ记为 （Ｐ，Ｇ），其中Ｇ是Ｐ上的 ２次反变张量场，满足Ｓｃｈｏｕｔｅｎ括号；ＩＶ，Ｇ］：０．实际
上它等价于下面的定义：
定义 ２．１ 设Ｐ为流形，它为某类物理学系统的相空间．如果在Ｐ上的函数空间 （Ｐ）
上存在一个括号关系｛・，・），它具有下列性质：
反对称
（Ｆ，Ｇ）：一｛Ｇ，Ｆ）
（ＰＢ１）
双线性
｛ｈＥ＋ Ｇ， ）：Ｘ｛Ｆ， ）＋ Ｇ， ）
（ＰＢ２）
￣ａｃｏｂｉ恒等式
｛Ｆ，｛Ｇ， ））＋（Ｇ，｛ ，Ｆ））＋（Ｋ，｛Ｆ，Ｇ））＝０
（ＰＢ ３）
Ｌｅｉｂｎｉｚ法则
（Ｆ・Ｇ， ）：Ｆ・｛Ｇ，Ｋ）＋Ｇ ・（Ｆ，Ｋ）
（ＰＢ４）
则 （Ｐ，｛・，・））称为Ｐｏｉ ｓｓｏ￣流形．如果系统的任何可观测函数 Ｆ：Ｐ— Ｒ的动力学可由一
个Ｈａｍｉｌｔｏｎ函数日通过 ＝（Ｆ，日）决定，则 （Ｐ，｛・，・），日）称作（广义）Ｈａｍｉｌｔｏｎ系统．
在上面的定义中，对流形Ｐ的雏数投有限制，一个Ｐｏｉｓｓｏｎ流形可 以是无穷雏的．具有正
则 “变量 ｇ（ ）与 “动量”ｐ（ ）的 。。维 ，
ＴＮ Ｐｏｉｓｓｏｎ流形的例子是
Ｐ… ＝（（ｇ（ ），ｐ（ ））Ｉｇ（ ）∈Ｑ， ｐ（ ）为其共轭动量（场））
（１）
啪）ｃａ ㈨ ））＝』（器 器 一 器 ） ㈩
其中 ８Ｆ／Ｓｑ（ ）定义为
Ｊ蔷 ６ ） ＝告 ‘ ）＋咖（ ｐ（
（３）
同样地定义 ８Ｆ／８１￣（ｘ）．
定义 ２．２ 设Ｐ为Ｐｏｉ ｓｓｏｎ流形，Ｈ Ｐ— Ｒ为一光滑函数．伴随日的Ｈａｍｉｌｔｏｎ矢量场
是Ｐ上的唯一的光滑矢量场ｘ ，它对一切光滑函数 Ｆ・Ｐ— Ｒ满足
Ｘ （Ｆ）：（Ｆ，日）＝一｛日，Ｆ）
（４）
如果 和Ｎ为 Ｐｏｉｓｓｏｎ流形，Ｐｏｉ ｓｓｏｎ映射 ‘埘一 Ⅳ 是一个保持 Ｐｏｉｓｓｏｎ括号的光滑
映射：
｛Ｆ・ ，Ｈ ・ ） ：｛Ｆ，日） ・
（５）
其中Ｆ，日为 Ⅳ上的任意光滑函数．
如同经典的Ｈａｍｉｌｔｏｎ正则变换，对于 Ｐｏｉｓｓｏｎ流形也有同样的命题。
命曩 ２．３
设ｘＨ为 Ｐｏｉｓｓｏ Ｊａ流形Ｐ上的 Ｈａｍｉｌｔｏｎ矢量场，对每一 ，流ｅｘｐ（ｆＸ ）ｌ
Ｐ— Ｐ决定了Ｐ到自身的一个 （局部）Ｐｏｉｓｓｏｎ映射．
一
个子流形 ０ｃＰ称为 Ｐｏｉｓｓｏｎ子流形，如果其包含为一 Ｐｏｉｓｓｍ￣映射． 对 Ｑ［Ｐ是一
任意的子流形，下面的命题说明是否可以在其上赋予 Ｐｏｉｓｓｏｎ结构，如果这样的结构存在，
将是唯一的．
命曩 ２．４ 对Ｐ上的所有光滑函数 ，记丛映射 Ｂ： Ｐ－－＊．ＴＰ为 Ｂ（ｄｌｌ（ ））＝Ｘ Ｉ ．
・２９０ ・
｛
Ｉ
●■Ｊ●ｌ，‘ ｌ
｝
Ｉ
●
记 ｉ ＝｛
是Ｐ上的光滑函数｝．子流形 口 Ｐ是 Ｐｏｉｓｓｏｎ子流形的充要 条 件 是 对
所有 ｚ∈口，Ｖｊ ［Ｔ 口．亦即：Ｐ上的每个 Ｈａｍｉｈｏｎ矢量场处处与 口相切．特别地，如果
ｌ ＝Ｔ 口，则口是Ｐ的一个辛子流形．
经典的Ｐｏｉ ｓｓｏｎ括号具有非退化性，但对于一般的非正则Ｐｏｉｓｓｏｎ流形则无此限制．
定义 ２．５ 设 Ｃ；Ｐ— Ｒ为非常数的光滑函数．如果对所有的可微函数Ｆ ：Ｐ— Ｒ，都有
｛Ｃ，Ｆ）＝０，则Ｃ称为 Ｐｏ］ｓｓｏｎ流形Ｐ上的 Ｃａｓｉｍｌｒ函数．
当Ｐ为有限维时，设Ｐ的局部坐标为 ＝＝（ 一， ），则Ｐ上的 Ｐｏｉｓｓｏｎ括号有如下的坐
标表示
｛Ｆ，Ｇ｝＝ ∑ Ｊ， （。）
（６）
ｌ
＇
ｌ
，
其中的反对称矩阵 Ｊ（ ）：（－，．』（。））称为结构矩阵．当 Ｊ （ｇ）是关于 ＝的齐线性函数时，
括号 （６）也称做 Ｌｉｅ－Ｐｏｉ ＳＳＯＩｔ括号，因为它与 Ｌｉｅ群的 Ｌｉｅ代数结构相联系．
命题 ２．６ 给定一个定义在开子集Ｐｃ＿Ｒ 上的 Ｘ 函数矩阵Ｊ（ｚ）＝（－，‘ｊ（ ）），则 Ｊ（ ）
是Ｐ上的一个 Ｐｏｉｓｓｏｎ括号的结构矩阵的充要条件是
①
Ｊｌ Ｊ（ ）：一Ｊｊ‘（ ）
（７）
②
㈨
＋Ｊｊ
“
卜ｏ ㈩
其中 ，』：１，… ，”．
定义 ２．Ｔ Ｐｏｉｓ ｓｏａ括号在点 ∈Ｐ的秩定义为线性映射 Ｂ Ｊ ： ：Ｐ— Ｐ 的秩．如果
在 的某邻域内每点的秩相同，则称 ｚ是Ｐｏｉｓｓｏｎ流形Ｐ的正则点，否则称为奇异点．不难看
出，流形Ｐ在点 ｚ的秩与结构矩阵 Ｊ（ｚ）的秩相同．由 Ｊ（ ）的反对称性，秩总为偶数．
定理 ２．８ 设结构矩阵Ｊ（ ）在正则点 ｏ处的秩为 一ｍ（ｍ＞Ｏ），则在 ｏ附近恰好存在
ｍ个函数独立的 （局部）Ｃａｓｉｍｉｒ函数．
Ｌｉｃｈｎｅｒｏｗｉｃｚ 详细研究了具有常数秩的 Ｐｏｉｓｓｏｎ流形，指出所有具有相同秩２ｍ的
Ｐ ｏｉｓｓｏａ流形都是局部相似的．
定理 ２．９ （Ｄａｒｂｏｕｘ定理）设Ｐ是一个秩处处为 ２ｍ＜ｎ的 维 Ｐｏｉｓｓｏｎ流形，则在每点
０ ∈Ｐ的邻域都存在一个正则局部坐标（ｇ，ｐ， ）＝（ｇ ”，ｇ ， １，…， ，＝ｌ，… ， ｆ），２ｍ＋￡＝ ，
使得在这组坐标下，Ｐｏｉｓｓｏｎ括号为
Ｇ卜 毒 鲁一署
㈩
广义 Ｐｏ￣ｓｓｏｎ括号的概念最初出现在 Ｓ．Ｌｉｅ的 “函数群 理论及 １阶线性偏微分方程的
积分研究工作中．但 Ｌｉｅ的工作似乎长期被数学和物理学界遗忘，更投有在力学 中应 用．
本世纪 ５０—６Ｏ年代又由 Ｄｉｒａｃ，Ｐ ａｕｌｉ，Ｍａｒｔｉａ和 ｌｏｓｔ等人几乎独立地引入．Ｓｕｄａｒｓｈａｎ＆
Ｍｕｋｕｎｄａ口 在坐标形式下对广义 Ｐｏｌｓｓｏｎ括号、广义 Ｈａｍｉｌｔｏｎ系统及变换群的性质进行
丁一些细致的讨论．Ｗｅｉｎｓｔｅｉａ【ａ 研究了具有非常数秩的Ｐｏ￣ｓｓｏａ流形，得到了一个更一般
的结论，称之为分离定理：对Ｐ中的任一点 。，存在一个邻域 Ｕ，它光滑地 同胚于一辛流形
与一在 ‰ 处秩为 ０的 Ｐ ｏｉｓｓｏｎ流形的乘积．他指出由于 Ｐｏｌ ｓｓｏｎ流形具有可以光滑地分成一
蝗不同维数 的辛流形的性质，可能对于研究力学中如下一种普遍现象是非常合适的：一个定
・
２９１・
ｒ
●●．－－■
义在辛流形上的动力学系统，当系统的参数达到极限值 （通常为 ０或。。）时，极限系统仍然
有辛形式，但维数降低了．他还提出了一些尚未解决的问题．受他的影响，Ｃｏｍａ【日 研究了
解析 Ｐｏｉｓ ｓｏｎ结构的规范型问题．
尽管 Ｐｏｉｓｓｏｎ流形的局部描述很 困难，但仍存在一个全局描述 ”】，即过 Ｐｏｉｓｓｏｎ流形的
每一点都存在一个辛流形，其维数等于 Ｐｏｌｓｓｏｎ结构矩阵在该点 的 秩．这 些 辛 流 形 称 作
Ｐｏｌｓｓｏｎ流形的辛叶层中的辛叶，它们是 Ｐｏｉｓｓｏｎ流形上的 Ｈａｍｉｈｏｎ系统的不变流形．
对于无限维的 Ｐｏｉｓｓｏｎ流形，则没有相应的 Ｄａｒｂｏｕｘ定理．如果Ｐ是一 Ｐｏｉｓｓｏｎ流形，
则Ｐ的辛变量 （或称之为 Ｃｌｃｂｓｃｈ）变量指的是一Ｐｏｉｓｓｏｎ映射 Ｊ：Ⅳ一 Ｐ，其中 是辛流形．
如果在Ｐ上选择的是正则坐标，则称之为Ｐ的正则变量．
对于无限维演化方程的Ｈａｍｉｌｔｏｎ结构的一般概念首次出现在Ｍ ａｇｒｉ “，￣ｉｎｏｇｒａｄｏｖ ，
Ｋｕｐｅｒｓｈｍｉｄｔ【］ 和 Ｍａｎｉｎ［ｚ ２１等人 １９７８－１９８０年 间的工作中．在 Ｏｌｖｃｒ［２ ｖ 的一本专著中
对有限维和无限维 （广义）Ｈａｍｉｌｔｏｎ系统理论作了专门介绍．
３ 具有对称性的 Ｐ０ｉ ｓ ｓｏｎ流形的约化
具有对称性的 Ｐｏｉ ｓｓｏｎ流形的约化也就是将对称性除去．约化理论可追溯到 ７ ａｃｏｂｉ和
Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ的工作．对于经典的正则相空间上的定常 Ｈａｍｉｌｔｏｎ系统，如果它存在 个对台的
目次积分，则系统可约化到少了 ２ 个变量的新的 Ｈａｍｉｌｔｏｎ系统，原系统的解可由约化系统
通过积分求出．对 Ｐｏｉｓｓｏｎ流形上的 Ｈａｍｉｌｔｏｎ系统也有同样的结论．从几何的观点出发，
利用对称群对系统进行约化是源于 Ｓｍａｌｅ” 的工作．实际上一个首次积分决定了系统的一
个单参数对称群．
定义 ３．１ Ｌｉｅ群Ｇ在 Ｐｏｉｓｓｏｎ流形Ｐ上的一个表示 （Ｇ，Ｐ都可以是无穷雏）定义为
：Ｇ × ｐ－－，．ｐ
（ ， ）一 （ｇ）
如果在 （Ｐ）上诱导的作用 （ｇ）ＩＦ］（ｐ）＝Ｆ（ （ｇ）ｐ）保持 Ｐｏｉｓｓｏｎ括号，即
（ｇ）［｛Ｆ，Ｋ｝］＝（ （ｇ）［Ｆ］， （口）［－ｇ］）
（１０７
则称表示 为Ｇ在Ｐ上的正则作用．
用 Ｐｏｌ ｓｓｏｎ括号描述的动力学系统的一个重要特性是：当其与一正则的 Ｇ作 用 可 交 换
时，动力学可限制到约亿集 Ｐ／ａ上考虑．由于Ｐ上的括号在 Ｇ作用下的不变性，Ｐ／ａ也具
有 Ｐｏｉｓｓｏｎ括号结构．在研究Ｐ到Ｐ／ａ的约化中，动量映射的概念起着十分重要的作用．
Ｇ在Ｐ上的正则作用 对任意的 ；∈ｇ（Ｇ的Ｌｉｅ代数）自然地在Ｐ上生成了一个矢量场 Ｐ．
Ｉ
（ｐ） 告 ｌ
ｅｘｐ［（ 砉）］（ｐ）∈ｘ（Ｐ）
（１１）
定义 ３．２ 设Ｐ为一 Ｐｏｉｓｓｏｎ流形，
① 如果 Ｉ， 。Ｐ— Ｒ可以将 对任意函数Ｆ的作用表示为Ｐｏｉｓ ｓｏｎ括号；
喜Ｐ［Ｆ］（ ）：（Ｆ，Ｉ， ｝（ｐ）
（１２）
则称 Ｉ，｛为矢量场 ｛ 诱导的流的生成函数，
② 如果选择Ｉ，￡使得其关于；为线性的，则Ｇ通过 在Ｐ上的作用的动量映射定义为
Ｊ ：Ｐ÷ ｇ ，
＜Ｊ（ｐ），毒＞ ＝Ｉ， （ｐ）
（１３）
任何连通的 Ｌｉｅ群Ｇ通过伴 随表示作用在它的 Ｌｉｅ代数 ｇ上，即；对任一 ｇ∈Ｇ，记ｈ
・２９２・
ｔ
●
？
●
Ｉ
ｌ●●
●
Ｅ
；
ｌ
＿Ｉ
Ｇ— Ｇ，Ｉ （ ）＝ｙｈｇ 为 Ｇ上的 白同胚，则有 ，（日）＝８．Ｉ 在 日处的切映射 Ａｄ ＝Ｔ Ｉ 给
出了 Ｔ Ｇ＝ｇ上的一个线性 自同胚，同时也定义了Ｇ在 ｇ上的伴随表示．这样也诱导了ｇ 上
的余伴随作用 ｄ；一ｌ＝ｇ 一ｇ ｝口一（ 一 （Ａｇ，一 ）｝．
许多动量映射具有的一个重要性质是等变性，即 Ｇ在 Ｐ上的作用 与 ｇ 上的余伴随作
用可交换；
（ ）（ ）］＝Ａｄ 一－Ｊ（ ）
（１４）
该性质在 Ｌｉｅ代数水平上有一重要结论，即：生成函数＿，∈诱导了
（Ｐ）上的 Ｐｏｉ ｓｓ０ｎ括号
与 ｇ上的 Ｌｉｅ括号之间的一个代数同胚：
｛ ｛，＿， ）＝＿，【｝： 】
（１５）
关于动量映射，有如下的几何的 Ｎｏｅｔｈｅｒ定理：
定理 ３．３ 记 Ｐ＝ １０为正则的 Ｐｏｌｓｓｏｎ流形，Ｇ通过表示 作用在０上， ＝Ｔ （ｆ）为
Ｚ在 ０上的提升作用．该作用是正则的且有一等变的动量映射Ｊ，其源于生成函数
Ｊ （Ⅱｇ）＝＜ａ＂ ；０（ｇ）＞
（１６）
其中 口 ∈Ｔ：０，｝０为 ｝在 ０上生成的矢量场．如果系统的Ｈａｍｉｌｔｏｒ￣函数关于 Ｇ在 Ｔ ０上
的作用为不变的，则 ＿， （ｐｏ）为一守恒量 （其中 ｐｎ描述了初始条件）．
对于任一 Ｐｏｉ ｓｓｏｒｉ流形，显然类似的情况也成立，即当Ｇ正则地作用在 Ｐ上，Ｈａｍｉｌｔｏｎ
函数关于作用不变时，动量映射表示了一个守恒量．为了构造一个约化的 Ｐｏｉｓｓｏｎ流形，选
择 Ｇ在 ｇ 上的余伴随作用的一条轨道 Ｏ ，取其在动量映射下的逆象．自然地，通过将Ｐ限
制到 Ｊ （Ｏ ）上，子空问 Ｊ （０ ）ｃＰ具有 Ｐｏ］ｓｓｏｒｉ结构．将对称性Ｇ除去便得到了一个约
化的相空间为
Ｐ ＝Ｊ．１（Ｏ ）／ｖ Ｊ．１（ ）／Ｇ
（１７）
其中 Ｇ 为 ∈ｇ 在Ｇ的余伴随作用下的迷 向群，即 Ｇ ＝｛ ∈ｇ ｌ ；
＝ ）．由于动量映
射的等变性，除去对称性对代数结构没有影 响，这意味着约化的相空间 Ｐ 自然地继承了一
个 Ｐｏｉｓｓｏｎ结构．特别地 ，如果Ｐ为辛流形，则 Ｐ 也是辛的，但一般 Ｐ 不再是流形，只有
在一定的条件下，Ｐ 才为一辛流形 （具体细节可参看 ［２ ］）．关于 Ｐ ｏｌｓｓｏｎ流形约化的较一
般结果可参看［２４３．
关于具有对称性的 Ｈａｍｌｌｔｏａ系统的相对平衡点的定义是由 ｓｍａｌｅ 给出的．Ｍ ａｒｓｄｅｎ
和 ｗｅｉａｓｔｃｉｎ 给出了一个与之等价的定义．
定义 ３．４ ∈Ｐ使得其在Ｐ 上的投影为约化的 Ｈａｍｉｌｔｏａ系统的临界点，则 称为原系
统的相对平衡点．如果约化的 Ｈａｍｉｌｔｏａ系统的临界点是 （Ｌｉａｐｔｍｏｖ）稳定的，则相对平衡
点称为相对稳定的．
定理 ８．５ （Ｍ ａｒｓｄｅｎ ＆ Ｗｅｉｎｓｔｅｉｎ ｍ ） ∈Ｐ是相对平衡点，当且仅当存在一个单参
数子群９（ ）∈Ｇ，使得对所有的 ∈Ｒ，Ｆ （ ）＝ （９（ ））（ ），其中 Ｆ 是
的流， 是Ｇ的
作用．
４ Ｈａｍｉ ｌｔｏｎ系统的稳定性
．
Ｈａｍｉｌｔｏａ系统的一个重要问题就是稳定性问题．一个保守系统不可能存在渐近稳定解．
在保守系统中，稳定性的特征是 由非线性稳定性或 Ｌｉ ａｐｌｍｏｖ稳定性来描述的．拓扑空间上
的流 （或群作用）的平衡点 。称为稳定的，如果对 的每一邻域 ，都存在一较小的邻域
・２９３・
，
使得与Ｉ，相交的任一轨道仍包含在 中，这种稳定性定义关于时间可向前和向后，因此
特别适用于保守系统．
经典力学的一个中心问题就是力学系统的相对平衡点的稳定性分析．Ｈａｍｉｉｔｏｎ结构的一
个重要应用就是可以得 出一些关于相对平衡点的稳定性定理．实际上 当今对广义Ｈａｍｉｌｔｏｎ系
统的研究兴趣主要是从稳定性研究的需要而复兴的．
若要证明一个一般的多 自由度（含无限维）Ｈａｍｉｌｔｏｎ系统的平衡点是稳定的，则其唯一有
效的方法就是寻找系统的一个守恒量，使其在平衡点具有局部极大值或极小值．在经典力学
中，这个守恒量常取 Ｈａｍｉｈｏｎ函数，但在一个 Ｐｏｉｓｓｏｎ流形上，Ｈａｍｌｌｔｏｎ函数在乎衡点可
能不是驻态的 （ｓｔａｔｉｏｎａｒｙ），这时必须在Ｈａｍｉｌｔｏｎ量上附加上另外的泛函，以便得到所寻找
的守恒量．
Ａｒｎｏｌｄ
研究了不可压流体的平面运动．他发展了 Ｌｉａｐｕｎｏｖ的方法，得出的非线性
稳定性结果扩展了经典的 Ｒａｙ］ｅｉｇｈ￣线性理论．Ａｒｎｏｌｄ在能量日上附加了一个保守量 ，它
对应着流体质点在 Ｌａｇｒａｎｇｅ描述下的对称性．Ａｒｎｏｌｄ方法的基础就是流体运动的 Ｅｕｌｅｒ方
程 ．实际上这是一个非正则 Ｐｏｉｓｓｏｎ括号下的 Ｈａｍｉｌｔｏｎ系统，所附加的量对该括号下的任
意 Ｈａｍｉｌｔｏｎ系统都守恒，现称之为 Ｃａｓｉｍｉｒ函数．Ａｒｎｏｌｄ选择 使得 日＋ 的平衡解为临
界点．再利用凸性估计，找到一个范数和先验估计以限制有限扰动从平衡解分离．这样就建
立了非线性稳定性．Ａｒｎｏｌｄ的方法被用到了理想流体（可压或不可压）、等离子体、磁流体动
力学等方面的稳定性研究中，发展成 丁能量一Ｃａｓｉｍｉｒ方法．关于这方面的工作可参阅 Ｈｏｌｍ
等 “ 的工作及其后所引的参考文献．其基本思想如下：
对于有限维系统，有一经典的Ｌａｇｒａｎｇｅ稳定性判据：对于具有坐标 （ｇ ，・“，ｇ ，
“， ）
的空间 Ｒ 和 Ｈａｍｌｉｔｏｎ函数Ｈ ：Ｐ 一Ｒ的系统，Ｈａｍｉ１ｔｏｎ方程在 轧 具有平衡点的充要条
件是在该点日的微分为零，该平衡点稳定的充分条件是日的 ２阶导数矩阵 （也称Ｈｅｓｓ矩阵）
Ｄ Ｈ为正定或负定．事实上，Ｌ ａｇｒａｎｇｅ条件隐含着日的与 ｏ的某邻域相交的每一等值衄面
都有一整个包含在其内的紧子集，由于日是动力学方程的一个运动常数，所以立 即可导出蒋
定性．
Ａｘｈｏｌｄ注意到 Ｌａｇｒａｎｇｃ判据可以很容易地推广到 Ｐｏｌｓｓｏｎ流形的正则点．实际上由
Ｄａｒｂｏｕｘ定理，在正则点 ｏ附近运动方程具有的形式 （在正则坐标下）为
等 ｆ一等 ｛＝ｏ
（１８）
所以可取新的 Ｈａｍｌｉｔｏｎ函数为
Ⅳ ＝日一∑
（ ） Ｉ＋∑ ［ ｉ一 ‘（ ０）］
（１９）
ｉ
显然它不改变系统的动力学行为，且是一守恒量．
在 Ｐｏｉｓｓｏｎ流形的奇异点处情况要复杂一些，稳定性同 时 依 赖 于 Ｈａｍｉｂｏｎ函 数 和
Ｐｏｌｓｓｏｎ结构．
但在函数空间 （即无跟维情况）中，２阶变分Ｄ Ｈ必须在一个更强的意义上是定号的，
否则日可能在 。没有局部极大值或极小值，所以必须进行凸性估计．通常的作法是寻｛ｊｉ二次
型 口一，口ｚ，使得对Ｐ上的所有有限变分 △ 有不等式；
・２９４・
薯
Ｑ１（Ａ ）≤ Ｈ（ 。＋ ）一日（ 。）一ＯＨＩ ・△
口。（ｈｘ）≤ Ｃ（ｘ。－ＦｈＸ）一 Ｃ（ｘ０）一ＤＣｌ 。・△
（其中Ｄ表示关于 的全导数），且对所有 Ａｘｅ０，满足
口１（△ ）＋口ｉ（△ ）＞０
这样，引进范数
＝ ｔ口ｔ０）－Ｆ口 （ ）
如果 ＋Ｃ在 。关于范效 （２２）是连续的．则 。是运动方程的稳定平衡点．
常数 ， ，使得对于范数 （２２）满足
Ｈ（ａｃｏ＋ｈｘ）一Ｈ（ 。）一ＤＨ】， ・△ ≤ ｌｌＡｘｌ［
Ｃ（ ０＋ｈｘ）一 Ｃ（ｘ。）一ＤＣＩ ・△ ≤ △∞ｌ【
（２０ａ）
（２０ｂ）
（２１）
（２２）
如果存在正的
（２３ａ）
（３３ｂ）
则 日 ＋Ｃ关于范数 （２２）是连续的，且有如下的稳定性估计。
ｌ ｈｘ（ ）ｌｌ ≤ （ ＋ ） ｛Ａｘ（０）
（２４）
如果我们不能确定动力学方程的解是否在所有的时间 ｔ存在，则我们仍然可以讨论 “条
件稳定性”，即要求在
解存在的时阔内稳定性成立．
但对于一般的 Ｐｏｉｓｓｏｎ流形，其 Ｃａｓｉｍｉｒ函数可能并不好找甚至不存在，Ｓｉｍｏ等 ［２ｓ１发
展了称之为约化的能量一动量方法，他们用这一方法解决弹性体的稳定性问题，利用对 角 化
技术，将系统的刚性运动与弹性运动解耦．
５ 力学系统的 Ｈａｍ＿Ｉ ｔｏｎ结构的建立
Ｈａｍｉｌｔｏｎ结构源于经典力学，它使经典力学的一些稳定性问题得到了较好的处理，而无
限维Ｈａｍｉｌｔｏｎ系统理论又扩大了经典力学的研究范围．目前的一些研究结果表明，力学系统
中的Ｐｏｉｓｓｏｎ结构主要来源于两个方面：首先， 由具有对称性的经典 Ｈａｍｉｌｔｏｎ系统经约化而
产生，例如 自由刚体定点运动的Ｅｕｌｅｒ方程，其次，动量映射的像空间存在Ｐｏｉｓｓｏｎ结构，例
如重刚体定点运动的情况．
对于一个给定的系统，其 Ｈａｍｉｌｔｏｎ结构的建立由两步组成，即写出 Ｈａｍｉｌｔｏｎ函数 和
Ｐｏｉ ｓｓｏｎ括号．前者可由系统的守恒量得到，理论上也 可 以证 明 任 何 保 守 系 统 都 存 在
Ｈａｍｉｌｔｏｎ结构，但要找到具有实用价值的 Ｐｏｉｓｓｏｎ括号使得 Ｈａｍｉｌｔｏｎ结构形式简单却不是
很容易能做到的．力学系统的相空间常具有余切丛结构，其上的辛形式自然地定 义 了一 个
Ｐｏｌｓｓｏｎ括号，由此出发，再利用约化理论，这常常是得到较简单的 Ｈａｍｉｌｔｏｎ结构的有效途
径．下面我们仅以刚一弹耦台系统为例 “ ．
对于一个自由运动的刚体，由质心动量守恒，所以仅考虑其转动 （相当于经过一次Ｒ。约
化）．系统的正则相空间为 Ｔ Ｄ（３）．又由于刚体上无外力矩作用，可按 Ｄ（３）约化，约
化后的相空间为
Ｄ（３）／ Ｄ（３） ８０ （３）（ Ｄ（３）的 Ｌｉｅ代数对偶空阎）．约化后 Ｐｏｌｓｓｏｎ
括号如下；
（Ｆ， ）。。 ㈨ … ｍ （ＶＦ×ＶＫ）
（２５）
其中 ｍ∈８ｏ （３） Ｒ。代表刚体的角动量．
对于刚一弹耦合系统 ，记弹性体（不妨设其为梁）的构形空间为Ｑ，口＝（ｏＩ口：［０，工］一Ｒ。，
口是光滑映射），这里 口（ｓ）表示梁上的质点的位置矢量，工为粱长．梁的相空间 Ｐ＝Ｔ Ｑ，
其上有一自然的 Ｐｏｉｓｓｏｎ结构 （实际上是辛结构），记变量为（口，几）．假定变形很小，系统
・２９５・
的质心位置变化可忽略．
刚体的构形空黼为 ＳＧ（３），它通过使梁转动的方式（左）作用在Ｐ上，可以推断该作捐是
Ｐｏｌｓｓｏｎ作用．整个系统的相空阔为 ＳＯ（３）×Ｐ，定义映射 ｌ ＳＯ（３）×Ｐ呻ｓ０ （３）×Ｐ
（ａ ，Ｏ，几）＝（ ，Ｊ ・ｄ ，Ａ－。Ｏ，ＡＩ１几）
（２６）
其中 Ａ∈ＳＯ（３），ｄ ｛∈ ＳＯ（３），可以证 明 是 Ｐｏｉｓｓｏｎ映射．为更清楚地理解系统的运动
情况，引进粱的相对位置矢量 ｒ（８）和相对动量密度 Ｍ（ｓ）：
ｒ（８）＝Ａ一１Ｏ（ｓ），
Ｍ（ｓ）＝Ａ一 几（ｓ）
（２７）
式中 为 ＳＯ（３）中的元素，它也代表了刚性运动的构形．
在这些变量描述下，约化后的相空间为 ８０ （３）×Ｐ，约化后的括号形式如下：
… ｃ Ｆ× ＋
・ 一 ・ ）如
＋
［等 Ｆｘ
Ｆ×Ｍ）
一
ｍ
Ｋｘ ｒ）＋酱 Ｋ×Ｍ）
（２８）
不难验证， 。｛８０ （３）×Ｐ呻Ｒ， （ｍ，ｒ，Ｍ）＝ （ ｍ＋ｌ ｒ×Ｍ ｄｓ 是括号 （２８）的
Ｃａｓｉｍｉｒ函数．Ｋｒｉｓｈｎａｐｒａｓａｄ和 Ｍ ａｒｓｄｅｎ［１８ 利用能量一Ｃａｓｉｍｉｒ方法给出了该系统的一类
定常运动稳定性的充分条件．
以上讨论的是有对称性的情况．如果对称性破缺，就需要更多的量描述系统的动力学．
如果这些量是动力学守恒量，则可引进半直积结构，例如重刚体的定点运动 。 和圆周轨道
上的剐一弹耦台系统
．
６ 广义 Ｈａｍ．Ｉ ｔｏｎ（扰动）系统的分岔与混沌
可积 Ｈａｍｉｌｔｏｎ系统的扰动 问题，正如 Ｐｏｉｎｃａｒｅ所说的，是。动力学的基本问题 ．在经
典的Ｈａｍｉｌｔｏｎ扰动系统理论中，确定周期解、拟周期解、不变环面、同宿和异宿轨线等不变
集的存在性和稳定性是十分重要的问题 目前已经发展了一些大范围分 析方 法，Ｍ ｅｌｎｉｋｏｖ
方法 “”是其中比较有效的一种．这一方法起源于 Ｍ ｅｌ￣ｉｋｏｖ［ｓｇｌ在１９６３年的工作．他考虑了
周期扰动下的平面Ｈａｍｉｌｔｏｎ系统，利用有效的扰动技巧，建立了一个用来度量扰动系统的双
曲周期轨线的稳定流形和不稳定流形之间距离的计算公式 这样就可以得到关于稳定流形和
不稳定流形横截相交的充分条件，从而判定混沌的出现．
显然，对 于广义 Ｈａｍｉｌｔｏｎ系统发展相应的扰动 理 论 也 是 十 分 重 妻 的．Ｈｏｌｍｅｓ和
Ｍ ａｒｓｄｅｎ 首先将 Ｌｉｅ－Ｐｏｌｓｓｏｒｉ括号、约化方法和 Ｍｅｌｎｉｋｏｖ方法结台起来，研究了Ｌｉｅ群
上的一类具有对称性的 Ｈａｍｉｌｔｏｎ系统
ｉ＝｛ ；，日 ）， ＝ｌ，… ，
１
３Ｈ
ｆ
ｄ丑
．
｝
（２９）
Ｊ
， Ｊ
一
ｌ，… ，
Ｊ
其中 Ｈａｍｉｌｔｏｎ量 日 关于 日是 ２ 周期的，并且
，
日 Ｃａ， ，ｊ）＝Ｆ（ ）＋∑ （Ｉｓ）＋￡日 （ ，日 ｊ）
，＝１
・２９６＿
｛・，・ 是 Ｌｉｃ代数 ｇ的对偶空闯 上的 Ｌｉ：Ｐｏｉ￣ｓｏｎ括号；在适当的条件下，他们
研究了系统 （２９）的混沌运动和 Ａｒｎｏｌｄ扩散问题．按广义 Ｈａｍｉｌｔｏｎ系统的定义，（２９）显
等㈤ ’ｆ，
一
（Ｔ）＋ （ ，（ ∈∽ ｝
０
其中 ０＜ｃ＜＜１，口充分光滑并且关于 是 ２ 周期的．系统 （３０）实际上是一类摄简单的广
． ＝
‰ ，日｝（。）＋ （ ， ， ）：∑ Ｊ｛
（ ）＋ ｉ（ ， ），ｉ １，２，３ （３１）
斗：
所涉及的 Ｐｏｉｓｓｏｎ流形的辛叶是平行于 一ｚ 坐标面的平面簇．在他们的文章中，得出了这
类系统的周期轨线和同宿轨线的存在性和分岔定理，分析了同宿轨线的出现 与Ｓｍａｌｅ马蹄混
沌运动．他们的工作在 Ｗｉｇｇｉｎｓ 中又有系统的推广．
其中｛・，・｝是 Ｒ。中的广义 ＰｏＪｓｓｏｎ括号．显然系统 （３１）是系统 （３２）的特殊情况．通过
对 Ｐｏｉｓｓｏｎ流形的叶层结构性质的深入探讨，对无扰动系统在辛叶上的轨线的几何性质作适
当假设，根据 Ｗｉｇｇｉｎｓ和 Ｈｏｌｍｅｓ的基本作法，得出了系统 （３２）的周期轨线的存在性、稳
定性和分岔的一般判据，导 出了研究广义 Ｈａｍｉｌｔｏｎ扰动系统的同宿轨线存在性的解析判定
公式，为研究这类系统中的混沌运动提供了相应的方法．这些理论结果已应用于平面涡旋运
应当指出，用群论方法去建立广义ＨａｒＭ］ｔｏｎ系统本身的分岔和混沌的等变理论也是很有
价值的．特别是有一定对称性的 Ｈａｍｉｌｔｏｎ系统，经过约化都可以转化为适当 Ｐｏｌｓｓｏｎ流形
上的较低维数的广义 Ｈａｍｉｌｉｏｎ系统．对称性往往导致分岔问题的退化性，后者会增加分析
今仍未能建立相应的等变理论，其中一个重要原因是未能得到等变 Ｐｏｌｎｃａｒｅ映射的存在定
在 （广义）Ｈａｍｉｌｔｏｎ力学系统的研究 （例如机器人、空厨飞行器、控制等）中往往要对运
动方程进行数值积分，为此需要发展快速有效的 Ｈａｍｉｌｔｏｎ力学的计算方法．分析力学的基
本原理表明，ＨａｍＪｌｔｏｎ力学系统的解可由单参数的辛变换（即保测变换）给出，即 Ｈａｍｉｌｔｏｎ
系统是一个单参数辛群．因此 Ｈａｍｉｌｔｏｎ力学是建立在辛几何基础上的．冯康等对辛几何在
数值分析中的应用做了大量的工作 “ ” 】，提出了 Ｈａｍ Ｊｉｔｏｎ力学计算的 辛算 法．辛 算
・２ｇ７
法是一种时间演化的有限差分格式，每一步都由相空间中的正则变换给出．在这个格式给出
的辛变换 中，取时间步长 △ｆ作为一个参数．如果这个辛变换与 Ｈａｍｉｌｔｏｎ系统的相流之差的
阶是 Ｏ（１△ １ ），Ⅱ＞０，则它是 Ｈａｍｉｌｔｏｎ动力学的一个有限差分近似．由于在这个算法中
进行任意次数的送代仍得到一个辛变换，因此它可以保持原有系统的辛结构，并保持相体积
守恒．由于经典的 Ｒｕｎｇｅ—Ｋｕｔｔａ差分格式是一个耗散格式，不是一个辛格式，因此不能保持
计算的长期稳定性，不适合 Ｈａｍｉｌｔｏｎ力学计算．辛算法的出现揭开了 Ｈａｍｉｌｔｏｎ力学计算
的新篇章．
对于有对称性的力学系统，我们当然希望在计算过程 中与系统的对称性有关的运动积分
守恒，从而算法与动力学的约化相容．因此守恒算法 的 研 究 有 重 要 的 意 义．一 些 关 于
Ｈａｍｉｌｔｏｎ力学系统的算法可以保持能量积分守恒．但一般说来，不能使所有运动积分 都 守
恒．事实上，将有些能量守恒算法用于 自由刚体运动时，在不长的时间范围内就会引起动量
矩的显著漂移．在许多力学计算问题中，保持动量 （或与动量有关 的运动积分）守恒往往比
保持能量守恒更为重要，那么我们就应当采用动量守恒算法．由于 Ｈａｍｉｌｔｏｎ系统的动量积
分密切联系着系统在某些对称群作用下的不变性，动量守恒算法应 当具有与真实动力学相同
的群不变性．
在构造动量守恒算法时，我们自然希望同时保持ＨａｍｉＩｔｏｎ结构不变．假设Ｈａｍｉｌｔｏｎ系
统在 Ｌｉｅ群 Ｇ作用下是不变的，于是系统有与动量映射 Ｊ：Ｐ一旷 对应的运动 积 分．最近
葛忠，Ｍａｒｓｄｅｎ“Ｏｌ， ＣｈａｎｎｅｌＩ和 ＳｃｏｒｅＩ １等提出了 Ｌｉｅ—Ｐｏｌｓｓｏｎ积分算法 （即 Ｇ一等变辛
算法）．在一些较弱的附加条件下，这个 Ｇ一等变辛算法可以准确地保持动量 ｌ，以及有关的运
动积分守恒．例如，这个算法用于自由刚体运动，可以精确地保持角动量始终等于初始值．更
一
般地，这个算法的不变性可以保证求得的解始终保持在约化的相空间内．对于 Ｐ＝ ＋口，
且Ｇ通过余切提升作用在Ｐ上的重要情形，取近似 Ｈａｍｉｌｔｏｎ—ｌａｃｏｂｌ生成函数 △。如下：它
是一个Ｇ一不变函数，且近似于以 △ 表示时间的非定常 Ｈａｍｉｌｔｏｎ－ｌａｃｏｈｉ方程的解．这个近
似生成函数 一可以用来建立一个 １阶显式的动量守恒辛差分格式．上述等变辛算法严格地
保持动量守恒，一般不能保持系统的能量 （ＨａｍｉＩｔｏｎ函数）守恒．数值计算结果表明，在辛
算法中能量随时间只是作有界的振荡变化，从而在相当长的时间内基本保持不变．然而对于
通常的 Ｒｕｎｇｅ—ＫｔＬｔｔａ算法，动量和毹量都有明显的积累误差．辛算法或等变辛算法的上述性
质使得它们非常适合于 Ｈａｍｉｌｔｏｎ系统 （有限维或无限维）的长期行为，特别是周期运动、概
周期运动和强沌运动的研究．
鉴于运动积分守恒的重要性和 Ｈａｍｉｌｔｏｎ结构在有对称性的 Ｈａｍｉｌｔｏｎ力学系统的约化
中所起的重要作用，我们可能有希望找到一种算法，它能同时保持能量、动量 （和其他的独
立运动积分）以及辛结构不变．然而葛忠和 Ｍａｒｓｄｅｎ［１ Ｏ 等指出，这种算法是不 可 能 实 现
的．因此目前人们还建立了同时保持动量和能量守恒的非辛算法．
总的来说，在近代力学和工程技术问题的算法中，动量守恒经常是优先考虑的要求．在
保证动量守恒的前提下，我们还可以根据其他的要求 （例如显格式或隐格式、能量或辛结构
的不变性等）去选择不 同的算法．
８ 结束语
本文简要地介绍了广义 ＨａｍｉＩｔｏｎ系统理论的发展历史、现状、基本概念和方法．着重
・２９８・
介绍了广义 Ｐｏｉｓｓ。ｎ括号、约化、Ｈａｍｉｌｔｏｎ系统的相对平衡点稳定性、广义 Ｈａｍｉｌｔｏｎ系统
的分岔和混沌、辛算法和动量守恒算法等问题．由于篇幅所限，这里来能涉及广￣７．．Ｈａｍｉｉｔ０ｎ
系统的其他一些问题，例如 Ｈａｎｎａｙ
力学的理论和近代应用有重要价值，
深刻影 响．
Ｂ ｅｒｒｙ ｔ６，１ ；。。 几何相位等．
而且对机器人、量子化学、
参
考
文
献
它们不仅对于发展Ｈａｍｉｌｔｏｎ
核磁共振、微生物学等也有
ｉ Ａｂｒａｂａｍ Ｒ ＩＩ，ＭａＪ ｓｄｅｎ Ｊ Ｅ．Ｆ∽ Ⅱｄｒｔｉｏｎ
Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ（２ｎｄ Ｅ ｒｌ￣ｔ＇ｃ，ｎ）．Ａｄｄｉｓｏｎ－Ｗｅｓｌｅｙ ０９７８）
２ Ａｒｎｏｌｄ Ｖ Ｉ．Ｓｕｒ ｌａ ｇｅｏｍｅｔｒｉｅ ｄｉ
ｆｆｅｒｅｎｔｉ
ｓＩＩｅ ｄｅｓ ｇｒｏｎｐｓ ｄｅ Ｌｉｅ ｄｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｉｎｆｌｎ；ｅ ｅｔ ｓｅａ ａｐｐｌｉｃａ－
ｔ；。Ⅱｓ ａ】＇ｂｖｄ ｃｄｙＤａｍ ｑｕｅ ｄｅｓ ｆｌａｉｄｓ ｐｚｒｆ￣ｉｔｓ．Ａｎｎ．Ｊ“５ ．Ｆｏｕｒｉｅｒ．１６（１９６６）：３１９—３６ｉ
３
— — ．Ｏｎ ａｎ ｐｒｉｏｒｉ ｅｓｔｉｍａｔｅ ｉｎ ｔｈｅ ｔｂｅｏｒｙ ｏｆ ｈｙｄｒｏｄｙｎａｍｉｃ ｓｔａｂｉｌｔｙ ｔｚｖ．Ｉ／ｙｓｓｈ．Ｕ ｅｈｅｂｎ．Ｚｖｅｄ．
Ｍａｔ．，５４ ４１９６６）：３— ５
４ —— ．Ｍａｔｈｅｍａｔｉｅａ］Ｍｅｔｈｃｄｓ ｏｆ ＣｌａｓｓｉｅＭ ｌｖｉｅｃｈａｎｉｃｓ，Ｓｐｒｉｎｇｅｒ—Ｖｅｒｌａｇ（１９７８）
５ ——
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８ｏ ８
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ｌＯ Ｇｅ Ｚ，Ｍ ａｆｓｄｅｎ Ｊ Ｅ．Ｌｌｅ—Ｐｃｉｓｓｏｎ ＨａｍｉＩｔｏｎｉａｈ Ｊａｃｏｂ！ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ Ｌｉｅ—Ｐｏｉｓｓｏｎ ｉｎｔｅｇｒａｔｏｒ．Ｐｈｙｓ．
Ｌｅｔｔａｒ Ａ．１３３ ４１９９０）：ｌ３４—１３９
１ｌ Ｇｕｃｋｅｎｈｅｉｍｅ＝ Ｊ Ｈ ｍｅｓ Ｐ ｊ．Ｎｏｉ
ｔｌｌｎｅｎｒ Ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｉ
ｔｓ，Ｄｙｎａｍｉｃａｌ Ｓｙｓｔｅｍｓ，ａｎｄ Ｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎｓ ｏｆ Ｖｅｃｔｏｒ
Ｆｉｅ１ｄｓ Ｓｐｒｉｎｇｅｒ—ｇｅｒｌａｇ（ａ９８３）
一
１２ Ｈａｎｎｎ， ｉ．Ａａｇｌｅ ｖａｒｌａｂｌｅ ｈａｌｏｔｌｏｍＹ ｉｎ ａｄｉａｂａｔｉｃ ｅｘｃｏ．ｔ＇ｓｉｏｎ ｃｆ ａｎ ￣ｎｔｅｇｒａｂｌｅ Ｈａｍｉｌｔｏｎｌａｎ． ，． Ｐｈｙｓ．
Ａ：Ｍａｔｈ．Ｇｅｔ１．，１８ ０９８５） ２２１－２３０
１３ Ｈｏｌｍ Ｄ Ｄ Ｍａｒｓｄｅｎ Ｊ Ｅ，Ｒ８ｔｊｕ Ｔ，Ｗｅｉｎｓｔｅｉｎ Ａ。 Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｓｔａｂｉＨｔｙ ｏｆ ｆｌｕｉｄ ａｎｄ ｐｌａｓｍａ Ｅｑｕｉ［ｂｒｉａ，
Ｐｈｙｓ。 ｅｐ。 １２３（ｔ９８５）：１一儿６
ｌ４ Ｈｏ１ｍｅｓ Ｐ Ｊ．Ｍａｒｓｄｅｎ Ｊ Ｅ．Ｈｏｒｓｅｓｈｏｅｓ ａｎｄ Ａｒｎｏｌｄ‘ｓ ｄｉｆｆａｓｌｏｎ ｆｏｒ Ｉｔａｍ［１ｔｏｎｌａｎ ｓｙｓｔｅｍｓ ｏｎ Ｌｉｅ ｇｒｏｕｐｓ・
１ｎｄａｎⅡＵｎｉｖ． ａｔ ．，．，３２ ４１９８３） ２７３— ３Ｏ９
１５ ＫａⅡｇ ＦｅｎＥ（冯隶）．Ｄｉｆｆｅ ｒｅｎｃｅ ｓｃｈｅｍｅｓ ａｎｄ ｓｙｍｐｌｅｃｔｉｃ ｇｅｏｍｅｔｒｙ．Ｐｒｏｅ。Ｄ￡１９８４ Ｂｅｉｊｉｎｇ Ｓｙｒ
ｕｐ・ｏｎ Ｄｉｆｆ・
Ｇｅｏｍｅｔｒｙ ａｎｄ Ｄｉｆｆ。Ｅｑｓ。— — Ｃ。ｍｐｎｔ砒Ｉ。ｎ ｏｆ Ｐａｒｔｉａｌ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ￣ａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ４ｅｄ Ｆａｎｇ Ｋａｎｇ）．Ｓｃｉｅｎｃｅ
Ｐｒｅｓｓ，Ｂ
ｅ；ｊ Ｅ ０９８５）：４２— ５８
Ｉ６
— — ．Ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｓｃ ｅｍｔｓ ｆｏｒ Ｈａｍｉｌｔ。ｉ
ｔｉａｎ ｆｏｒｍａｌｉｓｍ ａｎｄ ｓｙｍｐｌｅｃｔｉｃ ｇｅｏｅｍｔｒｙ．，。Ｃａｍｐ．Ｍ ａｔｈ。，４
（１９８６） ２７９－２８９
ｌ７ —— ，ＭｅⅡｇ— ｚｂａ０ Ｑｉｎ（秦盂兆）。Ｔｈｅ ｓｙｍｐｌｅｃｔｉｃ ｍｅｔｈｏｄｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｏｍｐａｔａｔｉｏｎ ｏｆ Ｈａｍｉｌｔｏｎｉａａ ｅｑｕａ－
ｔｌｏｎｓ 工ｅｃｔ ｔ＇ｅ Ｎｏｔｅｓ ｉｎ Ｍａｔ＾。 Ｎｏ。１２９７．ｓｐｒ ｎｇｅｒ—Ｖｅｒｌａｇ（１９８７） １－３７
１８ Ｋｒｉｓｈｎａｐｒａｓ ｄ Ｐ Ｓ，Ｍ ａｒｓｄｅｎ Ｊ Ｅ。ＨａｍｉＩｔｏｎｉａｎ ｓｔｒｕｃｔｕｘｅｓ ａｎｄ ｓｔａｂｉ
ｌｉｔｙ ｆｏｒ ｒｉｇｉｄ ｂｏｄｉｅｓ ｉｆｈ ｆｌｅｘｉｂｌｅ
ａｔｔａｃｈｍｅｎｔｓ．Ａｒｃ 。 ｃ，。
ｅｃ ．Ａｈａ１．，９８（ｉ９８７）：７ｌ—９３
ｉｇ Ｋｕｐｅｒｓｂｍｉｄｔ Ｂ Ｃ． Ｇｅｃｍｅｒｒｙ ｏｆ ｊｅｔ ｂｕｎｄｌｅｓ ａｉ
ｔｄ ｔｈｅ ｓｔ ｒｕｃｔｕｒｅ ｏｆ ｇｒａｎｇｉａｎ ａｎｄ ／／￣ｍｉｌｔｏｎｉａｎ ｆａｒｉ
ｎａ—
ｌｉｓｍｓ．ｊｎ Ｇｅ。ｍｔ ；ｃ Ｍｅｔｂｏｄｓ ｉｎ ＭａｄＬｅｍａｔｉｃａｔ Ｐｈｙｓｉｃｓ ４ｅｄ ＫＭｓｅｒ Ｇ．．Ｍａｒｓｄｅｎ Ｊ Ｅ）．Ｌｅｃｔｕｒｅ Ｎｏｔｅｓ
ｉ Ｍａｔ 。，Ｎｏ。７７５，Ｓｐｒｉｎｇｅｒ—Ｖｅｒｔａｇ（１９８０）：ｌ６２—２１８
２Ｏ ＬｉｃｈⅡｅｒｏｗｉｃｚ Ａ。
ｓ Ｙａｒｉｅｔｅｓ ｄｅ Ｐｏｉ
ｓｓｏｎ ｅｔ ｔｅｕｒｓ ａｌｇｅｂｒａｓ ｄｅ Ｌｉｅ ａＳｓｏｃ￣ｅｅｓ。， ＤｉｆＩ，Ｇｅｏｍｅｔｒｙ・１２
４１９７７）：２５２－３００
２１ Ｍａｇｒｉ Ｆ．Ａ ｓｔｒ
ｏｐ／ｅ ｍｏ
ｄｅｌ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇ￣ａｂｌｅ Ｈ￣ｍｉｌｔｏｎ Ｊａｎ ｑＨａｉ；∞ ，，。Ｍａｔｈ Ｐｈｙｓ． ｌ９ （１９７８）
ｌ１５６－ １１６２
２２ Ｍａｎｉｎ Ｓ Ｖ。Ａ１辨ｂｒａ ｃ ａｓｐｅｃｔｓ ｏｆ ｒｔｏｎｌｉａｅａｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ． ．￣ｏｖｉｅｔ Ｍａｔｈ．・１１（１９７９）ｉ
ｌ一 １２２
２３ Ｍａｒｓｄｅｎ Ｊ Ｅ． Ｒａｔｌｕ Ｔ。Ｓｅｍｉ—ｄｉｒｅｃｔ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ａｎｄ ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ ｉｎ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ。Ｔｒａｎｓ．Ａｍ． Ｍ ａｌｈ．
。，
２８１（１９８４）：１４７一ｌ７７
２４ — — 。 — — ．Ｒｅｄｕｅｔｉｏｎ ｏｆ Ｐｏｉｓｓｏａ ｍａｎｉ
ｆｏｌｄｓ．Ｌｅｆｔ Ｍ ａｔｈ。Ｐｈｙｓ，，１１（ｔ９８６）ｊ ｌ６ｌ—Ｉ７Ｏ
２５ ———，Ｗ ｅｌｎｓｔｅｉｎ Ａ．Ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ｓｙｍｐｌｅｃｔｉｃ ｍａｎｉｆｏｌｄｓ ｗｉｔｈ ｓｙｍｍｅｔｒｙ。Ｐｅｐ， Ｍａｔｈ． ｐｈｙｓ。，５
・８９９・
（
）：１２１－１３０
２６ Ｍｏｎｔｇｅｍｅｒｙ Ｋ．Ｚｓｏｌｌｏｌｏ￣，ｏｍｉｃ ｐｒｏｈ１
ａａｄ ｓ
ａｐｐｌ！ｃａｔｉｏｎ￣．Ｃｏｍ川．：ｇｉｓｔｈ．尸ｈｙｚ．，１２８（１９９０）
５６Ｓ～ ５９２
ｚ７ Ｏｌｖｅｆ Ｐ Ｊ．Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ Ｄｆ Ｌｉｅ Ｇｒｏｕｐｓ沁 Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ・Ｒ１ Ｅｑａａｔ ａｏｎｓ Ｊ Ｓｐｒｊｎｇ Ｖｅｒ［ａｇ（Ｚ９８６）
２８ Ｓｉｍｏ Ｊ Ｃ，Ｐｏｓｂｅｒ ｇ１ｌ Ｔ Ａ，Ｍａｒｓｄｅｎ Ｊ Ｅ．Ｓｔａｈｉｌｉｔｒ
ｃｏｕｐｌｅｄ ｒｌｇＪｄ ｂｏｄｙ ｎｄ ｇｅｏｍｅｔｒｉｃａｌｌｙ ｅｘａｃｔ
ｒｏｄｓ：ＢＩｏｃｋ ｄｉａｇｏｎＭｉｚａｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｈｅ ｅｎｅｒｇｙ—ｍｏｍｅｎｔｔｌｍ ｍｅｔｈｏｄ． Ｐｋｙｓｉｃｓ月ｅｐｏｒｔｓ １９８（１９９０）：２７９～
３６０
２９ Ｓｍａ】ｅ Ｓ．ＴｏｐｏＩｏｇｙ．ａｎｄ ｍ ｅｃｈａｎｊ
Ｐａｒｔ Ｉ ＆ Ⅱ．，” ．Ｍａ ，１０（１９７０）：３０５—３３ｌｊ １Ｉ（１９７０）：
４５～ ６４
３０ Ｓｎｄａｒｓｈａｎ Ｅ Ｃ Ｇ，Ｍｕｋａａｄａ Ｘ．Ｃｌａｓｓｉｃａｌ Ｄｙｎａｍ ｃｓ Ａ Ｍ ０ｄｅ，
Ｐｅ ｒＳｐｅｃｔｉｖｅ，ｊＤｂｎ Ｗ ｉｌｌｅ￣ ＆ Ｓｏｎｓ
（１９７ａ）
３１ ＶＪｎｏｇｒａｄｏｖ Ａ Ｍ．Ｈａｍｉｌｔｏｎｉａｎ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ
ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｙ Ｓｏｕ．Ｍ ａｔｈ．Ｄｏｋ！．，１９（１９７８）：７９０－７９４
３２ Ｗｅｉｎｓｔｅｉａ Ａ．Ｔｈｅ ｌｏｃａｌ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｃ，ｆ ｐｃｉｓｓｏｎ ｍａｎｉｆｏＩｄｓ．，．Ｄ ， Ｇｅｏｍ，．１８（１９８３）：５２３～５５７
３３ Ｗｉｇｇｉｎｓ Ｓ．ＧＩｏｂａｌ Ｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎｓ ａｓｄ Ｃｈａｏｓ：Ａｎａ］ｙｔｉｃａ￣ｍｅｔｈｏｄｓ．８ｐｒｉｎｇｅｒ－ｇｅｒｌａｇ ０９８８）
・
３４ — ＿ｌ Ｈｏｌｍｅｓ Ｐ ． Ｈｏｍｏｃｌｉｎｌｃ ｏｒｂ￣．ｔｓ ；ｎ ｓｌｏｗ Ｔｙ ｖａｒｖ ｎｇ ｏｓｅｉｌｌａｔａｒｓ． ，
，．盯 Ⅱ巩
Ａｎａ１．，１Ｂ
（１９８７）：６１２－６２９（ｓｅｅ ａｌｓｏ ＳＩＡＭ ，．Ｍａｔｈ．Ａｎａ１．，１９（１９８８）：１２５３－１２５５ ｅｒｒａｔａ）
３５ 一
，一
．Ｐｅｒｉｏｄｉｃ ０ｒｂｉｔｓ ｉｎ ｓ｛ｄｗＩＹ ｖａｒｙｌｎｇ ｏｓｅｉｌｌａｔｄｒｓ．ｉｂｉｄ １８（１９８７）：５４２－６１１
３６ 赵晓华．广义 Ｉａｇｔｍｉ！ｔｏｎ扰动系统 的周觐轨道、同宿轨道分岔与蔼沌．北京航空航天大学蹲士学位论文 （ｉ９９１）
’
３７ 秦盂兆．辛几何殛计算哈督 力学．力学与宴赋． （ｉ９９０）：ｌ～２０
３８ 程耀 刚体和刚一弹耦合系统的 ＨＡｍｍ ｎ结构、约化及运动稳定性．北京航空航天大 学博士学位论文 （１９ｇｔ）
３９ Ｍｅｌｎｉｋｏｖ Ｖ Ｋ．Ｏｎ ｔｈｅ ｓｔａＳｉ！ｉｔｙ ａｆ ｔｈｅ ｃｅｎｔｅｒ ｆｏｒ ｔｊｍｅ ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎｓ．Ｔｒａｎｓ．Ｍ ｏｓｃｏｗ Ｍ ａ＃ｈ・
Ｓ０ｃ．，１２（１９６３）：ｌ～５７
ＲＥＶｌＥＷ ０Ｎ ＴＨＥ ＲＥＳＥＡＲＣＨＥＳ ＯＦ
ＧＥＮＥＲＡＬＩＺＥＤ ＨＡＭＪＬＴ０ＮＩＡＮ ＳＹＳＴＥＭＳ
Ｚｈａｏ Ｘｉａｏ—ｈａｓ
Ｉｎ ｓｔｉｔｕｔｅ ｕｆ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈ．ｏｆ Ｙｎｎｎａｎ Ｐｒｏｖｉｎｃｅ．ａａｄ Ｄｅｐｔ
０Ｉ Ｍａｔｈ．，Ｙｆ
ｉｌｌｎａｎ Ｕｈｉｒｅｒｓｉｔｙ，Ｋｕｎｍｉｎｇ，６５００９１
Ｃｈｅｎｇ Ｙａｏ
Ｌｕ Ｑｉ—ｓｈａｏ
Ｈｕａｎｇ Ｋｅ一１ｅｌ
Ｄｅｐａ ｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｅｓ ａｎｄ Ｐｈｙｓｉｃｓ，Ｂｅｉｊｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
０ｆ Ａｅｒｏｎａｕｔｉｃｓ ａｎｄ Ａｓｔｒｏｎａｎｔｉｃｓ，Ｂｅｉｊｌｎｇ，１０００８３
Ａｂｓｔ ｒａｃｔ Ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌ＇ｉｚｅｄ ＨａｍｉｌｔＯ￣ｉａｒｔ ｓｙｓｔｅｍ （Ｇｔ－ＩＳ）， ｄｅｆｉｎｅｄ ｄｉｒｅｃｔｔｙ ｂｙ ｔｈｅ
ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ Ｐｏｉｓｓｏｎ ｂｒａｃｋｅｔ， ｉｓ ａ ｇｅｕｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｔｒａｄｉｔｉｏｒｔａｌ Ｈａｍｉｌｔｏｎｉａｎ
ｓｙｓｔｅｍ ｄｅｆｉｎｅｄ ｏＲ （ｅｖｅｒ ｄｉｍ。）ｓｙｍｐｌｅｃｔｉｃ ｍａｎｌｆｏｌｄ．Ｔｈｅ ＧＨＳ ｃａｒ ｄｅｓｃｒｉｂｅ ｍｏｒｅ
’
ｇｅｎｅｒａｌ ｄｙｒｔａｍｉｃａｌ ｓｙｓｔｅｍｓ ｉｎｃｌｕｄｉｎｇ ｏｄｄ— ａｎｄ 。。一ｄｉｍｅｒｔｓｉｏ￣ａｌ ｓｙｓｔｅｍｓ￣ ｈｅ ｒｔｃｅ ｔｈｅ
ｓｔｕｄｙ ｏｈ ｔｈｉｓ ｆｙｐｅ ｏｆ ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｌｌ ｂｅ ｖｅｒｙ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｉｎ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ ａｐｐｌｌｃａｔｉｏ￣ｓ。
Ｉｒｔ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ， ｗｅ ｇｉｖｅ ａ ｒｅｖｉ，ｅｗ ｏｎ ｔｈｅ ｒｅｓｅａｒｃｈｅｓ ｏｆ ｇｅ￣ｅｒａｌｉ ｚｅｄ Ｈａｍｉｌｔｍｔｉａｎ
ｓｙｓｔｅｍｓ ｉｎ Ｃｈｉｎａ ａｎｄ ａｂｒｏａｄ．
ｇｅｙｗｏｒｄ ｓ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ Ｈａｍｉ Ｚ￡ｏｎｉａｎ Ｓｙｓｔｅｍ￣ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ Ｐｏｉｓｓｏ￣ ｂｒａｃｋｅ＊｝
ｒｅｄａｃｔ 。 ；ｓ￡口６ ２ｉ￡ ；ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ￣ｂｉｆｕｒｃａｔｉｏ￣ ｃｈａｏｓ；
ｉｎ ６ｅｇｖａ￡ｏｒ
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快速查看提要用广义Poisson括号直接定义的广义
Hamilton系统是经典
Hamilton .... Lie的“函数群理论及1阶线性偏
微分方程的. 积分研究工作中．
... 个
单参数对称群． 定义3．1 Lie群G在Poisson流形P上的一个
.... 拓扑空间上. 的流（或群作用）的平衡点。称为稳定的，如果对的每一邻域，都存在一较小的邻域
...210.41.95.14/xiti/lw-36.pdf
