本节以欧氏空间
Rn 为背景, 粗略地介绍Rn 中n 维微分流形M 的概念, 切空间
T
pM( 流形上p 点切空间是切平面的推广, 它是n 维线性空间, 其上的向量称为切向量,
在局部坐标系下的基
{ ¶
¶
x i p
,
i = 1, ⋯, n}) 。它的对偶空间T *
p
M, 称为微分空间( 它亦
为n 维线性空间
, 在局部坐标系下对偶基为{dx i, i = 1, ⋯, n}) , 在微分空间T *
p
M 上引
进外积Λ以后
, 生成一个Grassmann 代数Λ, 由§ 5. 1 内容可知, 其上k - 形式( 1 ≤ k
≤ n
) 称为k - 微分形式。在Λ上引进外微分d 把k - 微分形式映射为( k + 1) —— 微
分形式
, 建立了外微分式在流形上的积分, 它把流形的局部性质和整体性质联系起来,
最后建立流形上的
stokes 定理, 即建立了流形上的积分与边界积分之间关系, St okes
定理在物理学、力学及偏微分方程、微分几何中有着十分重要的作用
