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非线性——天籁
写给一个朋友
这个朋友说到另一个人理解的非线性，感觉怪怪的。于是，也，xie xia le zhe xie wen zi。
历史上，牛顿的不肖子孙拉普拉斯口吐狂言：只要知道宇宙某一时刻的初始与边界条件，那么它的未来就完全掌握在人类的手里了。这个拉普拉斯，真是大言不惭，万能的上帝在他眼里变成了墨守成规的木偶人了。
当时伟大的Talor已经发现了一个普遍规律：任何一个函数在局部都能用Talor级数展开，只要它的Talor余项收敛。而这个Talor级数却是简单的多项式，它的定义域可以从局部延伸，如果有可能，还可以延伸到整个区域。级数如何收敛以及定义域如何延伸，就成了人们茶余饭后津津乐道的话题了。
一个描述系统运动规律的方程的解既然也是一个未知函数，那么，可不可以倒过来想，直接用某个Talor级数表述那个未知函数，而不管它的Talor余项是否收敛，直到把所有的Talor系数定出来，再看看它是否收敛。
正是基于这种想法，当时的人们相信，任何规律都可以用公式表示，只要能列出系统运动的方程式。就是说，任何方程的解都能用某个公式表述出来。从而，宇宙中万事万物的规律也就显露无余了。
随后的两个多世纪里，世上最聪明的头脑做了大量异常炫目的工作，直到天才的彭加莱降世。彭加莱发现，现实中某些系统的未来很难预测，他在Science and Method中写到：
为什么气象学家如此难于给出有相当肯定性的天气预报？为什么阵雨甚至暴风雨似乎是偶然来到的？虽然，人们可能认为通过祈祷求得日食是荒谬的，但是，很多人认为求雨或祈求好天气是很自然的。我们知道大的扰动一般在空气处于不稳定平衡的区域产生。气象学家很清楚平衡是不稳定的，在某地形成气旋，但是不能精确的说在什么位置；在任何给定的点大于或小于1/10度，气旋将在这里爆发而不是在那里，使得那个区域免予灾害。如果它们注意到了这个1/10度，他们就可能预先知道。但是要么观察没有足够可理解程度，或者没有足够的精确度。这就是为什么似乎一切都由于偶然性的介入。还可以发现同样的对比，一方面是对观察者不觉察的微不足道的原因，另一方面是有相当影响，有时甚至是严重的灾难。
当时的彭加莱也在集中全部精力研究级数的收敛问题。他发现，对于某个解，取级数的前几项即可得到问题足够精确的解答。但是，随着取项的增多，级数又开始发散了，作为大师，他的心灵是丝毫容不下这些暇眦的。经过仔细研究，他发现了方程的解在某些点处异常复杂。他写道：“复杂的以至于都不想把它们画出来…”。
这里发生了什么呢？下图是一个马鞍面，两条线的交点为0。
图1
俯视马鞍面的图如下：
图2
由图2所示，当d、b、c三条线距离鞍点0较远时，它们犹如灵魂与肉体般附得没有丝毫缝隙，根本没有发散的形势出现。但当沿着三条线靠近鞍点0时，三条线却如灵魂出窍般倏的发散分开，这，正是问题的直观症结所在，即谓“双曲性”。
敏锐的头脑们看到这些，兴奋异常，迅速造出了“双曲集”这个晦涩难懂、令外人生畏的怪物。但，怪异吓人的外表背后，却是如此纯洁无暇的心灵。
彭加莱久久沉浸在美妙的乐曲中不愿醒来，他渐渐听到，非线性系统，不可能用简单华丽而又庄严的公式表述其未来。而且，随着时间的流逝，以前看不到的信息会出现，而以前有的信息会消失，世事无常，瞬息万变。彭加莱最终放弃了定量的公式方法，开始探索新的更锐利的工具。
上帝在彭加莱的耳边轻轻呼唤，这位神的使者隐隐听到了拓扑的气息，渐渐觉到了它的光芒，并开始用这个无比绚丽却又异常庞大的武器从定性的角度研究一个方程解的性状。混沌，在那一刻，被大师的心灵捕捉到了。
人们循着大师心灵的光芒，隐隐看到了造物主是一个清醒异常无所不能的神，他给我们留了太多的迷，解开一个，更多的却又出现了。非线性，可怕的幽灵，使得人们不可能知道造物主的下一步到底要做什么、究竟要做什么。
世间万物，皆瞬息万变。
Ian Stewart 写到：The flapping of a single butterfly's wing today produces a tiny change in the state of the atmosphere. Over a period of time, what the atmosphere actually does diverges from what it would have done. So, in a month's time, a tornado that would have devastated the Indonesian coast doesn't happen. Or maybe one that wasn't going to happen, does.(Ian Stewart, Does God Play Dice? The Mathematics of Chaos,pg.141)
