保守系统的爆破

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保守系统的爆破

2009-10-07 02:28

刚看完胡非的《大气湍流》：http://bbs.lasg.ac.cn/bbs/thread-32637-1-1.html 流体力学中的未决问题可真多啊。     关于保守系统的爆破： 主要参考了两个例子，一个是天体力学中的Painleve猜想（夏志宏证明），另一个就是无粘流体力学中的Taylor-Green问题（Morf-Orszag-Frisch计算机数值证明）。   考虑一般的保守系统，定义一个相空间。   定义一：如果一个轨道的归宿是无穷远处（即系统的状态出现了奇异性），且出现奇异性所花的时间为有限，那我们称这个轨道上的每个点为无界点。   定义二：如果一个轨道总在相空间的一定范围内，那我们称这个轨道上的每个点为有界点。   定义三：称有界点的集合为有界域，无界点的集合为无界域。 很显然，有界域与无界域的分界面为那些需花无穷长时间才能到达无穷远处的轨道的集合。   定义四：如果一个保守系统存在无界域（即对某些初始条件会发生爆破），则称此系统是非平凡的。反之称为平凡的。   问题一： 什么类型的保守系统是非平凡的呢？ 很显然，弹簧振子系统是平凡的。而由Painleve猜想的被证明及Taylor-Green问题的被数值证明，可见引力系统和Euler方程是非平凡的。   问题二： 非平凡系统的有界域与无界域的分界面是怎样的？ 是分形，还是光滑的？ 分界面的维数是怎样的？ 我觉得对非平凡系统的有界域与无界域的分界面的研究的重要性远远超过了对平凡系统的混沌的研究。因为平凡系统的混沌虽然号称“差之毫厘，谬以千里”，但其实误差是有限的，也没什么了不起。举一个不太好的例子（因为是耗散系统），即使蝴蝶扇一下翅膀能使晴天变阴天，但绝不可能使晴天变雪天。 但如果是在非平凡系统的有界域与无界域的分界面上，出一点差错就不得了了。                     把很久之前的一堆东西也贴上：     Constantin，Foias和Temam等人证明了，N-S方程的全局吸引子是有限维的，而且在2维和多维情形可以明确给出全局吸引子的维数的界限，例如2维时这种估计本质上是最佳的，因为Babin和Vishik曾证明过，A的维数可以>=Re(4/3)。这个结论与Batchelor和Kraichnan关于2维湍流的结果是一致的。因为全局吸引子通常是分形型的集合，非常复杂。所以人们研究它的一个途径就是设法把它嵌入到一个光滑的空间──惯性流形中去。 注：Landau自由度给出的结果是Re(9/4)。 二十世纪后半叶以Kraichnan为代表的一代人致力于从流体动力学方程推导湍流运动场的统计解，虽有许多进展，但对湍流应用有影响的成果几乎没有。今天，人们反思这个情况，仍感困惑。人们能从流体运动的动力学方程得到湍流运动的统计解吗？与这个问题类似的一个基本问题是人们能从分子运动的牛顿力学方程得出分子热运动的统计解吗？看来答案不是很乐观。虽然姚鸿泽从统计力学原理严格推导出了巨观的Euler及N－S方程。 要证明x2+1=y2除(0,1)外无整数解，你就得超出整数范围，到Gauss整域求援，要证明xn+yn = zn, n>2无非零整数解，你就得求诸于代数数论的方法。实函数积分往往要看成复数积分的一部分才能求出，等等。例子多得不胜枚举。等你习惯了之后，或许你会体会到数学是一体的，「越轨」似乎