广义相对论中这样的群却是无穷维的—时空的微分同胚群—它是所有满足爱因斯坦场方程的时空结构的几何变换群,“内积问题”,“时间问题”
评《关于量子力学中总角动量L的定义问题》
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小吴首先写出“1、量子力学中所说的“物理量”、“力学量”、“可观测量”，讲的是同一个东西，只是叫法不同而已。”这是有误的。实际上，物理量是描物质的属性、结构及其运动变化的量，其范围极其广泛，而力学量仅仅是描述“动力学运动变化”的物理量，而可观测量的范围是在引进的物理量内逐步扩大的，可见，物理量、力学量、可观测量不是同一个东西。
接下去他又说道“2、根据可观测量的定义，我们知道可观测量，或者说力学量，必定是一个标量...”，其实力学量可以是矢量，象动量、角动量是最常见的力学量，这些在量子力学中也是可以观测的。例如，对于矢量L，根据氢原子光谱（光强和光频）原则上可以知道H原子处于各（nlm）态的概率，因而知道Lz处于各本征态的概率，这就也决定了Lx和Ly处于各本征态的概率,因而测出了Lx、Ly、Lz，即L矢量是“可观测量”。
小吴的这篇博文，与刘全慧教授在前年的提问《为什么量子力学一般不定义标量总角动量L? 》
（http://www.sciencenet.cn/q/showtopic.aspx?id=154）有关，当时我就说过L（标量）不是力学量，但可能没有引起承认。众所周知，可能守恒（注：“不变”与“守恒”并不等价）的是矢量L而不是标量L。除了坐标和时间，力学量是在特定条件下可以守恒的物理量（在时空坐标内讨论）。矢量L的平方也是力学量。
这里不做更细节的说明。
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
以上未做改动。
鉴于刘全慧博导都对以上说法提出批评，也应吴宝俊的要求，这里只好增加一些注释，算是我对一些评论的回复。
1。小吴说力学量都是标量，这显然是错误的。谁说是我错了，那我问他：动量和角动量是不是力学量？显然，动量和角动量是量子力学中的两个重要力学量，有算符，而他们的大小p和L是标量（是物理量），即，是在坐标转动下不变的量，但他们都是没有定义算符的。可见，即使是在量子力学中，物理量与力学量也不是完全等价的。
2。在量子力学的书本中，一般地说，“可观测量是实数”，所以“力学量算符是厄密的”。而所谓的“力学量”，潜台词是指“经典力学量”，即“经典力学量在量子力学中都有对应的算符”，所有的算符都可以厄密化。一个可能引起争议的是波函数，它“不是力学量”，但它是可以观测的（总有一个任意相因子，但这个相因子是可以重新定义的）。这就是说，即使是在量子力学中，力学量与可观测量有时也不是同一个东西。特别地，势能函数是“经典力学量”、“有对应的力学量算符”，但在量子力学中“是不可观测的量”，“一个相对位置的势能”在量子力学中是没有定义的，这是由于非定域性的缘故。
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2vigorousqhliu
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- [14]qhliu
- 我们观点不一样，很正常。
我从来不觉得自己一定会正确，争论的一个目的就在于把问题弄得清楚一点。
估计你没有完整看过我对这个问题的回答，已经在多处贴过，现在在贴一遍。
首先我回答一个最简答的问题：有没有直接给出轨道量子数 l 的算符? 答案是有！
利用Schwinger 双玻色算符实现，这个算符的明显形式是：a^{+}a+b^{+}b.
一定要承认这个l算符的Schwinger 玻色算符，否则Schwinger会觉得不舒服。
不过如果接受了这一点，下一步就是将L写成 l 的函数形式，然后展开一下搞掂。
不过，如果没有Schwinger 玻色算符实现，就没有办法了? Dirac给出过直接的答案：第四版，P.78-P.79.
对这个问题的严格回答需要以下(哲学或者数学)假设：
1，f，f^2存在；(这个问题不是显而易见的，例如，对于地球场中的粒子，p_x，p_x^2存在，但是p_x^3不存在)
2，它们对易；(如果f，f^2存在，不能保证它们满足算符代数)
3，算符f有谱表示：|f>=Sum_n |n>(<n|f>)。(这个比厄密性的要求要强，正好满足物理上可测量的要求，来自《泛函分析》)
量子力学一般不定义标量总角动量L，其实L才是基础，首先要有L，然后才是L^2! - 博主回复(2011-6-15 08:20)：1.Schwinger玻色化对L^2以及Lx、Ly、Lz是完全的，而对L是受限的，Direc也是对L的值重新定义（p.149），都没有求出L的本征函数。
2.但以上1并不是判断L是否是力学量的充要条件，充要条件是一个量在经典力学中是否完整，仅仅有大小的L是不能反映自然规律。
3.Direc毕竟是古人了，物理不能停留于他那个别时代。就测量观来说，我就不认可他的说法。
4.首先有矢量L(不是标量L)、然后有L^2。
5.我们是争着玩的，即使是Direc的观点，都会有不同的看法，怎能完全一致？但是，我们的观点不能太落后或者有明显的根本性错误，不统一，没关系的嘛。
- [13]qhliu
- 哈哈，不是很懂天德。
不能定义算符在自己的表象中 L:=\sum_l (\sum_{m=-l}^{m=l} \sqrt[l(l+1)] |l m><l m| ) ? 这不是合格的算符吗? - 博主回复(2011-6-14 20:31)：我说不能吃鱼、你说可以吃鸡，
- [12]qhliu
- 9-11楼的讨论不是关键。
关键的一点：我认为标量L本身可以是一个有意义的物理量。
这一点，我和天德看法完全相反。
两个个问题：1，这个算符有意义吗? 2，能给出L的明显形式吗?
1，如果处理球面上的相干态，这个算符无法避免。
目前引用率最高的文献是； B.C. Hall，J.J.Mitchell，Coherent states on spheres, JMP, 43(3)(2002)1211.
下载：www.nd.edu/~bhall/journal_pdfs/jmp43.pdf
2，定义L:=\sqrt[L^2]，取主值分支。这是文献中普遍的做法。 - 博主回复(2011-6-14 20:03)：我觉得你应该先看清我的说法，我的博文已经明确地说p和L是物理量、但不是力学量。在原子物理中就定义L:=\sqrt[L^2]，取主值分支，但是，这样的L值不能被理解为本征值。我重复一遍：L（大小）不是力学量、没有对应的量子力学算符。
- [11]qhliu
- “力学量都是标量”? 矢量算符就不是量子力学动力学量?
好像有点别扭！
是否可以这样表达：量子力学中的可观测量，可以是标量，矢量和张量；但是，对任何“可观测量”进行实际测量，在仪器上得到的基本结果都是一个一个的读数，也就是都是标量。
在物理学任何领域中的测量理论中，这是一个一般性的结论：“观测量的基本结果是标量”。在相对论中，这一点显而易见。
必须说明，纠缠于这一点，是很没有意义的事情。 - 博主回复(2011-6-14 19:15)：“力学量都是标量”? 这是小吴说的。另外，你对测量的理解比较窄。实际上，现代物理的测量基本上都是间接的、多角度（非几何意义的角）的测量，而且，你把一个值理解为一个标量，这是不正确的。
- [10]qhliu
- 如果仅仅局限于量子力学中的“动力学量”，问题稍微简单一点。
他们都是“物理量”，但是这个量是否理论上“可观测量”?
答案：不一定!
除了二次量子化中的问题特别清楚外，谐振子Hamiltonian完全可以写成升降算符的算符函数形式，而升降算符本身在理论上就不是“可观测量”。
这里，不要以为升降算符是有位置和动量算符构成的算符，它们本身可以是第一性的，完全可以独立定义!! - 博主回复(2011-6-14 19:09)：物理量的范围最广、而且有些物理量在刚刚引入后不久是不知道是不是可观测量的，因此可观测量的范围不大于物理量的范围，而力学量的范围更窄。你其它的评论与我的博文似乎无关，但我要说的是，升降算符本身并不对应于力学量，而是它们的不同组合运算对应于不同的力学量。
- [9]qhliu
- 如下三个概念“物理量”、“力学量”、“可观测量”是否一样?
这个问题要先给出定义，然后才能讨论。
如果从字面上讨论，经常会从Dirac滑移到Landau，在滑移到Pauli等而不自觉。太容易偷换概念了。 - 博主回复(2011-6-14 19:01)：你比较关心一些量子力学前辈的说法，而我的说法是一种体会，我的记忆力不好，但自认为物理感觉不是太差。
- [8]qhliu
- 天德敢于讨论这种非常专门的问题，佩服！
科学网就是要讨论一些科学问题，但是讨论的人太少！
天德勇气的比我大，顶起来！
- 博主回复(2011-6-14 18:58)：这些问题在书上不特别说明。
- [7]yuzh
- 关于角动量的问题，在Lewin写的教科书<Quantum Chemistry>中，已经说了很清楚了，与测不准原理有关.
- 博主回复(2011-6-14 18:57)：有些算符不对易、所以有些力学量之间有测不准关系。
- [6]qhliu
- 天德此说，算是博客物理。离经叛道得很，当然是不能拿到课堂上去教学生的。
- [5]soifaint
- 量子力学里面没有明确的“可观测量”或者“力学量”的概念，正常的文献都是直接把这两个和自伴算符对应的量等价。你非要自己定义一个是你的问题。
[4]dabaoski
2、严格的说，矢量X,P只是力学量完全集，是一个集合，不是单纯的一个力学量。而对应于矢量X,P的标量x，p才是力学量。
- [3]vigorous
- 只要能找到它的算符就能观测，找不到对应的算符操作就是不可直接测量，比如用眼睛看到图像，眼睛看是对存在做了一个操作得到图像信息，看就是个算符操作。
- 博主回复(2011-6-14 10:24)：你这样理解算符？
引力量子化的一个基本问题在于缺乏作为背景的几何空间；时空本 身的几何在这里已经具有了动力学的含义。这一点正包含在理论的广义 协变性之中。在标准模型中，时空作为一个固定的几何结构存在着对称 性，这种对称性由一个有限维的群——彭加勒群所描写。而在广义相对 论中这样的群却是无穷维的—时空的微分同胚群—它是所有满足爱因斯 坦场方程的时空结构的几何变换群。这一特点将给理论的量子化带来两 大难题。一方面，在构造希尔伯特态空间的内积时通常的定义不再适用， 这被称为“内积问题”。另一方面，动力学不再由态空间上的几何对称 群作用量所决定，这被称为“时间问题”。此外，由于引力子的高自旋 将导致理论重整化的困难
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