辫子的拓扑,2维平面上的N全同粒子系统的位形空间的基本群是辫子群Bn

 (2). 以“量子拓扑效应”为例:
您可能知道量子理论中的“基本群效应”, 讲的是多连通位形空间上的波函数的特殊性质(如: 如DIRAC的磁单极、Aharonov-Bohm效应, 全同粒子系统的费米-玻色统计, 分数统计和非阿贝尔统计等, 前些年依此对高温超导理论也做了不少探索, 如文小刚等人). 所谓“基本群”是描述多连通空间的基本拓扑性质的. 比如一个平面, 其基本群是平庸的, 因为平面上所有的环都能连续变换到其它任何一个环; 但是, 如果一个平面上被挖掉一个窟窿, 这个带窟窿的准平面的基本群就不平庸了, 因为绕着窟窿的环永远无法变换到没有绕着窟窿的环, 于是其基本群至少有两类元素! 这就是说: “平面”上的量子力学与“带一个窟窿的准平面”上的量子力学是有本质上的区别的! 好! 现在让我们来设想一下: 如果我们让“准平面”里的那个窟窿越来越小, 无限趋近于无穷小…它能达到真正的平面吗? 否!!! 只要这个窟窿不是真正的“等于无穷小”(就是不存在了!), 这个准平面还一直是准平面, 哪怕那个引起非平庸基本群的窟窿已经趋于无穷小了, 由于其基本群还是同样的非平庸群, 所以和真正的平面一直有着本质的区别!趋于无穷和等于无穷, 将发生质的突变!(一个是拓扑非平庸的准平面, 一种是拓扑平庸的平面)。
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希望以上两个比“1/3 vs 0.333~”更具体的例子能够起到“抛砖引玉”的作用! 哈哈!

二傻留言：借此机会，还想顺便说说“维数”：
空间的维数是最重要的几何拓扑性质，不好随便增加或减少维数的！
您将4维空间的某一维无限趋近于无穷小，是无法让其变成3维空间的...
重要的物理例子是：
3维空间中的N个全同粒子系统的位形空间的基本群是置换群Sn，所以只有Feimi和Bose两种统计；
2维平面上的N全同粒子系统的位形空间的基本群是辫子群Bn，所以将有连续的“Theta-统计”（其中自然包括所有的分数统计）。
 

1. 统一之路

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