混沌蝴蝶——洛伦兹吸引子
美国气象学家洛伦兹（E.N.Lorenz，不要和提出洛伦兹变换的那位搞混）是混沌理论的奠基者之一。20世纪50年代末到60年代初，他的主要工作目标是从理论上进行长期天气预报。他在使用计算机模拟天气时意外发现，对于天气系统，哪怕初始条件的微小改变也会显著影响运算结果。随后，他在同事工作的基础上化简了自己先前的模型，得到了有3个变量的一阶微分方程组，由它描述的运动中存在一个奇异吸引子，即洛伦兹吸引子。
洛伦兹的工作结果最初在1963年发表，论文题目为Deterministic Nonperiodic Flow，发表在Journal of the Atmospheric Sciences杂志上。如今，这一方程组已成为混沌理论的经典，也是“巴西蝴蝶扇动翅膀在美国引起德克萨斯的飓风”一说的肇始。它的形式看起来很简单：
洛伦兹方程组是基于流体力学中的Navier-Stokes方程、热传导方程和连续性方程构建的，属于耗散系统。相空间中，耗散系统的终态都将收缩到吸引子的状态上。但对平庸吸引子来说，无论初值如何，终值只有一个，而奇异吸引子却是无数个点的集合，对初值极端敏感。如洛伦兹当年只是忽略了小数点4位以后的数值，得到的结果就有了相当大的偏差，甚至是完全相反。
在洛仑兹原始的工作中，x表示的是对流的翻动速率，y正比于上流与下流液体温差，z是垂直方向的温度梯度。式中三个参数
（Prandtl数）、
和
（Rayleigh数）可任取大于0的数值。常用的组合是
，
，而令取不同数值。
时有混沌现象，奇异吸引子出现，此时系统的演化轨迹如下图所示：
这一图案颇似蝴蝶展翅，所谓混沌理论的“蝴蝶效应”之得名据说也与此吸引子的形状有关。该系统中x、y、z这3个方向数值随时间的演化如下图，其中黑线为x轴变化情况，红线为y轴变化情况，蓝线是z轴变化情况（积分步长
）。
固定另2个参数，的不同取值则决定了系统的不同性质。下面四图分别为该参数取值1、10、14与99.6时的演化轨迹：
由图中可见，在较小（如取1）的情况下，系统是稳定的，演化到两个吸引点中的一个。随着的增加，系统趋于复杂，在时达到混沌状态。的情况是所谓的圆环结（torus knot）。如果单独看以上三种情况x、y、z坐标的演化，可能会更清楚一些：
左上：；右上：；左下：；右下：
Paul Bourke作出过洛伦兹吸引子的3D图象，并发表在2000年8月31日的Nature杂志上：
