数学物理01 "质点系集合论",圆球的惯性运动，那么圆球就处于平衡状态中,然而，圆球上除了轴线上的点，其余各点的加速度都不是零;

 

 

 

 

 

http://www.lw23.com/pdf_ae851088-cc4e-4f87-9c8e-0abd56c78303/lunwen.pdf

第5 期 晏汀等：力学系统平衡的判别准则

 

只有刚体中每一个质

点的加速度都是零时，刚体的运动才是惯性运动，才处于平

衡状态

 

力学系统平衡的判别准则

晏汀 )

(武汉理工大学理学院，武汉430063)

摘要论证了以各质点之加速度为零作为质点系平衡状态判

别准则的不恰当，提出了新的判别准则．并且应用它，论证

了虚位移原理只是D’Alembert—Lagrange原理在平衡状态

下的特殊形式．

关键词惯性运动，平衡状态，判别准则

牛顿第一定律_l J说，物体在未受外力作用时，依其惯

性做匀速直线运动．

后人将“物体”精确化为“质点”．并且指出：质点的这

个“匀速直线运动”是相对于惯性参考系的．牛顿第一定律

因此被称作“惯性定律”．

这个定律给出了两个论断： (1)质点在未受到力作用

时，作惯性运动．它表达了质点的物质属性． (2)这个惯性

运动的形式，在惯性参考系中，是沿着直线的，匀速的．这

是对物理空间的一个假设：这是一个以直线为短程线(测地

线)的欧几里得空间．

这之前，人们认为物体(质点，下同)若未受到力作用，

将是静止的，称作平衡状态．如果质点受到一个力系作用时

仍处于平衡状态，那么这个力系称作平衡力系．

牛顿第一定律说，质点在未受到力作用的时候，作惯性

运动．于是将上面的概念引用过来，成为：质点作惯性运动

时处于平衡状态．如果质点在受到某个力系作用时，仍作惯

性运动，那么这个力系为平衡力系．

惯性定律的论述将平衡状态从静止拓广到了匀速直线运

动这种惯性运动状态，是一大进步．虽然人们仍习惯地把平

衡状态视为静止，但是当质点作匀速直线运动时也承认它处

于平衡状态．此时，作用于它上面的力系为平衡力系．

1 质点系与自由刚体

当研究范围扩大到由若干(或无穷多)个质点组成的质

点系(或自由刚体)时，人们未作多少思考就认为：一个质点

系处于平衡状态，必须是其中每个质点都没有加速度【 ．即

每个质点“都处于平衡状态”，质点系才处于平衡状态．

一

 

个由若干自由质点组成的质点系处于平衡状态时，其

中的每个质点都以各自的速度，沿着各自的方向，作各自的

匀速直线运动．这真是一种丰富多彩的平衡状态．

然而，各个质点受到约束而构成的自由刚体的平衡状

态，为了保证其中每个质点的加速度都是零，只能是任何质

点都只能用同一速度朝同一方向运动，亦即这个自由刚体在

平衡状态下只能作直线匀速平动，犹如一个大质点．为了保

证其中任何质点都没有加速度，这是唯一可能的运动状态．

本文于2006-09—01收到．

1)E-mail：yanting一[e-mail]

晏谦十

(武汉理工大学交通学院，武汉430063)

难道这是自由刚体唯一的惯性运动状态吗?

2 关于虚位移原理的讨论

虚位移原理说： “一个受到理想约束的力学系统处于平

衡状态的充分必要条件是：作用于系统上的主动力力系在系

统的(任何)虚位移上所作虚功之和为零，即> F 占 =0”．

认为只有系统中每个质点的加速度均为零(ai： 0，对

一

 

切i)，系统才是平衡的，这就意味着由>：F · =0

可以推导出ai：0(对一切 )．在进行这一推导时，出现了

困难．于是人们附加了两个条件：

条件1 约束是稳定的．这样就使得实位移集合{dri}

成为虚位移集合{ 。}的子集，在计算>：F · 时可以

计算 Fi·dri．

条件2 系统本来是静止的．这样就使得速度Vi，从而

d 与加速度0 同方向．从而若0 ≠0，则F ·dri>0．

附加这两个条件似乎只是为了论证上的方便．人们希望

以后可以找到一个更好的论证，而不需要它们．然而，事实

表明，由> F · =0推导得ai：0(对一切i)，必须

要有这两个条件，而且缺一不可．现在举一个例子说明之．

设有一根光滑导管ABC 固定于无重力的真空中，AB

段为直线， BC段为曲线，如图1所示．

图1 质点m 以匀速 沿导管ABC 中运动

一

 

个质点m 在导管AB 段以匀速V 自A 向B 运

动，未受到任何主动力作用、此时， > Fi· t=0，即

F · =0(因为F =0)．而且质点无加速度，处于平衡状

态．然而，当它到达B 点后，由于约束而沿BC段运动时，

加速度a≠ 0．此时F·占 =0仍然成立．导管ABC 固

定，为稳定约束． F·占 =0不能保证a=0，其原因在

于系统(质点m)本来不是静止的，即条件二未被满足．

如果在一个以速度V 自A 向B 运动的惯性参考系中

观察，系统(质点)本来是静止的．此时，不能由F · =0

保证a=0的原因是：约束ABC不是稳定的，它在以一t，

相对于惯性参考系运动．

由此可见，两个条件都是必需的．

既然如此，应当在虚位移原理中有明确的叙述．为什么

在原理的叙述中没有呢?因为静止，稳定等不符合伽利略

力 学 与 实 践 2007年第29 卷

(Galileo)相对性原理．在一个惯性参考系中静止，在另一

个惯性参考系中未必静止．稳定也是如此．

3 自由刚体的惯性运动

质点在未受到力作用时作惯性运动．这种运动的特点是

质点的加速度为零．

将这一特点加之于自由刚体，认为只有刚体中每一个质

点的加速度都是零时，刚体的运动才是惯性运动，才处于平

衡状态．那么， 自由刚体的惯性运动只有一种可能的形式：

匀速直线平动．

然而，刚体动力学告诉我们： 自由刚体在没有受到外力

作用时，它的运动(应当是惯性运动)的方式远远不止这一

种．例如，一个均质圆球在未受到任何外力作用的情况下，

可以绕通过球心的某一条轴线匀速转动直到永远．维持这一

转动的是圆球自身的惯性，因此，这是圆球这个自由刚体的

一

 

个惯性运动．

既然是圆球的惯性运动，那么圆球就处于平衡状态中．

然而，圆球上除了轴线上的点，其余各点的加速度都不是零．

所以，在论及质点系的平衡状态时， 以ai=0(对一切

i)作为判别式是不恰当的．

4 手0另0准贝0

如果把达朗伯一拉格朗日(D’Alembert—Lagrange)原

理(又称动力学普遍方程)： >：(F 一miai)· t=0应

用于未受到外力作用的自由刚体，由于> F · =0，我

们得到> miai· ri=0．

- -

这启示我们： miai· =0是一个力学系统是否

处于平衡状态的判别准则．

对于一个自由质点的情形，这个判别式为ma·5r=0．

由于质点是自由的，所以 r任意，从而必须有a=0．这

就是牛顿第一定律所说的：质点在未受到力作用时，依其惯

性，作匀速直线运动．

对于由若干自由质点所组成的质点系， miai· =

0中，由于每个质点都是自由的，所以每个 都是任意的，

从而ai=0(对一切i)，即各个质点以各自的速度，沿各自

的方向作各自的匀速直线运动．

这说明，判别准则> miai· =0是过去判别式

ai=0的一个拓广，它的适用范围更广泛．

5 推论及应用

采用这个判别式，虚位移原理可以作为D’Alembert—

Lagrange原理的推论而得到，论证如下：

对任何系统，有> (Fi—miai)· 。=0．

如果系统处于平衡状态，则> miai· i=0，从而有

Fi· = 0，即系统处于平衡状态的必要条件是作用

于系统上的主动力系在系统的虚位移上所作虚功之和为零．

反之若 F ．5r ：0，则由 (F 一m 0 )．5ri：0

得到 miai· r =0．即系统满足平衡判别准则，从而处

于平衡状态．

平衡状态是一个特殊状态，描述这一特殊状态的虚位移

原理也应当是描述一般状态的D Alembert—Lagrange原理

的一个自然推论．这里顺理成章的．过去未能做到这一点，

是因为我们执意采用ai=0(对一切i)作为系统平衡的判别

准则所致．

参考文献

1牛顿． 自然哲学之数学原理．伦敦： 1934

2冯元桢．连续介质的力学原理．北京：科学出版社， 1984．9

关于点的合成运动速度合成定理两种推导的辨析

王斌耀 徐鉴 )

(同济大学航空航天与力学学院，上海200092)

摘要针对M．M．伏龙科夫著的理论力学教材中点的合成

运动速度合成定理推导，指出推导过程在概念上和数学上出

现的错误．并给出正确的推导过程，以引起力学教学工作者

注意．

关键词牵连位移，牵连点，相对位移，绝对导数

在M．M伏龙科夫著的理论力学教程上册所推导的点

的速度合成定理，从所谓的动系作任意运动的一个位移矢量

2006—10-27收到第1稿， 2007—01—27收到修改稿

1)同济大学理学部课程结构改革与实践项目资助．

21 E—mail：xujian~mail．tongji．edu．cn

图，即在t瞬时与t+At瞬时之间动点的绝对位移、相对位

移和所谓的牵连位移构成矢量三角形(见图1)．其关系式为

=

 

丽+ (1)

式中j ，而 ， ： 分别作为绝对位移、牵连位移、

相对位移的增量．然后除以△t后取极限，得到速度合成定

理．按此推理，在这个基础上，只要再求导数一次，就能得

到动系作任意运动时的加速度合成定理．但在此后加速度合