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第三章 晶格振动与格波
§3.5 晶格振动的量子化、声子（Quantization of lattice vibration, phonon）
以上几节我们用格波来描述晶体中原子实的运动规律；那么，是否存在一种更便于人们思考习惯的粒子图像，来等效地描述格波的性质呢？
晶格振动是晶体中诸原子实在作集体振动，振动的传播表现为晶格中的格波；一般而言，格波不是简谐的，但可以展成为正交归一的简谐平面波的线性迭加。当振动微弱时，格波可近似为简谐波，（参见3.2节）这时，各格波之间的相互作用可以忽略，这就是格波所具有的独立模式*。晶格的周期性及平移对称性使得其独立的运动模式是分立的。因此，我们可以用独立简谐振子的振动来表述其格波对应集合振动的独立模式，这就是声子。声子就是晶格振动中的简谐振子的能量量子
。它是一种集体激发的振动形式**，其能量为 
；对非简谐振动系统，则声子与声子之间就存在着相互作用。
*证明所用到的数学在理论力学中学过，引入简正坐标Qj，
，导出正则方程：
(详见黄昆《固体物理学》513页，固体中的元激发)，进而得到相互独立的量子力学谐振子方程。对元激发声子是集体运动的结果这一认识有助于我们对其它元激发的理解：如极化子、等离激元及自旋子、轨道子等.
**与双原子分子振动比较，声学支的短波极限的频率对应于分子的振动频率，但其长波极限的频率则低得多，可见，只需很小的能量就可以激发晶格振动，即低温下的热振动.这是所有元激发系统的共性；是集体行为的结果。这一点，我们可以通过定性考察当原子数目增加时是如何影响系统的最低本征振动频率的：1）长度增加,
；2）集体运动总质量增加，M=Nω，
，显然，激发频率降低是集体运动的结果。但从直观的经典图像来看，则似乎有出入：需要更大的力或能量才能使质量大的物体运动起来！
为更形象地理解，我们再打个比方，体育场内坐满的观众，在观看世界杯足球赛。座位上的每个观众可看成是晶格中的每个原子。当出现一次精彩的射门后，观众席上出现的波浪式的运动，它是由观众们站起-坐下的集体式运动而构成的，我们把这比作格波。对于一位独自在家观看现场直播的观众来说，要把他/她激发到”站起-坐下”的运动是不容易的，即激发能高，而集体运动所需的激发能量低。
a)声子与光子非常相类，不同的是：声子具有纵向振动模而光子没有。可以证明，与光子一样，声子服从玻色统计分布，为玻色子。它既可以产生，也可以消灭。
晶格振动能量是量子化的：
(3-18)
〖这里的n代表振动能级，仍未引入声子的慨念。〗略去1/2项，利用玻耳兹曼统计理论，在温度T时的系统关于各能级的平均能量为：
(3-19)
式中，
． .
用到： 
；频率为ω的振动（格波）的平均能量是
(3-20)
(3-21)
〖与光子相比较，引入声子的概念，n为声子数，于是声子服从量子统计。〗
b）在简谐近似中，声子间无相互作用，（声子之间是相互“透明”的，就象两束光相遇后互不干涉地离开对方一样）故晶格振动的每个状态能被任何数目的不可区分的声子占据，声子仅与晶格振动的能量值有关，即与温度有关，在T=0K时，没有任何声子被激发。
c)在引入声子概念后，格波波矢q代表声子波矢， 
是声子的晶体动量（或称赝动量psuedo momentum）。 是不确定的，因为
， 
和 
描述完全相同的晶格振动状态，所以， 和
所起的作用是相同的。
格波在晶体中传播受到的散射的过程，可以理解为声子同晶体中振动着的原子的碰撞（或声子与声子之间的碰撞）；电子波在晶体中被散射也可看作是由电子和声子的碰撞引起的。（有关碰撞问题，属于非简谐效应，下面将讲述）实践证明，这样的概念是正确的，而且这样的理解对于处理问题带来了很大的方便。元激发问题可以看作准粒子问题处理。有关晶体振动与光的散射见附录七。
问题10：什么叫声子？它有什么特性？与格波的波包有何同异？
【1.格波所对应的某一（独立）模式的简谐振动在晶体中的传播，它是晶体中所有原子参与的集体运动（collective motion）；2.服从玻色分布；3.具有量子化能量：
；4．具有不确定量子化动量：
。
声子与格波的波包有何同异：它们都有粒子运动的特性，传递能量和动量；声子是元激发，一个声子的能量为 ，波包是宏观“粒子”，其能量由其振幅决定，因而，对应于频率为ω的波包的能量约为n ；或理解为一个波包含有许多声子.】
图3-11
