cloundk 非相对论的情况下，描述粒子波动的Schrodinger Eq.在Planck常数h趋于0的时候，可以近似成为经典

先说“量子力学在宏观条件下如何近似成为经典力学” 首先，量子力学有三种量子化方案：波动力学，矩阵力学和路径积分。 对于波动力学，非相对论的情况下，描述粒子波动的Schrodinger Eq.在Planck常数h趋于0的时候，可以近似成为经典力学中的哈密顿-雅克比方程，即为S方程的零级近似。相对论的情况，描述粒子波动的Dirac方程可以先在低速下近似成为S方程，然后再近似成哈密顿-雅克比方程，就回到经典力学。 对于矩阵力学的情况，当h趋于0的时候，所有力学量都显得是对易的了，即回到经典力学中力学量都可以同时确定的情况。 对于路径积分，h趋于0的时候，路径的几率分布给出唯一的路径方程，既是粒子经典运动轨迹。 LZ的问题最好是用路径积分，原则上说这种方法可以直接给出粒子的各个运动轨迹的几率分布，在取经典极限即可得到所要的x=vt的那条路径。 最后说一点，自由粒子波函数就是LZ写的那种形式，归一化不是问题，这种波函数可以采用“箱归一化”的办法，归一化成为δ函数，随便找一本介绍量子力学的教材都会说明这一点~

2009-11-3 21:15 回复

lgxysl 32位粉丝	17楼 原来我6楼的想法是比2楼的想法还菜得多的想法. 昨晚解了一下势场为0的量子力学方程。 初步得到如下结论: (1)势场为0的通解是: ψ(x,t)=[A₁e^(ipx/h)+A₂e^(-ipx/h)]e^(-iEt/h) 比Ae^[-i/h(Et-px)]要复杂些. (2)自由粒子的能量与动量确是可以连续取值的. (3)所有势场与时间无关的量子力学方程都是定态方程，想得到一个与时间有关的几率分布，在任何时候都是徒劳！ (4)一个完全自由的不考虑结构的质点，无论它的能量多大,也只能是满空间分布！ (5)为什么宏上看不到这样的自由粒子呢?个人认为宏观上没有完全自由而又不用考虑结构的粒子. 敬请批评指正.
2009-11-4 08:58 回复

lgxysl 32位粉丝	18楼 所有势场与时间无关的量子力学方程都是定态方程，想得到一个与时间有关的几率分布，在任何时候都是徒劳！    -------------------------------------------  我又犯胡涂了!理想地说,地球与太阳系的关系与氢原子核与电子的关系差不多.太阳的引力场理想地说是定态的.理想地说量子力学方程对于这个系统仍成立.从这个角度来看,地球在太阳附近某个位置出现的几率与时间无关?这太可笑了!如何理解这个问题?
2009-11-4 11:03 回复

lgxysl 32位粉丝	19楼 既然在宏观下方程仍成立。那么在势场与时间无关时，方程必然是定态的，也就是说，由方程得出的粒子的几率分布必然是个与时间无关的函数。一方面宏观粒子的分布与时间有关，另一方面由方程的定态又得出粒子的分布与时间无关。这种矛盾，问题出现在哪里呢？或者说，有什么桥梁使得与时间分布无关的粒子，当延申到宏观时，又与时间有关了呢？     教材官科这样说:表征宏观粒子运动的量子力学方程都必须是非定态的!(真是不看书不学习不行!看看书才发现这个问题原来......)  但我这民科头脑还是转不过弯来:理想地说.太阳的引力场是定态的呀! 有什么理由认为宏观运动总是非定态的呢? 越来越湖涂了!
2009-11-4 12:03 回复

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20楼 所有势场与时间无关的量子力学方程都是定态方程，想得到一个与时间有关的几率分布，在任何时候都是徒劳！     -------------------------------------------   我又犯胡涂了!理想地说,地球与太阳系的关系与氢原子核与电子的关系差不多.太阳的引力场理想地说是定态的.理想地说量子力学方程对于这个系统仍成立.从这个角度来看,地球在太阳附近某个位置出现的几率与时间无关?这太可笑了!如何理解这个问题?  -------------------------------------------   1)量子力学对氢原子的处理结果，空间几率分布与r有关，当h趋于零时分布趋于狄拉克函数，并且其中心r满足一定的方程（由能级决定），这一方程就是退化后的经典轨道方程。 2)粒子在空间的运动情况，需要给出初始条件，如果采用半经典处理，这一初始条件必须是（1）在t=0时局域于某点附近的波包（粒子性），（2）要给出此时动量的平均值，因此平面波是无法作为初始条件的。 3)由于存在外场，一般而言坐标和动量不再是守恒量--不同时刻位置和动量的平均值并不相同，在t1时刻位置和动量的平均值分别为r1和p1，t2时刻为r2和p2,在经典近似下可以认为粒子在t1到t2的间隔中从r1运动到r2，这样结合1)中给出的轨道就给出了经典描述。

2009-11-4 13:13 回复

inempty 147位粉丝

21楼 这里涉及量子力学和经典力学对应的问题。一般来说，h很小时微观粒子的相位对应着宏观意义上的作用量，但空间的概率分布依旧是存在的，不会一下子集中到一个有确定位置的波包里面去。 楼主所说的，物质波波长很小时候的情况，可以类比到光波，光波波长短时候近似可以用光线模型描述，但光依旧可以是一大片，而不必被局限到很短很细的一小段光上去。 所以说，电子即便动量很大，也不是一下子就变成了经典的小球，还是有些微妙的不同。这种不同来自于量子力学中最为有趣的概念之一——测量。 我们考虑一个自由粒子，可以看做平面单色波（严格来说都是波包，但是近似未尝不可），这是一开始的状态。现在我们引入测量，我们知道对其位置加以测量后，状态变为位置本征态，这是一个收缩得无限小的空间波包，比如说位置在x0。无限小比较令人费解，不过没事，这个波包立即就会开始展宽，而其中心同时也会以一定的速度移动，波包移动速度将是相速度的两倍（也就是说，和经典力学中的速度一致）。比如速度为v，经过时间dt（很小的时间段），波包中心移动到了x0+vdt，注意到这一项和dt一次方相关，而具体理论计算告诉我们，波包标准差将增加一个和dt^2成正比的项，比vdt这一项小很多。这时如果我们再进行一次测量，粒子基本上会保证出现在x0+vdt附近，也就是说波函数成为处于限定在x0+vdt处的一个波包，其新位置与老位置“平均而言”移动了vdt。 这样，如果我们不断对粒子进行测量，粒子就会以波包的速度移动，并从直观上说，有了轨道的概念，这也就是宏观物体的情况，于是一切就正常了。 总而言之，h趋于0的所谓经典极限只是量子力学向经典力学过渡的一部分，而测量是另一部分。两部分同时起作用，量子力学的奇异性质才会被消除，进而过渡到经典情形。

2009-11-4 19:12 回复

banshourenly 42位粉丝

22楼 问题的关键即是经典的自由粒子不是用平面波来表示，而是一个波包，而这个波包的整体以类似经典的形式轨道运动，即经典波包的概念，一般来说，一个波包随时间演化很快就扩散了，但是简单的要求相位的变化率远远大于振幅的变化率，这样在一个区间内，经典波包演化后还是经典波包。