（二）复杂世界中的规整性的发现
1．孤波和孤子的发现
水面受到激扰后会出现四散的水波，但波纹很快就会消失，不可能传到很远的地方。但在1834年8月，英国科学家、造船工程师约翰·罗素（Russell，John Scott 1808～1882）却观察到一个奇怪的现象。他在勘察爱丁堡到格拉斯哥的运河河道时，看到一只运行的木船摇荡的船头挤出高约0.3米到0.5米、长约10米的一堆水来；当船突然停下时，这堆水竟保持着它的形状，以每小时大约13千米的速度往前传播。10年后，在英国科学促进协会第14届会议上，他发表了一篇题为《论水波》①的论文，生动地描述了这个现象：
1834年秋，我看到两匹骏马正沿运河拉着一只船迅速前进。突然，船停了下来，然而被船所推动的一大团水却不停止。它们堆积在船头周围激烈地扰动着，随后形成一个滚圆、光滑又轮廓分明的大水包，其高度约有1～1.5英尺，长约30英尺，以每小时大约8～9英里的速度，沿着水面向前滚动。我骑在马上一直跟随着它，发现它的大小、形状和速度变化很缓慢，直到1～2英里后，它才在蜿蜒的河道上消失。
罗素认识到，这决不是普通的水波。因为普通的水波是由水面的振动形成的，水波的一半高于水面，一半低于水面，而且在扩展一小段距离后即行消失；而他所看到的这个水团，却具有光滑规整的形状，完全在水面上移动，衰减得也很缓慢。他把这团奇特的运动着的水堆称为“孤立波”或“孤波”。罗素还仿照运河的状况建造了一个狭长的大水槽，模拟当时的条件给水以适当的推动，果然从实验上再现了在运河上观察到的孤波。他认为这应当是流体力学方程的一个解。他批评数学家们未能从流体力学基本规律预言孤波的存在。他的这些观点在科学促进协会会议上报告后，未能说服他的同事们，争论一直持续了几十年。1895年，两位年轻的荷兰数学家科特维格（Korteweg，D.J.）和德弗里斯（devries，G.）在研究浅水中小振幅长波运动时，考虑到可把水简化为弹性体，具有弹性特征之外，还注意到水具有非线性特征与色散作用，这些次要特性在一定条件下会形成相干结构。他们由此导出了单向运动浅水波Kdv方程②，由方程得出的波的表面形状与孤波的表面形状十分相似，从而给出了一个类似于罗素孤波的解析解，孤波的存在才得到了公认。此后这件事又被渐渐淡忘了。
20世纪60年代，电子计算机被广泛应用之后，孤波才被重新记起并被命名为“孤立子”或“孤子”。电子计算机的应用，使得科学家们敢于去探索过去用解析方法难以处理的复杂问题。首先进行这方面探索的是物理学家费米和他的两个同事。他们于1952年开始利用当时美国用于设计氢弹的Maniac计算机，对由64个谐振子组成、振子间存在微弱非线性相互作用的系统进行计算，试图证明统计物理学中的“能量均分定理”。但1955年完成的研究结果表明，开始时集中在某一振子上的能量，随着时间的进展并不均匀地分配到其它振子上，而是每经过一段“复归时间”后，能量又回到原来的振子上，这就是奇异的“复归”现象。这个现象引起了一批科学家的兴趣。
当时由于空间物理学和受控热核技术研究的发展，促使了人们对等离子体物理特性的研究。这涉及到等离子体中波的问题，推进了求解非线性方程孤波解的研究。丕林、斯克姆等人经过一系列近似处理，发现费米等人的谐振子系统可以看做是Kdv方程的极限情况，可以用这个方程的孤波解来解释初始能量的“复归”现象。1965年，美国科学家扎布斯基（Zabusky，N.）和克鲁斯卡尔（Kruskal，M.D.）等在电子计算机做数值试验后意外地发现，以不同速度运动的两个孤波在相互碰撞后，仍然保持各自原有的能量、动量的集中形态，其波形和速度具有极大的稳定性，就像弹性粒子的碰撞过程一样，所以完全可以把孤波当作刚性粒子看待。于是他们将这种具有粒子性的孤波，即非线性方程的孤波解称为“孤子”①。1965年以后，人们进一步发现，除水波外，其它一些物质中也会出现孤波。在固体物理、等离子体物理、光学实验中，都发现了孤子。并且发现，除Kdv方程外，其它一些非线性方程，如正弦-戈登方程、非线性薛定谔方程等，也有孤子解。1967年，美国的一个研究小组GGKM在解Kdv方程时，首次发明了著名的解析方法——“逆散射变换”，并得出了Kdv方程N个孤波相互作用的精确解①。这个方法经拉克斯（Lax，P.D.）②和AKNS等人推广到一大批非线性演化方程中去，完善为一个较普遍的解析方法，大大推进了孤子的研究。③。上述这些研究成果，已经开始推向实际应用。例如在光纤通讯中，由于色散变形，传输信息的低强度光脉冲，不仅传输的信息量小，质量差，而且每经一段传输距离后，都要做波形整复。70年代从理论上发现的“光学孤子”，由于在传输中具有波形不损失，不改变速度等特性，为消除前述缺点找到了有效的方法。物理学中的一些基本方程，如规范场论中的自对偶杨-米尔斯方程，引力场理论中的轴对称稳态爱因斯坦方程，以及一系列在流体力学、非线性光学、等离子物体中有重要应用的方程，都已应用孤子理论中的方法得到了许多有趣的精确解。另外，由于孤子同时具有波和粒子两重性质，引起了理论物理学家们的极大关注。他们尝试用它来描述基本粒子。但在应用中，上述的孤子定义有所扩展。但到目前为止，还有很多理论上的困难未能解决。
2．复杂系统相干结构的研究
自然界存在着大量复杂系统。如由大量原子结合成的固体，奔腾的河流，湍动的大气，大小不一的涡旋等。这些系统除了具有变化不定的运动形态外，还具有空间上局域、时间上长寿的规整结构。这就是由于系统中存在的色散与非线性两种作用相互平衡而形成的“相干结构”。孤子就是一种特殊的一维相干结构。相干结构存在于用连续介质或流体力学方程描述的具有无穷多自由度的复杂系统中。相干结构的稳定性与非线性系统具有无穷多守恒律密切相关。很多具有孤子解的非线性演化方程，就有无穷多个守恒律，因而也有无穷多个守恒的物理量。对相干结构的形成机制和相互作用的探索，是非线性科学研究的前沿。
除孤子之外，各种尺度的涡旋是自然界一大类相干结构。大者如直径达四万千米的木星大红斑，小者如晶体中只有几纳米大小的电荷密度波，都是涡旋现象。通过计算机模拟和实验室实验，对木星大红斑的形成机理的研究，已取得了重大进展。天文学上观察到木星的大红斑，是在伽利略用他的望远镜观察木星之后不久的事情。罗伯特·胡克（Hooke，Robert1635～1703）也观察过它。这个大红斑还被画在梵蒂冈的画廊里。它是一个巨大的、涡旋状的卵圆形，就像一个不运动、不消退的巨形风暴一直处在木星上。长期以来，它引起了人们的各种猜测。19世纪末期，天文学家们认为木星红斑是由火山熔岩形成的一个卵圆形的熔岩湖；也许是一颗小星体撞击木星簿壳造成的一个大洞。一位德国科学家认为红斑是木星表面正在分化出的一个卫星的雏型。后来人们发现，红斑在木星表面上有些浮动，所以在1959年有人提出，红斑是一个漂浮在木星外大气中的一个实体，就如一枚蛋浮在水中一样。有人认为这可能是一个很大的氢或氦的气泡。但是，由于红斑的漂移距离很小，所以60年代科学家们又提出它是巨大火山口上形成的气柱的顶端。1978年，宇宙飞船旅行者二号在太空中拍到的照片显示，木星并不是一个固态的星球，而是一个运动的流体，表面是沸腾的湍流，有东西向的水平带。木星大红斑是一个巨大旋流中的飓风系统，旋动在流体木星的上空。它把木星上空的云层推向外边，嵌入在东西风带之内，形成了这行星上一条水平的带状构造。照片显示，红斑中存在着大量小尺度的、非组织性的迅速流动，在一天或不到一天的时间内，涡流出现又消失，但大红斑依然存在，而且长期不变。这真是一个宇宙奇迹。80年代初期，美国年青的天文学家、数学家菲利浦·马尔卡斯（Marcus，Philip），根据致密的氢或氦的运动规律，建立了一组模拟木星气候的流体力学方程组，并编制了计算机程序，试图揭示大红斑的秘密。木星的自转很快，大约每10小时自转一周。这种自旋使其上的一切物体都受到科里奥利力的作用，这个力正比于运动物体的速率，垂直于物体运动的方向，正是这个力驱动了红斑。马尔卡斯用蓝色表示顺时针方向流体的转动，用红色表示逆时针方向流体的转动，中间夹杂有黄色，用计算机绘制美丽的色彩图象。意想不到的事情发生了，不论从哪一种构型开始，由不同颜色间杂组成的棋盘式的花样，在旋转之后蓝色块都要分解成碎片，红色块则越聚越拢，最后汇成一个其中包含着大量小尺度混沌流的卵圆形大红斑，在四周混乱的湍流海洋背景中稳定而相容地存在着。这就是大尺度的红斑！马尔卡斯得出结论说：大红斑是一个非线性作用的产物；一个复杂系统既可以造成湍流，同时也可以相互协调形成一种空间上局域、时间上长寿、相对稳定的相干结构
纸上乱弹物理学（11,11特别版）——孤子与单极
PS：
shiki从标题里硬是看出了孤单两个字，恩，所以我写的其实不是物理，而是寂寞——么？
纸上乱弹物理学——孤子与单极
物理学经历过多次革命，每一次革命都会摒弃原有的一些观念，建立新的概念和模型。不过，也有一些事物如小强一般，在一次次革命中存活下来，有些甚至在革命之后被发掘出更深刻的物理内容——孤立子（Soliton）和单极子（Monopole）这两个“钻石王老五”就是如此。
有记载的孤立子最早由苏格兰工程师Russell于1834年观察到。他看到运河之中的一个“大水包”保持了大致的形状和速度向前跑了1-2英里才消失——而一般的水波由于色散的缘故很快就会被抹平消失。Russell称其为“Wave of tranlation”，并在水槽实验中重复了类似现象。Russell的“大水包”的稳定性乍一看之下会很令人费解。因为在与“大水包”相同速度的参考例看来，这个“大水包”可是突兀的静止在水面上的——而无论是常识还是“能量最低原理”都告诉我们，水面总是会趋向于平如镜的稳定状态。Russell的“大水包”似乎成了长在经典力学身上的一个肿块。
物理学家仔细的对一些非线性系统考察之后发现，Russell的“大水包”在理论上是完全可能的，而且同能量最低原理没有任何矛盾之处。原因就在于系统前面“非线性”这个定语。我们先考虑简单的单粒子情况：线性系统有简单的弹簧势能：
V(s)=ks^2
只有一个极小值在s=0（它是线性的，因为力作为势的一阶导数正比于s），运动粒子的稳定状态就在s=0这一点。但是，如果我们加入一点非线性的因素，比如说把势能写成：
V(s)=s^4-s^2
系统将会在s=-1/2和s=1/2处拥有两个稳定的平衡点。就好像过山车的轨道，虽然最低的地方是在出口，但是整段轨道上却可以有好几个局部的“最低点”，过山车能量不够的话乘客可是会被卡在某个“最低点”到不了终点的。
同样的现象也可以出现在波动系统中，区别只是维数更高了。任何的波都可以用波函数A(x,t)来描述，此处A和上面单粒子中的s地位相同，系统的势能也将是A(x,t)的函数（或者说泛函，因为A(x,t)本身是x,t的任意函数）。同样由于非线性项的作用，系统势能打到极小的时候，A(x)可能并不为0，而且由于此时A仍然可以是坐标的函数，A(x)就可以具有某种形状——就像Russell看到的“水包”一样。严格来说，对于波动系统，平衡点也并不是一个真正的点，A(x)也可以跟一些参数有关。此时系统的势能处于极小值，同其它极小值之间有势垒的存在，当系统的能量不足以超过这个势垒的时候，A(x)就会是稳定的，直到由于耗散效应（摩擦力等等）将势垒逐渐抹平。这种孤零零的波也被称作孤波（Solitary wave），由由于波量子化之后是粒子，所以量子化的孤波也被称为孤（立）子（Soliton）（这个名字在很长一段时间被Physical Review的编辑所抵制，因为他们固执的认为只有实验上发现的粒子才可以被称作XX-on，所以那时候的作者只能将Soliton换成quasi-particle或者pseudo-particle。讽刺的是在supersymmetry出现以后，更多的粒子反倒不叫XX-on了）
经典的孤波解总有下面的性质：
1、不随时间变化，以示稳定。不过孤波仍然可以作为一个整体运动，因为这不过是做了一个参考系变换。
2、孤波总是会“凝聚”在空间的某个区域，换句话说，孤波的总能量是有限的。孤波大多像高斯函数一样有个明显的空间位置，所以即使经典的孤波远远看上去都像是个粒子。
3、要产生孤波必须有非线性效应。即使是很弱的非线性效应都可能产生孤波（但是一定要有），而且还这个孤波本身可能很强！
经典的孤立子有很多的应用，比如说光学，比如说木星大红斑，不过我这里想说的是在量子革命之后大放异彩的一种孤立子（理由很简单，我只懂这一种）。此乃后话，我们先把视角转向单极子。
说到单极子（Monopole）一般都是指磁单极子。电场和磁场实在是过于对称，所以总让人觉得电荷也应该和什么东西对称。的确，如果我们先写下真空中无源的Maxwell方程组（高斯单位）：
div E=0，curl E=-1/c dB/dt
div B=0，curl B=1/c dE/dt
在如下的对偶变换（duality transformation）1下（恩，或者叫Ctrl+R变换）：
E‘=B，B‘=-E
方程组：
div B‘=0，curl B‘=-1/c d(-E‘)/dt
div E‘=0，curl E‘=1/c d(-B‘)/dt
如何，还是原来的方程，只不过上下行换了个个，我们也可以去考察电磁波的各种物理观测量（比如，能量动量），结论是这些量都不随对偶变换而变化。我们也可以把变换稍稍扩展成一个转动2：
E‘=EcosA+BsinA，
B‘=-EsinA+BcosA
Maxwell方程组在这个转动之下仍然是不变的（这里的方程组都写在Gauss单位制下，因为在该单位制下电场和磁场量纲相同，这也是很多教授抵制SI单位的原因之一）。
那么，如果加上电荷之后这个对偶性如何呢？其实也不难。在变换1下，一个只带电荷的粒子会变成一个只带磁荷的粒子，也就是磁单极。在变换2下，一个带电荷的粒子会变成一个既带电荷也带磁荷的粒子（关于经典电磁对偶的具体讨论，见Jackson）。总之，如果我们画出一个2维的直角坐标，横轴是电荷量，纵轴是磁荷量，那么横轴上的点将代表带电粒子，纵轴上的点代表磁单极，平面上任意一点代表既带电荷又带磁荷的粒子，这种粒子叫dyon（很不幸dyon缺乏标准的中文译名，似乎有人翻译成“双子”，也许双荷子更准确一些——顺便鄙视一下现在国内名词和国外名词严重脱节的状况，怀念仍然有物理学名词委员会的时代）。在这个平面上，变换2代表一个转了角度A的转动，变换1当然就是一个90度的转动了。加入磁单极和dyon之后，我们可以看到，电和磁之间的“对称”越来越完美了。
你可以注意到我一直使用的是对偶（duality）而并非对称（Symmetry）。因为毕竟这个变换把粒子的电荷和磁荷变掉了，虽然变换后的理论和原有的理论结构上一样，但毕竟是另一个相互作用常数不一样的理论了，所以这并不是像规范对称一样的对称性变换。不过当我们知道电荷解的形式之后，我们可以通过对偶变换轻易得到磁单极解和dyon解，因为理论的形式并没有变。对偶性在物理中出现的也很早，而且是大家很熟悉的东西，比如经典力学中心势问题中1/r势（万有引力）和r^2势（胡克力）就是对偶的。听起来很扯，不过这是事实，一个证据就是只有万有引力和胡克力可以有闭合的轨道（想一想牛顿和胡克之间的关系，就会觉得万有引力和胡克力的对偶很有喜感，也许他们两个人也是对偶的而且他们两个意识到了这一点，所以关系才那么不好，哈哈哈。。。这是胡说八道）。对偶性在弦论中甚至扩展到了强-弱耦合常数的对偶，给很多困难的计算带来福音，不过具体细节属于超超超展开，我们还是不要跑题了（以后我也许会写，你也许会看？）。
磁单极子在经典电动力学里没什么用。任何粒子都可以用电-磁荷平面上的一个点来代表，如果所有粒子的电荷和磁荷之比都一样，也就是说如果所有的粒子都分布在一条直线上，我们可以把电荷坐标轴转到这条直线上，把电场磁场重新定义一下，世界上就又没什么磁荷了。至少现在对于质子、中子、电子的测量表明他们确实在一条直线上，误差小于10^-20！找磁单极就是寻找一个在这条直线之外的粒子，不过找到了又能如何呢？磁铁又不会一下子不磁了。所以1894年Pierre Curie提出磁单极假设的时候不受重视也挺正常（觉得这个人眼熟？恩，他夫人很有名，叫Maria Sklodowska，跟他结婚后被称作Mrs Curie。啥？你还不知道他和她是谁？哦，你的素质低于二战时候德国陆军平均水平）。
量子力学和Dirac在1931年给磁单极子提供了更重要的意义。从Millikan的油滴实验我们知道电荷是量子化的，但是电荷的量子化和量子力学似乎毫无关系！Dirac最早可能是想研究量子力学里面的磁单极，但是量子力学里面描述电磁场最好是用标量势phi和矢量势A，可是矢量势的存在是建立在磁场散度为0
div B=0
之上的，磁单极的存在直接破坏了这个条件，也就无法定义矢量势A。为了解决这个问题，Dirac看着他手头的通电螺线管。。。恩，如果我们站在螺线管外面很靠近某一个头A的地方，我们会觉得磁场都是从螺线管A端跑出来的（或者跑进去，结论类似），就好像螺线管的这一端点A像电荷发射电场一样往外发射磁场。当然，如果我们跑到螺线管里面去看，我们会发现磁场线是绕圈的。可是如果这个螺线管越来越细，那么越来越多的人会处在螺线管的外面，也就会觉得螺线管的A端是磁场线的源头——如果把螺线管缩成一条线（并不是把螺线管拉成直线，而是想象螺线管以无穷小的半径缠绕）并且把另一头B拉到无限远，那么只要不是正好站在线上，你就会觉得螺线管的A端就像是磁荷一样产生磁场。螺线管外部的矢量势有定义，那么磁单极的矢量势也有定义——当然，你要从空间去掉那根无限长无限细的螺线管——这个螺线管后来被称作叫Dirac string。换个角度想一想，如果从三维空间里去掉一条从磁单极出发的射线，那么剩余的空间里任何封闭的2维曲面都不可能把磁单极包在里面，所以可以定义矢量势（静磁学里面有类似的技巧，在空间里划出特定的区域可以给磁场定义磁标量势），这从另一个角度说明了引入Dirac string 的合理性。不过我们虽然从磁单极引出了Dirac string，这条string并不属于磁单极的一部分，它对于其它粒子必须是不可见的——否则就真成了螺线管啦。Dirac string不可见的条件再加上量子力学里面的AB效应，Dirac得到结论，只要有磁单极存在，量子力学原理将要求电荷是量子化的！所以，为了电荷的量子化，实验家们，上吧！（注意，此处Dirac的思考过程是我通过Dirac的文章自己YY的，并不代表Dirac本人同意我的说法，当然他也不能反对就是）顺便一说，Dirac string的描述可以清楚的看出为什么磁单极子通过一个金属环之后金属环的磁通量有一个永久性的增加（实验中的磁单极信号）。
Dirac string是个不太清楚的概念，每一个磁单极后面都拖着一条长尾巴实在是太囧了，哪怕这条尾巴是非物理的也还是很囧，又不是哈雷彗星人。1968年，吴大峻和杨振宁（噢噢，终于出现中文人名了）推广了Dirac“螺线管外面空间”的想法，给出了给出了磁单极矢量势更好的描述方式。如果把磁单极子放在三维空间的原点，在整个三维空间中没法定义势。但是如果选取两个子空间A和B，A是三维空间去掉正z轴，B是三维空间去掉负z轴，A和B的并集是整个三维空间，并且A和B各自内部是可以定义势的（因为A、B各自相当于磁单极拖了Dirac string）。如果在A和B交集上的势相互之间只差一个规范变换，或者说A、B上定义的势互相相如，我们就说整个三维空间的势由A，B上的势决定。几何学家这此时插入：说了这么一大堆，电磁势不就是主从（principle bundle）上的一个联络么，磁单极不就是个non-trivial principle bundle么（数学家装B300句之首：XXX不就是个YYY么，其中XXX为任意具体事物，YYY为某对应抽象概念，例如：虎躯一震，上下嘴皮一动：“环面不就是一个亏格为1的Riemann surface么。”王八之气直逼而出）。于是磁单极就摇身一变成了微分几何中的对象甲，当然这种变身是很好的，因为我们可以直接使用微分几何中的定理的直接得到磁单极的性质——比如说电荷量子化就是同伦群（homotopy group）为Z的直接结果。吴杨稍早时候还有一篇文章（或者说字典）就是解释Yang-Mills规范场和微分几何之间的对应的，杨本人对此很自豪，认为是重新把数学和物理结合起来了。
我们再转回来看看这个时候孤立子的发展，这个时候量子场论已经诞生了。量子力学告诉我们经典的稳定平衡解其实是量子的基态。如果有好几个平衡点的话基态自然也是简并的了。量子场论中，每一个经典解就代表了一种真空态。平凡解（场为零）自然是一种真空态，每一个孤立子解（如果有的话）自然也代表了一种真空态，相对与孤立子真空的激发自然是一种新的粒子。一般的想法会认为每个粒子对应这一种场，每种场对应了一个粒子，这种说法对于电子光子问题不大，但是对于有孤立子的场来说，一个场可能对应不只一种粒子。打个比方，把亚欧大陆看成某个场的平凡真空，上面的人看成是从该真空激发出来的粒子，而美洲大陆相对于亚洲大陆就是一个孤立子，它上面“激发”出来的人就叫美洲人。美洲人和亚欧人的个体肯定是不一样的，但他们都是人，这就是粒子和场的关系。
量子场论里面考虑孤立子有什么用呢？这就要从核子说起啦。一开始人们以为基本粒子就是质子电子，可是随后发现了各种介子各种重子各种轻子。一开始数量少还可以把基本粒子扩充扩充，后来这个数目越来越大，甚至快要比元素都多了，于是没人觉得它们是基本的。那把它们当成更小东西组合出来的吧，就有了夸克模型。可是夸克之间的相互作用那可是强相互作用，而且能量越低相互作用越强，没有办法微扰计算的，只能搞出各种低能有效理论。但总不能每个粒子都搞个有效理论，正巧（？），一个非线性场方程如果有孤立子的话它可以表示好多个粒子，性价比很高。而且经典的孤立子解就有着空间凝聚、稳定这种好特性，活脱脱就是核子的好苗子（因为核子被看成是夸克的稳定束缚态）嘛。恩，你说核子衰变怎么办？好说，经典物理里面势垒能量不够没法穿过，可是量子里面不是还有隧穿效应么。。。各种心理建设完成，好，我们来看看手头有啥非线性模型，比如这个，Non-linear sigma model，名字一听就不是线性的，说不定可以用。Skyrme最早算了这个模型的孤子解，这种孤子就被成为了Skyrmion（当然是在同Physical Review顽固的编辑大战之后）。李政道对用孤立子表示核子的想法非常欣赏，以至于在他的书里用了一章专门讲孤立子。（其实6、70年代对核力和强相互作用的研究是复杂而比较混乱的，模型也并不只有孤子一种，比如弦论也是为了解释强相互作用而诞生的。这一段关于孤立子进入粒子物理有我相当的演义成分，有一些内容也未能完全依照时间顺序）
物理学家们随后将目光转向了一个更基本也更重要的非线性模型——Yang-Mills规范场。作为电磁场的非阿贝尔推广Yang-Mills场获得了电磁场所没有的自相互作用。1974年’t Hooft和Polyakov分别得到了SO(3)规范场破缺到U(1)电磁相互作用模型的一个孤立子解——而这个解既可以得到电荷也可以得到磁荷，也就是说这个孤立子可以是一个磁单极或者是双荷子，磁单极从此成了孤立子中的一种。顺便一说，’t Hooft和Polyakov两人的工作是完全独立的，因为’t Hooft是荷兰人，Polyakov是苏联同志——或者说是红夷和毛子，当时铁幕甚至有阻隔学术交流的功能——比现在的gfw牛多了——所以这两个人曾经不只一次在学术成过上撞车——两人一年前就在instanton的beta函数上撞了（铁幕对物理学的影响还有个有趣的例子，well-known的BRST对称性在以前是被称为BRS对称性，因为T被铁幕挡住了）。’t Hooft和Polyakov的磁单极影响力很大，因为他们所用的模型差一点就成了标准模型——唯一区别就是破缺SO(3)用的Higgs粒子“数量”不太一样。
N+1维时空中，场论中的孤立子和磁单极有个共同的特点，它们能量都是有限的（否则就没办法表示核子了），而且场强不随时间变化，因此无穷远处的场强都是零，也就是说N维空间中各个方向的无穷远可以看成一点。就像复平面可以紧致化成为一个2维球面一样，此时的N维空间也可以紧致化成一个N维球面。所有的孤立子解都是从N维球面到某个李群G的映射。拓扑学告诉我们，所有这种映射都可以用李群G的N阶同伦群分类——此类孤立子都被称作拓扑孤立子。也就是说，模型本身的拓扑性质决定了孤立子的种类以及量子化之后简并真空的个数。微分几何中还有一个Cartan-Mauer积分不变量来描述拓扑孤立子——这个量又可以和场论中的反常（Anomaly）联系起来。拓扑孤立子的研究为场论提供了一系列非微扰的研究方法（因为无法从平凡真空出发用微扰论和费曼图的到孤立子），其中最辉煌的成就是得到了Super-Yang-Mills规范场beta函数的严格解——一直到三圈图的微扰计算都证明这个解是正确的（除了拓扑孤立子自然还有非拓扑孤立子，李政道特别喜欢非拓扑孤立子，但是似乎这种孤立子在高能领域用处不大）。
在孤立子大力推动场论形式发展的同时，用孤立子却不太能够解释费米子核子，而且’t Hooft-Polyakov模型也不是标准模型。由于量子色动力学的崛起标准模型的建立，孤立子的研究又一次陷入了“低潮”。不过幸运的是，一次至今未完成的“革命”为孤立子重新注入了活力。1976年超对称（supersymmetry, SUSY）正式诞生之后，人们开始广泛研究超对称代数的各种表示。其中有一种叫做BPS的表示（BPS是三个人的首字母）引起了研究者的注意。这种表示有质量，但是又比一般有质量的表示拥有的粒子少——这意味这它的稳定性，对很多超对称模型的研究发现孤立子解都是BPS表示。超对称和孤立子结合起来之后可以给出更多的非微扰的信息。这其中最知名的例子莫过于1994年Seiberg-Witten给出的N=2 super Yang-Mills和super QCD的讨论。他们利用理论中的BPS磁单极和BPS双荷子给出了低能有效理论的严格解，并且证明磁单极可以通过类似超导的方式带来夸克禁闭和手征对称性破缺——虽然基于超对称模型，他们的工作对于理解量子色动力学的夸克禁闭也有很好的启发。他们工作中最漂亮的地方在于复几何和二维黎曼面上同调群（homology group）的应用，将模型中的磁单极和双荷子与椭圆函数的支点联系起来（我在本学期学习Seiberg-Witten模型的过程中深感复分析知识的缺乏和对黎曼面认识的粗浅）。另外，Seiberg-Witten模型也同时将经典电磁学中的U(1)对偶变换推广成了SL(2,Z)对偶变换，在这个变换下，强作用的理论和弱作用的理论直接等同了起来。
弦论中同样存在大量的孤立子，弦论二次革命中大放异彩的D膜就是一种孤立子。M-theory中也有大量的孤立子，而且由于M-theory至今没有明确的形式，很多结论都是通过对偶性和孤立子的性质得到了。孤立子在10维到4维的紧致化中也扮演了重要角色，Atiyah-Singer指标定理在孤立子解上的应用可以部分解释现在标准模型中的手征问题。不过我们还是就此打住不要再超展开了。
总之，在物理学的发展中，孤立子和磁单极是少见的“常青树”，并且成为了历次革命的赢家。这也许跟孤立子和磁单极深厚的几何背景有关，背后有人，也难怪孤立子和磁单极这对儿“钻石王老五”历久弥坚，身价越炒越高，呵呵。
关于confinement的补充：
关于磁单极导致的quark confinement，我查了一下，大概说法如下：
Seiberg-Witten严格解是在N=2 SQCD里面的，但是我们可以加一些susy breaking term得到一般的QCD。
可以参考：hep-ph/0611131
