电子自旋没有经典对应。原因是，一旦有一个“几何”对象，局部坐标就是互相交换的量，所以不可能产生完全反交换的经典变量（Fermi

来源: marketreflections 于 2011-05-10 15:37:28 [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 本文已被阅读：次

漫谈几何量子化（七，八，九）

漫谈几何量子化（七）流形

经典相空间一般都是辛空间，从历史角度来说就是可以写下 Hamilton 运动方程的空间。数学上把量子化总结为从一个辛空间出发构造 Hilbert 空间及其上一系列满足 Heisenberg 交换关系的算子的问题。谐振子的例子里，这个辛空间本质上只是一个向量空间，物理学家往往称这种空间为“拓扑平凡的”。数学上非常感兴趣的是，给一个“拓扑非平凡”的辛空间，量子化到底是什么意思。

一类拓扑非平凡的空间都落在一个比较好的范畴中，它们在数学上就叫“流形”。一个 n 维“流形”是一个拓扑空间，它的每个局部在拓扑上都等价于 $\mathbb R^n$ 的开集，就是说，局部上每个点对应到 $\mathbb R^n$ 的一个点，有一组坐标，这就是局部坐标系。两个局部重叠的地方，就有两个局部坐标系，它们相差一个坐标变换。由以上定义，这些坐标变换自然是拓扑等价（即双方连续的一一对应）。如果其中某些坐标变换还是无穷次可微的，而且它们涉及到的局部可以合起来覆盖整个流形，那么这个流形就是“光滑”的。把所有互为光滑变换的局部坐标系都收集起来，它们叫做这个光滑流形的“容许坐标系”。

在光滑流形上，可以谈论“光滑”函数。一个函数如果在一个容许坐标系下是光滑的，那么在另一个重叠的容许坐标系下也光滑，因为坐标变换是光滑的。通常这么叙述这种好处：光滑性不依赖于局部坐标选取。在流形上，与局部坐标选取无关的“概念”，“性质”，和与局部坐标变换相容的“ 量”，才是有几何意义的。这一点，微分几何的创始人 Gauss, Riemann 应该都心里有数。Einstein 在他的物理学里也强调了这一点。

在流形上没有线性结构，不能把两个点加在一起，也不能连接两个点成为一个“向量”。不过在每一点的局部，就好像在欧氏空间一样，可以在这一点对函数“求方向导数”，这种运算是局部函数空间上的线性算子。以它们为模型的整体对象叫做在该点的“切向量”。在局部上还有一个有趣的东西就是函数在一点的“微分”，

$df_a=\sum_i \left.\frac{\partial f}{\partial x^i}\right|_a\,dx^i$

以它为模型的整体对象叫做一个“余切向量”（或者仍然叫做微分）。然后顾名思义，一个“光滑切向量场”就是在每一点有一个切向量，以光滑方式依赖于基点。对偶的概念是“微分 1－形式”，即，光滑余切向量场。在局部坐标系下，切向量场和微分 1-形式通常写成

$X=X^i(x)\frac{\partial}{\partial x^i},\qquad \xi = \xi_i(x) \,dx^i$

这里用了 Einstein 求和约定。系数都是局部坐标系里的光滑函数（但不是整体的光滑函数，将随坐标变换而变）。

在每一点上，由方向导数和微分组成的多重线性对象，以整体方式定义以后，叫“张量”。张量场跟前面类似。搞数学的喜欢用整体记号，就像上面那个式子一样，把分量和基写在一起，变换局部坐标的时候，基底和分量同时变，而它们的组合不变，从而左边的字母代表一个不依赖于局部坐标系的量；搞物理的喜欢只写出分量而省略基底，这样的记号明显依赖于局部坐标系。

[ 本帖最后由季候风于 2008-2-5 12:16 编辑 ]

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2^# 大中小发表于 2008-2-5 13:20 只看该作者

漫谈几何量子化（八）力学

如果一个系统包含 N 个粒子，它们在空间的位置受到 s 个独立方程的限制。满足这些方程的位置组成 3N 维欧氏空间的一个子集 M, 称为“位形空间”。

$F_i(x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_2,\cdots, x_N,y_N,z_N)=0, \qquad i=1,\cdots, s$

这些方程独立的意思是，Jacobi 矩阵 $DF$ 的秩处处是 s. 根据隐函数定理，在 M 的每一点，存在一个邻域 $U\subset M$ ，在这个邻域里，可以找到 3N-s 个独立坐标函数，其它 s 个坐标函数由这 3N-s 个独立坐标的函数决定。这相当于说，M 的每个局部都拓扑等价于 $\mathbb R^{3N-s}$ 的开子集，即，M 是一个 3N-s 维的流形。如果 F 还是光滑的，那么 M 是一个光滑流形。局部坐标系里的坐标就是 Lagrange 分析力学的“正则坐标”。

Lagrange 的方法是定义一个函数 L, 变量为正则坐标和该坐标点的“虚速度”（在考虑粒子运动轨迹之前，无法谈论速度。这里的虚速度是位形空间 M 的切向量，也就是粒子在这一位置的可能速度）。用流形的语言，指定一个切向量的同时，也就指定了它的基点，而所有切向量的集合称为“切丛”。所以 Lagrange 量 L 实际上是切丛上的函数。

Legendre 变换利用 Lagrange 量把虚速度变为动量。用流形的语言，就是把切向量映到余切向量，把切丛 $TM$ 映到余切丛 $T^*M$ . 在余切丛上，局部坐标是正则坐标和正则动量，它们满足 Hamilton 运动方程。它们的函数也满足相应的运动方程，而所有运动方程都能写成统一的形式，

$\frac{df(t,q(t),p(t))}{dt}= \frac{\partial f}{\partial t}+ \{f,H\}$

这里的 Poisson 括号局部定义为

$\{f, g\} = \sum_{i=1}^{3N-s} \ \left(\frac{\partial f}{\partial q^i} \frac{\partial g}{\partial p_i} - \frac{\partial f}{\partial p_i} \frac{\partial g}{\partial q^i}\right)$

Poisson 括号是双线性，反对称的，满足 Jacobi 恒等式和 Leibniz 法则，这里就不详述了。要用到的时候其意自明。需要单独列出的是，

$\{q^i, p_j\} = \delta^i_j$

Hamilton 力学的特征被数学家总结为辛几何。位形空间的余切丛 $T^*M$ （物理学家称为相空间）是所谓“辛流形”的范例。

[ 本帖最后由季候风于 2008-2-5 13:24 编辑 ]

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3^# 大中小发表于 2008-2-5 14:48 只看该作者

漫谈几何量子化（九）几何

观察 Poisson 括号的形式，发现它隐含正则坐标和正则动量的反对称。这种反对称性被抽象为流形上的一个“二阶外微分形式”

$\omega=\sum_i dq^i\wedge dp_i$

它具有以下性质：它是闭形式， $d\omega=0$ ; 非退化；它是恰当形式， $\omega=d(\sum q\,dp) = d(-\sum p\,dq)$ .

如果想推广到一般流形，第三条性质似乎不是那么必要。仅凭前两条，已经基本可以模拟所有 Hamilton 力学的特征。带有这么一个闭的，非退化 2－形式的流形就叫做“辛流形”，这个形式就叫做“辛形式”。

现在用流形上整体的语言定义 Poisson 括号。首先，注意到辛形式是非退化的，所以我们可以利用它来实现“指标升降”，用数学的话来说，实现切空间和余切空间的同构。它可以把一个微分转化成一个切向量场。流形上的每个光滑函数给出一个微分 $df$ , 用辛形式对偶一下，就得到由 f 给出的切向量场 $X_f$ ，满足如下等式，

$\omega( X, X_f)= df (X) \qquad \forall X$

要看到它跟 Poisson 括号的关系，需要 Darboux 定理：辛流形里每一点附近都存在一个局部坐标系，使得辛形式在该坐标系下具有之前写下的标准形式。这个定理给出一个好的局部坐标系，在这个坐标系下计算，

$X_f = \sum_i \left(\frac{\partial f}{\partial q^i}\frac{\partial}{\partial p_i}-\frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial}{\partial q^i}\right)$

非常明显，Poisson 括号应该定义为

$\{f,g\}= X_f\ g=dg(X_f) = \omega(X_f,X_g)$ .

从这个定义立即看到双线性，反对称和 Leibniz 法则。要证明 Jocobi 恒等式，需要注意到 $\mathcal L_{X_f}\omega=0, \quad \forall f\in C^\infty(M)$ . 即，光滑函数通过辛形式给出的切向量场保持辛形式。一个重要推论是，

$[X_f,\ X_g]=X_{\{f,g\}}$

这个式子是如此接近 Dirac 量子条件。可以预料到它将直接与量子化相关。

Hamilton 力学如果用几何的语言来描述，就是说，辛流形上有一个特殊的光滑函数，叫做 Hamilton 函数，它通过辛形式产生的切向量场就是 Hamilton 正则方程。这组方程的解，几何上就是相应的切向量场生成的流形的单参数光滑同胚群，它描述系统的“相”随时间的演化。

[ 本帖最后由季候风于 2008-2-5 14:50 编辑 ]

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星空浩淼

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4^# 大中小发表于 2008-2-5 18:27 只看该作者

这（七－九）我反而大部分能看懂，剩下某些看不明白的，是前面（1－6）积压下来的

。

在流形上，与局部坐标选取无关的“概念”，“性质”，和与局部坐标变换相容的“ 量”，才是有几何意义的。
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这句话如果这样说可能更好理解（假如可以这样说的话）：只有保持拓扑变换不变的量（即微分同胚变换不变的量），才是有几何意义的。

观察 Poisson 括号的形式，发现它隐含正则坐标和正则动量的反对称，这种反对称性被抽象为流形上的一个“二阶外微分形式”。
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对于Fermi场，还要考虑到另一种括号，它对应正则坐标和正则动量的对称性对易子（反对易子），此时对称性不知会被抽象为流形上的一个什么东西？这将在季兄的这个系列后面会谈到吧。

注意到辛形式是非退化的，所以我们可以利用它来实现“指标升降”，用数学的话来说，实现切空间和余切空间的同构。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
我不知道这样说是否准确：在这里，辛形式在扮演类似度规张量那样的功能。我们知道利用度规张量可以实现“指标升降”，实现张量的协变分量与逆变分量之间的互换。但另一方面，度规张量对应基向量的并矢式（张量积），是对称的；而辛形式对应基向量的外积，是反对称的。

在(九)中的倒数第二个数学式子，第一个等号后面三个表达式我原来看不明白，现在我想它应该是向量场与微分形式之间的内积表达式吧，只是该内积是定义在辛流形上面的。

当我能大致看明白的时候，就感觉季兄的确写得很精彩！

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季候风

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5^# 大中小发表于 2008-2-6 00:48 只看该作者

引用:

原帖由 星空浩淼 于 2008-2-5 18:27 发表
在流形上，与局部坐标选取无关的“概念”，“性质”，和与局部坐标变换相容的“ 量”，才是有几何意义的。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
这句话如果这样说可能更好理解（假如可以这样说的话）：只有保持拓扑变换不变的量（即微分同胚变换不变的量），才是有几何意义的。

有一些差别。这里不涉及任何对称性或者群作用。如果在每个局部坐标系 U 里有一组数据，当一个区域可以使用不同局部坐标 U, U'，而 U 里头的数据可以通过某种（依赖于局部坐标变换的）规则同 U' 里的数据联系起来的时候，这组数据就组成了一个整体定义的量。这跟狭义相对论还是有所不同，在那里，时空是平直的，坐标系之间的变换同空间本身的 Poincare 群作用几乎可以对等，所以教材上面从来不区分是“坐标变换” 还是“点变换”。在流形上，坐标都是局部的，这种区别就很关键了。

引用:

观察 Poisson 括号的形式，发现它隐含正则坐标和正则动量的反对称，这种反对称性被抽象为流形上的一个“二阶外微分形式”。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
对于Fermi场，还要考虑到另一种括号，它对应正则坐标和正则动量的对称性对易子（反对易子），此时对称性不知会被抽象为流形上的一个什么东西？这将在季兄的这个系列后面会谈到吧。

呵呵，好问题。物理教材上经常说，电子自旋没有经典对应。原因是，一旦有一个“几何”对象，局部坐标就是互相交换的量，所以不可能产生完全反交换的经典变量（Fermi 变量的经典对应）。在流形上适当地加上反交换的结构，可以产生“超对称”理论的经典对应，因为既有交换变量又有反交换变量。如何产生纯粹反交换的经典对应也许在后面会列出。

引用:

注意到辛形式是非退化的，所以我们可以利用它来实现“指标升降”，用数学的话来说，实现切空间和余切空间的同构。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
我不知道这样说是否准确：在这里，辛形式在扮演类似度规张量那样的功能。我们知道利用度规张量可以实现“指标升降”，实现张量的协变分量与逆变分量之间的互换。但另一方面，度规张量对应基向量的并矢式（张量积），是对称的；而辛形式对应基向量的外积，是反对称的。

不错。这里需要指出的是，外积是张量积的反对称线性组合， $dx\wedge dy = dx\otimes dy-dy\otimes dx$ , 所以外积运算并不是跟张量积平行的运算。张量积不一定是对称的，但度规的确是对称的二阶张量。

引用:

在(九)中的倒数第二个数学式子，第一个等号后面三个表达式我原来看不明白，现在我想它应该是向量场与微分形式之间的内积表达式吧，只是该内积是定义在辛流形上面的。

不是“内积”。内积是对两个因子对称的，所以两个因子必须是同一种对象。向量场与微分形式是不同的对象。还是回到以前讨论过的“对偶空间”的问题。 $V$ 的对偶空间 $V^*$ 里的元素是 $V$ 上的线性函数。它们之间的配对就是函数在自变量上取值， $\langle \alpha, v\rangle := \alpha(v)$ . 这里的括号只表示函数关系 $V\times V^* \to \mathbb R$ , 跟“内积”毫无关系。很多人喜欢用尖括号来代表内积，所以造成很多误解。

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星空浩淼

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6^# 大中小发表于 2008-2-6 01:43 只看该作者

谢谢季兄的回答！

关于上面最后一个问题，即是否可以理解为向量场与微分形式之间的内积的问题，我记得有的教材上的确这样称呼，原因是这里可以看作是协变分量与逆变分量之间的缩并运算。我不会用Latex写公式，只好用d既表示偏微分符号，又表示微分符号，为方便，就考虑三维空间流形中的切空间和余切空间，切空间中的基向量分量表示为d/dx^j，余切空间中的基向量分量表示为dx^i，我们有
(d/dx^j, dx^i)=dx^i/dx^j=δ_ij (即i=j时等于1，i不等于j时为零)。

正如你所说，在几何里面，喜欢把张量表达成张量分量与张量基的乘积形式，而且p阶逆变与q阶协变的混合张量，其张量基由q个dx^i（i=1,2,...q)和p个d/dx^j（j=1,2,...p）的张量积构成，两个张量之间每当存在一对指标收缩运算，就意味着利用运算(d/dx^i, dx^i)=1去掉了一对基d/dx^i和dx^i。余切空间中的基向量分量dx^i，又对应微分1－形式。

比如两个矢量X=X^jd/dx^j和Y=Y_idx^i之间的内积运算为：(X, Y)=(X^jd/dx^j, Y_idx^i)=X^iY_i，其中Y又对应1-形式。我上面把分量指标在上为逆变，在下为协变。因此分量逆变则基协变，反之亦然。写得仓促，要睡觉了。

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季候风

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7^# 大中小发表于 2008-2-6 02:09 只看该作者

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对。就是这个意思。物理上把缩并也叫内积，其原因是，物理学中考虑的流形都是带有度规的，所以逆变和协变可以通过度规相互转化，这样泛函取值和做内积就可以看作一样。但在不带有指定度规的流形上，逆变和协变没有不依赖于坐标选取的转换方式，必须严格加以区分。

[ 本帖最后由季候风于 2008-2-6 02:11 编辑 ]