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05年秋季新课程介绍
《现代数学系列讲座》
学时：3 ；学分：3.
教学对象：高年级本科生和硕士生
授课教员：项武义，张恭庆，姜伯驹，李忠
课程内容：分4个题目，每题目约4周；
每周2小时授课，1小时讨论。
《内容简介》
题I: 从勾股到狭义相对论与上同调理论
长度乃是各种各样几何量之中最为简单基本者，而中、西古文明都业已发现的勾股定理（亦即毕氏定理）则是关于长度的基本定理. 其实，关于面积以及高维欧氏空间中的各维体积也有同样的基本定理，亦即面积和k-维体积的勾股定理。只不过它们的发现要比长度的勾股晚了近两千年。
基于上述各维体积的勾股定理，就可以顺理成章地构造一种集各维几何量于一体，便于有效计算各种各样几何量的代数体系—格氏代数（Grassmann Algebra）。它是研讨多元分析的有力工具，其具体架构就是外微分形式的高维积分，而微积分基本定理就可以顺理成章地推广为外微分运算和广义Stokes定理。
本讲将先行简明扼要地概述这一历经两千年由几何到代数再用于分析的重大进展，然后再把它用于电磁学的数理分析（Maxwell理论）,其所得不但统一了电学、磁学和光学，也自然而然地导致Einstein在1905年发表的狭义相对论。
再者，任何外微分形式w的两次外微分总是恒等于零的，即d2w=0，所以w*是另一个低一次的w的外微分的必要条件乃是dw*=0. 一般来说dw*=0是否业已构成存在w使得dw=w*的充要条件是和其定义区域的拓扑性质密切相关的。这也就是de Rham上同调理论的来由。
题II: 变分学I
变分学研究在一定条件下实现最优形状、最短时间、最快速度、最低能量、极小面积或极大得益…等的状态。天文、力学、物理，一切自然科学和工程技术甚至经济生活中的规律都遵循变分原理。变分理论在纯粹数学与应用数学中都占有重要的位置。
本讲座介绍变分理论中的若干重要专题：
一 变分与力学、物理中的变分原理
·Euler-Lagrange方程,Fermat原理
·力学中的变分原理。Lagrangian 与Hamiltonian
·电磁场与Yang Miles
·对称性与守恒律 Noethw定理
二 Dirichlet原理
·Riemann定理
Hilbert的解法
正交射影法与椭圆方程之解 Weyl-Schwarz定理
·特征值问题之解在物理与几何中的“谱”
极小极大原理
·直接法与弱收敛有限元计算的理论根据
三 极小曲面与测地线
Hamilton Jacobi理论
Plateau问题与 Courant-Lebegue引理
题II: 变分学II (06年春季开设)
四 Hilbert第19与第20问题
正测变分问题解：存在性与正测性
椭圆方程与椭圆方程组的理论概述
调和映射
五 大范围变分学要义
Birkhoff极小极大原理
Morse理论
闭测地线问题
六 变分学的进一步发展
Young测度
收敛与松弛
图象处理Mumford Shah泛函
最优控制与最
题III: 辫子的世界
群论, 除有限群论外, 几何群论方兴未艾. 数学中有一些重要的群值得特别关注, 例如曲面的映射类群. 辫群可以看成映射类群之一种.
辫子作为数学对象, 今年恰好满80岁. 它已成为数学中的一个交汇点.
这个题目打算有3-4讲, 希望能涉及的话题有
1. 辫群
2. 辫与纽结不变量
3. 辫与物理学
4. 辫与动力学
5. 辫群的表示
6. 辫群中的算法
7. 几何群论简介
需要的准备知识: 抽象代数, 基础拓扑 (基本群, 覆叠空间)
题IV: 黎曼曲面与Teichmuller空间
黎曼曲面及其近代研究，不仅是复分析和复流形的基础，而且与现代核心数学的许多分支，诸如代数几何、代数数论、低维拓扑、微分方程、微分几何、数学物理、动力系统等，有深刻的联系。另外，从历史上看，现代数学的某些重要概念与思想也发端于黎曼曲面的研究。作为“现代数学系列讲座”的专题之一，我们将试图用较浅显的语言来介绍黎曼曲面的基本理论，介绍由黎曼模问题所引发的Teichmuller理论及其应用。本专题定为四讲，主要内容如下：
第一讲：什么是黎曼曲面：黎曼曲面的定义（从Riemann 到 H. Weyl）; 椭圆积分与椭圆函数; 黎曼曲面与代数几何；黎曼曲面与离散群；单值化定理（从Klein, Poicare 到Koebe）；Klein群与 Fuchs群.
第二讲：黎曼-劳赫定理及其应用：半纯函数与半纯微分；半纯微分的双线性关系；除子群；黎曼-劳赫定理及其应用与影响。
第三讲：黎曼曲面的模问题与Teichmuller空间：黎曼曲面的模问题与黎曼模空间；黎曼模空间与Teichmuller空间; Teichmuller的主要贡献; Teichmuller空间的复结构（.Ahfors 与Bers）；Teichmuller空间中的各种度量。
第四讲：Teichmuller理论与其他学科：Thurston 关于曲面映射类群元素的分类定理；Sullvan关于有理复动力系统的无游荡域定理；Teichmuller空间与String
Theory.
