为了说明无限和有限之间的差别，我们可以看一个“旅馆和房客”的例子。
假设某旅馆有 100 间客房，如果有 100 位客人，每人一间房，那么旅馆已经客满，
再来一位客人就没地方住了。这是有限的情形。不过，如果有这么一间“理想旅
馆”，它拥有无限间客房，比如说客房的间数和自然数一样多，按照编号 1，2，
3，4，．．．．．．的顺序可以一直排下去。如果每一间客房已经住满人，那么即使再
多一位客人也可以安排他住下：将１号房的客人迁往２号房住，２号房的客人迁
往３号房住，３号房的客人前往４号房住，如此等等，则１号房已经空出来了，
可以安排新人入住，并且老房客也没被赶走。这就是无限的情形。
从上一个例子可以看出有限和无限的差别。有限和无限之间又有很密切的联
系，这个联系往往是由极限给出来的。我们还是来看一个例子：芝诺悖论。这是
古希腊数学家芝诺（Ｚｅｎｏ ｏｆ Ｅｌｅａ）提出的一系列关于运动的不可分性的哲学悖
论。这些悖论由于被记录在亚里士多德的《物理学》一书中而为后人所知。这些
悖论中最著名的两个是：“阿基里斯悖论”和“飞矢不动悖论”。我们只谈前一
个。
阿基里斯（Ａｃｈｉｌｌｅｓ）悖论： 阿基里斯是古希腊神话中跑得最快的人，然而他
却跑不过乌龟。“原因”如下：假设乌龟在前，阿基里斯在后追赶。由于追赶者
首先应该达到被追者出发之点，此时被追者已经往前走了一段距离，因此被追者
总是在追赶者前面，即阿基里斯永远也追不上乌龟。
这个悖论当然和我们熟知的实际事实不符。那么，问题在哪里呢？要弄清楚
它就需要极限的概念。实际上，即使按照悖论中所说的追赶步骤，似乎需要无限
次的追赶，但每一次追赶乌龟所需时间是越来越小的，这些时间的总和仍然是一
个有限的量！
上面的例子涉及到无限个数的求和，我们称为无穷级数的求和问题。下面可
以再看两个求和的例子，它们都和圆周率有关。第一个是下面的求和等式：
第二个是下面的等式，它被称为马辛（Ｍａｃｈｉｎ） 公式，１７０６ 年，Ｍａｃｈｉｎ 用
这个公式将圆周率计算到了小数点后１００位：
下面这个更为复杂的公式是 １９１４ 年由印度天才数学家拉马努扬
（Ｒａｍａｎｕｊａｎ）发现的：
