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几何学
geometry
jihexue作者 ：苏步青【本书体例】 【大 中 小】 数学中最古老的一门分科。据说是起源于古埃及尼罗河泛滥后为整修土地而产生的测量法，它的外国语名称geometry就是由geo(土地)与metry(测量)组成的。泰勒斯曾经利用两三角形的等同性质，做了间接的测量工作；毕达哥拉斯学派则以勾股定理等著名。在中国古代早有勾股测量，汉朝人撰写的《周髀算经》的第一章叙述了西周开国时期(约公元前1000)周公姬旦同商高的问答，讨论用矩测量的方法，得出了著名的勾股定律，并举出了“勾三、股四、弦五”的例子。在埃及产生的几何学传到希腊，然后逐步发展起来而变为理论的数学。哲学家柏拉图(公元前429～前348)对几何学作了深奥的探讨，确立起今天几何学中的定义、公设、公理、定理等概念，而且树立了哲学与数学中的分析法与综合法的概念。此外，梅内克缪斯(约公元前340)已经有了圆锥曲线的概念。
希腊文化以柏拉图学派的时代为顶峰，以后逐渐衰落，而埃及的亚历山大学派则渐渐繁荣起来，它长时间成了文化的中心。欧几里得把至希腊时代为止所得到的数学知识集其大成，编成十三卷的《几何原本》，这就是直到今天仍广泛地作为几何学的教科书使用下来的欧几里得几何学(简称欧氏几何)。徐光启于1606年翻译了《几何原本》前六卷，至1847年李善兰才把其余七卷译完。“几何”与其说是geo的音译，毋宁解释为“大小”较为妥当。诚然，现代几何学是有关图形的一门数学分科，但是在希腊时代则代表了数学的全部。欧几里得在《几何原本》中首先叙述了一些定义，然后提出五个公设和五个公理。其中第五公设尤为著名：如果两直线和第三直线相交而且在同一侧所构成的两个同侧内角之和小于二直角，那么这两直线向这一侧适当延长后一定相交。《几何原本》中的公理系统虽然不能说是那么完备，但它恰恰成了现代几何学基础论的先驱。直到19世纪末，D.希尔伯特才建立了严密的欧氏几何公理体系。
第五公设和其余公设相比较，内容显得复杂，于是引起后来人们的注意，但用其余公设来推导它的企图，都失败了。这个公设等价于下述的公设：在平面上，过一直线外的一点可引一条而且只有一条和这直线不相交的直线。Η.И.罗巴切夫斯基和J.波尔约独立地创建了一种新几何学，其中扬弃了第五公设而代之以另一公设：在平面上，过一直线外的一点可引无限条和这直线不相交的直线。这样创建起来的无矛盾的几何学称为双曲的非欧几里得几何。(G.F.)B.黎曼则把第五公设换作“在平面上，过一直线外的一点所引的任何直线一定和这直线相交”，这样创建的无矛盾的几何学称椭圆的非欧几里得几何。
在文艺复兴以后的欧洲，代数学由于受到阿拉伯的影响而迅速发展。另一方面，17世纪以后，数学分析的发展非常显著。因此，几何学也摆脱了和代数学相隔离的状态。正如R.笛卡儿在其名著《几何学》中所说的一样，数与图形之间存在着密切的关系，在空间设立坐标，而且以数与数之间关系来表示图形；反过来，可把图形表示成为数与数之间的关系。这样，按照坐标把图形改成数与数之间的关系问题而对之进行处理，这个方法称为解析几何。恩格斯在其《自然辩证法》中高度评价了笛卡儿的工作，他指出：“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就成为必要的了，……”事实上，笛卡儿的思想为17世纪数学分析的发展提供了有力的基础。到了18世纪，解析几何由于L.欧拉等人的开拓得到迅速的发展，连希腊时代的阿波罗尼奥斯(约公元前262～约前190)等人探讨过的圆锥曲线论，也重新被看成为二次曲线论而加以代数地整理。另外，18世纪中发展起来的数学分析反过来又被应用到几何学中去，在该世纪末期，G.蒙日首创了数学分析对于几何的应用，而成为微分几何的先驱者。
如上所述，用解析几何的方法可以讨论许多几何问题。但是不能说，这对于所有问题都是最适用的。同解析几何方法相对立的，有综合几何或纯粹几何方法，它是不用坐标而直接考察图形的方法，欧几里得几何本来就是如此。射影几何是在这思想方法指导下的产物。早在文艺复兴时期的意大利盛行而且发展了造型美术，与它随伴而来的有所谓透视图法的研究，当时有过许多人包括达·芬奇在内把这个透视图法作为实用几何进行了研究。从17世纪起，G.德扎格、B.帕斯卡把这个透视图法加以推广和发展，从而奠定了射影几何。分别以他们命名的两个定理，成了射影几何的基础。其一是德扎格定理：如果平面上两个三角形的对应顶点的连线相会于一点，那么它们的对应边的交点在一直线上；而且反过来也成立。其二是帕斯卡定理：如果一个六角形的顶点在同一圆锥曲线上，那么它的三对对边的交点在同一直线上；而且反过来也成立。18世纪以后，J.-V.彭赛列、Z.N.M.嘉诺、J.施泰纳等完成了这门几何学。
按照解析几何的方法，平面和普通空间可以分别表示成二维和三维欧几里得空间(简称欧氏空间)E2和E3。为了一般化这些空间，用n个实数的序列(x1，x2，…，xn)定义一点，而且定义两点(x1，x2，…，xn)和(y1，y2，…，yn)间的距离为
。这样定义起来的是n维欧氏空间En。研究E2、E3的图形的学科，分别称为平面几何和立体几何。同样，关于射影几何和非欧几何也可把它们扩大为n维射影空间和n维非欧空间。对于上述的各种几何学如何进行分类，是(C.)F.克莱因在其埃尔朗根规划(见埃尔朗根纲领)中所提出的问题，他把几何学和群论联系起来。这个思想大致如下：设｛P｝是某一集合，P是它的代表元素，称为点，G是这集合的一对一的可递变换群。群G给予{P}中的图形(即点组)以一个分类法，就是：对于两个图形，当且仅当G中有一个变换使其一个图形变为另一图形时，这两个图形属于同一类；并称这两个图形为等价或重合图形。由于G是可逆群，等价关系也是可逆的，即：如果对于三个图形F1，F2，F3，其中F1与F2等价，且F2与F3等价，那么F1与F3也等价。在点集{P}具有这样分类的基础上，把这个分类看作点集{P}的结构，那么{P}是一个空间，且G是它的自同构群(见群)凡同一类里的一切图形所共有的任何性质，称为关于G的不变性质，而且有时把关于G 的不变性质的研究取为这空间的几何学的特征，也就是把群 G的不变量理论取为这空间的几何学的特征。这种分类法给出了一种几何学的定义，或者说：有了一个可逆变换群G，就有一种隶属于G的几何学，即克莱因几何学。按照所取的变换群为运动群、仿射变换群、射影变换群、共形变换群之不同，隶属于各群的几何学分别是欧几里得几何学、仿射几何学、射影几何学和共形几何学。非欧几何则被包括在特殊的射影几何之中。在克莱因分类法下，一对一的连续变换群所隶属的几何学，过去被称为位置分析，现在已经独立发展为拓扑学。另一方面，射影空间中由代数多项式定义的曲线、曲面以至于一般的代数簇也成为长期的、重要的研究对象，于是形成了代数几何。
18世纪以后，微分几何学逐步形成为一门数学分科，对它作出最大贡献的是C.F.高斯。他特别地奠定了曲面论的基础，其中曲面上的几何尤为突出。意大利数学家E.贝尔特拉米应用高斯－博内公式(见曲面)到负常数高斯曲率的曲面(即拟球)上，从此作出了著名的非欧几何的模型。法国数学家(J.-)H.庞加莱把欧氏上半平面看作一个有特定线素(度规)的“曲面”，而且以曲面上的几何实现了非欧几何的庞加莱模型。这样，长期间成了人们疑问的非欧几何真假问题，至此得到完全解决。微分几何在古典意义下是研究 E2、E3 的曲线、曲面等图形的局部性质的一门分科，按照克莱因分类法该是隶属于运动群的几何。当采取另一个变换群时，可造出另外的微分几何。20世纪20年代，以G.富比尼为首的意大利学派创建了射影微分几何学，以W.J.E.布拉施克为首的汉堡学派创建了仿射微分几何学、共形微分几何等，后来，法国的É.(-J.)嘉当、中国的苏步青等改善并丰富了这方面的内容。
高斯的曲面论经过他的学生黎曼的拓广，发展为n维黎曼几何学，其中包含着非克莱因几何学的成分。它经过一些数学家，如E.B.克里斯托费尔、G.里奇、T.列维－齐维塔等的努力，得到很大的发展。自从爱因斯坦将它应用到广义相对论以来，特别引起了学术界的注目。开始时，张量分析是黎曼几何学的主要工具，É.嘉当引进了外微分形式和活动标架法，使它有了新的面目。在黎曼空间的各点设想一个切欧氏空间，并对二邻近空间赋予等度量的对应，便构成欧氏联络。同克莱因几何相类似，当考察一个n维空间而来用仿射联络时，便获得A.S.爱丁顿的仿射联络空间；当把仿射联络换作射影联络时，便有外尔几何；当共形联络被采用时，便得到共形联络空间几何，等等。上述几种作为黎曼几何拓广的几何学，也是从相对论的需要产生的。20世纪以来，从黎曼几何还产生了更一般的以曲线长度积分为基础的芬斯拉空间几何，以超曲面面积积分为基础的嘉当空间，以二阶微分方程组为基础的道路空间和 K展空间的几何学，通称一般空间微分几何。从30年代后期开始，中国苏步青、严志达、谷超豪等先后对于一般空间微分几何学的发展，作出了许多重要贡献。
上述各种微分几何，主要是以图形和空间的局部为着眼点而开展的局部微分几何，即属于古典范畴的数学分科。今天，几何学和数学的其他领域的相互渗透更为深入了，它与代数学、数学分析之间有许多公共的研究领域。与局部微分几何不相同，对所给定的图形或空间研究其整体的性质，即所谓大域的性质，这个分科称整体微分几何。20世纪20年代，布拉施克在卵形线和卵形面的研究中，最初强调了现代微分几何必须以探讨微分几何的(局部的)性质与大域的性质间的联系为目标，例如，康·福生关于卵形面刚性的研究属于这个范畴，此外，还有关于测地线、极小曲面的研究等等。黎曼几何被看成为一个具有非退化的二次微分形式的微分流形，获得了显著的进展。H.霍普夫等在20世纪20年代对黎曼流形的微分几何结构和拓扑结构的联系问题作了研究。随着微分流形概念的逐步明确化、李群的整体理论的进展和拓扑学的发展，1944年陈省身发展了纤维丛的理论，不仅用之证明了高维黎曼流形上的高斯-博内公式，而且提出了复流形上的陈示性类，对于微分几何学、代数几何、多复变函数论有重要影响。W.V.D.霍奇创立了调和积分论，是德·拉姆上同调论的进一步发展。根据1950年C.埃雷斯曼的研究，以G为基本群的联络几何可以被看成是一个微分流形M上的这样的一次微分形式，这种一次微分形式就是M上以G 为构造群的纤维丛上的所谓联络形式。这样，整体微分几何在与李群、拓扑学乃至古典微分几何、变分学、微分形式论、代数几何、多复变函数论等许多分科的联系下，大幅度地发展起来。在中国继老一辈几何学家之后，又出现了一批研究者活跃在现代微分几何这一领域里。近年来，以偏微分方程和非线性分析为工具来研究整体微分几何已成为一个重要的研究方向，丘成桐就是一个代表人物，他在这方面的研究于1983年获费尔兹奖。
近十年来，国际上已将微分几何应用到工业制造和理论物理中去。中国的苏步青自1976年以来，也把代数曲线的仿射不变理论用于计算几何，为这个领域提供理论基础并引出一些研究，其中部分结果已经在造船、航空和汽车工业中得到应用。吴大任、严志达研究了齿轮的原理。在理论物理学中，微分几何对于规范场理论发挥了重要的作用，中国的谷超豪、胡和生等也作出了系统的成果。
