概率波的概念既能维护电子的粒子性，又能体现电子的波动性:粒子是实物的集中形态，波是实物的散开形态 粒子性要求每个电子只可能从一条

21．2  概率波 

 

21．2．1  波粒二重性佯谬 

 

按照经典物理的概念，依据对原子客体做观测所得到的实验结果的描述，似乎原子客体有时呈现波的性质，有时又呈现粒子性质。例如电子，云雾室照相径迹表现它像个粒子，但晶体衍射实验中它又像个波。又如X光，完全类似的晶体衍射表现它像个波，但光电效应、康普顿效应等又表现它像个粒子。

按通常理解，粒子是实物的集中形态，波是实物的散开形态，但实物不能同时是个粒子又是个波，两者明显是矛盾的。一个粒子在某地它就不能同时在另一地，但波（也就是场）就是在一个广延的空间范围中同时发生。

这个矛盾怎样解决呢？德布罗意及其他量子力学创始人，对于物质粒子波动性的见解，都曾经深受经典概念的影响，把物质波看成是经典概念下的波，粒子只是许多波组合起来的一个波包。波包的大小即粒子的大小，波包的群速度即粒子的运动速度，波包的活动表现出粒子的性质。但这样一幅图画被实验否定了。波包是不同频率的波组成的，不同频率的波在媒质中的速度不同，这样一个波包在媒质中会逐渐扩展而消灭。但实验中观察到的电子不会在媒质中扩展而消灭。再则，波在二媒质的界面上可分为反射和折射两部分，而一粒电子是不可分的。

此外，在电子衍射室验中，电子波打到晶体表面后发生衍射，衍射波将沿不同方向传播开去。如果把一个电子看成三维空间的物质波包，则在空间不同方向观测到的只能是“电子的一部分”，这与实验完全矛盾。实验上测得的（例如计数器或照相底片上记录到的）总是一个一个的电子，各具有一定的质量和电荷等。显然，物质波包的观点夸大了波动性一面，而实际上抹杀了粒子性一面，是带有片面性的。

另一种设想是，粒子是基本的，波只是大量粒子分布密度的变化。波动性是由于有大量粒子分布于空间而形成的疏密波。它类似于空气振动出现的纵波，即由于分子密度疏密相间而形成的一种分布。这种看法也与实验矛盾。实际上可以做这样的电子衍射实验，让入射电子流极其微弱，电子几乎是一个一个地通过仪器，但只要时间足够长，底片上仍将出现衍射花样。这表明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象，似乎波动性是各个电子具有的性质。

以上事实说明，运用经典波的概念，粒子与波的确是难以统一到客体上去，然而究竟应该怎样正确理解粒子与波动两重性呢？

 

21．2．2  玻恩的统计解释 

 

1926年6月，德国物理学家玻恩（Born，1882—1972年）在题为《碰撞现象的量子力学》的论文中，提出了德布罗意波的统计意义，认为波函数体现了发现粒子的概率，这是每个粒子在他所处环境中所具有的性质。如果有大量的粒子，那么在某处粒子的密度就与此处发现一个粒子的概率成正比。把这情况同光来对比，光的强弱同光子的数目成正比，而在某一处的光子数同该处发现一个光子的概率成正比，但我们知道光的强弱是同光波的电场或磁场强度的平方成正比的，足见在某处发现一个光子的概率同光波的电场或磁场强度的平方成正比。这样来类比，

 

 

以把体积dτ中发现一个粒子的概率表达为

                              （21．10）

 

这就是德布罗意波函数的物理意义。

1954年，玻恩“由于他的基础研究，特别是由于他对波函数的统计解释”而获得了诺贝尔奖。在他的获奖演说中，他把他做出统计解释的灵感归之于“爱因斯坦的一个观点，爱因斯坦曾尝试通过把光波振幅的平方解释为光子出现的概率密度，以使光量子的波粒二象性得以理解。

 

似的论述经常可以在玻恩的著作中找到。

玻恩在他的关于碰撞现象的论文中，还谈到他的思想来自爱因斯坦20年代初对光量子和波场动力学的思索。他写道：“我是从爱因斯坦评论关于波场和光量子之间的联系出发的。他大致说过波在此只表示光量子粒子性的方式，并且在这个意义上他谈到了‘鬼场’，为了找到一条确定的路，一个‘鬼场’确定一个光量子的概率。”玻恩认为爱因斯坦的鬼场（又称导场或概率场）正是“一种能够调合粒子与波的方式”。

 

它们的意义是完全不同的。经典的波函数意味着有某种实在的物理量的

 

 

 

所描述的相对概率分布是完全相同的；而经典波的波幅若增加一倍，则相应的波动的能量将为原来的四倍，代表了完全不同的波动状态。为了更本质地了解量子波与经典波的不同，我们在下面介绍电子双缝干涉实验及其解释。

 

21．2．3  电子双缝干涉实验 

 

1861年，德国学者约恩孙（Jonsson）发表了一篇论文，介绍了他用电子束做的单缝、双缝等衍射实验，他在铜膜上刻了五条缝宽为0.3μm、缝长50μm、间距离为1μm的狭缝，并分别用单缝、双缝、三缝、四缝、五缝做了实验。实验中采用经50kV电压加速的电子，波长约为0.05 ，观察与狭缝距离约为35cm处的衍射图象。图21．6是电子双缝实验示意图。

由于干涉条纹非常密集（条纹间距Δl≈10－6 m），约恩孙在实验中又加了一个电磁透镜，用来放大衍射图象。图21．7中（a），（b），（c），（d）分别是放大了的单缝、双缝、三缝及四缝衍射图。

实验发现，不论我们把入射光强减弱到什么程度，只要屏幕的曝光时间足够长，我们仍观察到双缝干涉图象。那时，从光量子的观点看，入射光已弱到使光子一个一个地通过狭缝！同时，现代的实验技术已可使电子流减弱到如此程度，使电子发射的间隔时间为电子飞越时间的3×104倍。当我们在屏幕上记录电子时，固然在开始时得到的分布是毫无规律的，但是，积累的时间长了，我们仍然得到了双缝干涉图象。

 

 

 

 

图21．8表明了电子通过双缝后的情形。（a）表示28个电子通过双缝后的干涉图样，可以看到每个电子都是一个点，体现了粒子性，但每个点都落在干涉极大处，体现电子遵守概率波给出的分布——波动性。（b），（c），（d）分别表示103，104和106个电子通过双缝后的衍射图样，随着电子数增加，代表单个电子的亮点逐渐消失，而规则的衍射条纹越加明显。

这些结果充分表明，干涉图象的出现体现了微观粒子的共同特性，而且它并不是由微观粒子相互之间作用产生的，不能认为是两个电子的波干涉的结果，实质上是单个微观粒子属性的集体贡献。

 

 

怎样解释电子双缝干涉实验？是否可以用波的干涉理论来说明？如图21．9所示，代表电子运动的波列到达双缝后，将在双缝A，B处形成两个子波，两个波叠加后在接收屏上得到双缝干涉图样。但是这样的描述与电子粒子性相矛盾。到目前为止，我们知道电子是不可分割的，一个电子通过A，B时被分成两部分，彼此进行干涉是不可能的。反之，如果认为电子到达双缝时只有一条狭缝起作用，即每个电子仅仅从其中一条通过，则这种观点虽然维护了电子的粒子性，却又与实验事实明显不符。应该说，电子通过缝A时，缝B是否打开对它不应有任何影响。同样，电子通过缝B时，缝A的存在也应与它毫无关系。按照这种观点必然得到如下结论：先打开缝A关上缝B，然后再打开缝B关上缝A，应得到与同时打开双缝相同的衍射图样。但事实却不是如此，先后依次打开一条缝得到的必然是两个单缝衍射图样的叠加，屏上电子的强度应是分别打开时强度之和，不可能得到双缝干涉图样。这就是说，尽管粒子性要求每个电子只可能从一条缝通过，但打开双缝时缝A和缝B仍然同时在起作用，与只打开单缝电子的“感受”是不同的。

美国物理学家费曼（Feynman）说过：“这些实验，都是用任何经典方法所绝对不能解释的，但是，量子力学的核心正是包含在这些实验之中。”下面用概率波的概念来分析电子的双缝衍射实验，看一看它是怎样克服前面指出的矛盾的。

概率波的概念既能维护电子的粒子性，又能体现电子的波动性。由于概率波给出的是电子出现的概率，所以不要求分割电子。而电子的概率分布又是由波函数决定的，所以能给出干涉、衍射图样，又体现了波动性。电子通过双缝时，同时打开两个缝与分别先后各打开一个缝对于电子来说是有区别的，在前一情形每个电子都有两种机会，即可以从A或B通过，而在后一情形就只存在一种机会。因此，应当分别用两种不

分别给出不同的干涉图形，即分别是双缝或单缝衍射图样。一个表示有机会通过A，B两个缝的概率波并不破坏电子的粒子性，它是说明每个电子有机会通过缝A也有机会通过缝B，而没有要求一个电子分成两半，分别通过A，B。

电子到达接收屏后也不会发生矛盾，这时经过衍射的概率波将给出电子在屏上分布的概率，例如亮条纹处概率大，暗条纹处概率小等。所以，电子到达屏时实际上只落在一个点上，不过落在哪个点上是按概率波给出的概率分布的。在大量电子参加双缝实验时，各个电子都以同样的概率波表示，大量电子到达接收屏后必然在概率大的地方电子多（出现亮条纹），在概率小的地方少（出现暗条纹），这就说明了衍射条纹的出现。因此，用概率波描述电子能很好地将电子的波动性与粒子性结合起来。