群体模型（生灭过程）随时间稳定→可以取代几何布朗运动作线性区域内的期权定价的基础

来源: 于 2011-04-23 06:55:58 [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 本文已被阅读：次

陈平教授复杂演化经济学 
Complex Evolutionary Economics： 
A General Theory on Micro, Meso , Macro , and Clio Economics 
of An Observable World 
第十一周（5/2-3/09) 
金融工具:期权定价 

国家发展研究院

双学位2009春季课程

周六与周日，11-12节（19：10 – 21：00）

地点：理教211

重新认识基于几何布朗运动的 
期权定价模型 

  • 均衡理论的顶峰-期权定价模型：
  • 布朗运动理论在经济学与物理学中应用的差别：Bachelier(1900)》唯像理论=无结构, Einstein (1904)》联系分子运动论与粘滞流体中的扩散过程=估计出分子数》否定奥斯瓦尔德的唯能论》发展热运动的统计物理
  • Samuelson(1965), Merton (1973), Black & Scholes (1973)》期权定价模型：从多参数到单参数(volatility)》数学美化，物理简化？
  • 均衡理论的罕见创新》期权市场的同步发展
 
  • 金融危机及其对均衡理论的挑战：代表者模型+二阶矩假设的局限（陈平，李华俊，曾伟，唐毅南）

Two Equivalent  Ways to Derive the Black-Scholes-Merton Equation 

Presented  by 

LIU,  Ruixuan 

刘睿轩

Dep.  Finance, School of Econ.

May2,  2009

Major Focus 

  • Two Ways to  Derive Option Pricing Equation:Black-Scholes and  Merton’s Methods 
 
  • Common Regularity  Conditions:
  • Geometric Brownian Motion of the Stock Price
  • Existence of Riskless Return, r
  • Adapted ( Dynamic) Trading Strategy – So-called Delta Hedge
 
  • Different Methods  ( at first glance):
  • Black-Scholes: To solve a specific stochastic differential equation
  • Merton: Take the expectation under risk-neutral measure using martingale’s property

Major Focus 

  • Common Intuition  behind Abstract Derivation:
  • Movement of stock price is much more volatile than the riskless rate of return.
  • We need duplicate the pay of the call option ( using stock and riskless return) almost surely along the time span.
  • Only the noise term contain information: Delta Hedge Strategy is played through the noise term.

Black-Scholes’  Stochastic Differential Equation 

  • European Call  Option Pays                            at time T.
  • Let the option’s value be c(t,S(t)), obviously it depends on the random S(t) and it is random itself.
  • If we can construct a portfolio, X(t), which pays exactly as the European call option along the time span, then their present value should be equal according to No-Arbitrage Theory
  • How can we be sure the payment is exactly the same almost at every point?
  • Even slight changes( that’s where stochastic calculus is applied) in those two portfolios should be equal

Black-Scholes’  Stochastic Differential Equation 

  • Basic Setting  for BS Derivation
  • Geometric Brownian Motion of S(t) ( Put some structure on the randomness of S(t))

             

              Its differential (in the Ito sense) form is more intuitive 

  • We construct a  two-factor portfolio X(t): ⊿(t)S(t) in stock  market and the rest X(t)-⊿(t)S(t) in  the money market which pays r.
  • The evolution of the portfolio value is coming from the above two factors

Black-Scholes’  Stochastic Differential Equation 

  • Now we can  equate those two slight changes( after  properly discounted, since we consider the  present value)
 
 
  • Let’s separate  the trend and noise terms on both  sides ( in rather scaring form)

Black-Scholes’  Stochastic Differential Equation 

  • In order to  let the above equation to hold everywhere,  we just equate the relevant terms on  dt and dW(t)
  • dt and dW(t) are of different magnitudes, dW(t) is much more volatile. Rigorously, dW(t) contains quadratic variation whereas dt doesn’t.
  • First, equate the W(t) term, that is so-called Delta-Hedge
 
  • Then, after equating  the dt term, we have already got  BS Equation
 
 
  • Note we have  substitute x for S(t), because the above  one is just simple differential equation,  no probability is involved.
  • BS solve that equation under some boundary conditions

Merton’s Risk-Neutral  Measure 

  • Motivation: as  we know the discounted payoff of the  call option is 
 

        so why cannot we take the conditional expectation at time t and let it be the call’s value, c(t,S(t))?

  • Generally, this is not the case! The property of martingale is needed and the c(t,S(t)) driven by W(t) is not martingale.
  • Recall we need X(t) = c(t,S(t)) almost surely, that is strong convergence, even if we change the probability of particular event a bit, that doesn’t matter.
  • Merton’s method involves change of probability measure so that we can have c(t,S(t)) as a martingale under the alternative probability measure, thus we can just take the conditional expectation of c(t, S(t)).

Merton’s Risk-Neutral  Measure 

  • What is change  of probability measure?

     We toss a coin, the outcome is head or tail. Normally the probability is equal for both outcomes, when we e.g. assign P(H)=0.6, P(T)=0.4, we change the measure but the number of outcome is the same.

  • Mathematically, we can state: a positive random Z, satisfying EZ=1, can act as the switch
 
 
  • For a stochastic  process, we need a sequence of Z(t)  so a martingale under alternative probability  measure can be obtained.

Merton’s Risk-Neutral  Measure 

  • For the previously  defined portfolio X(t), Merton finds the  appropriate change of measure and martingale  sequence, according to Girsanov Theorem.
  • Now we can just take the conditional expectation and get the result
 
 
  • Notice should  be taken since now we need to derive  the above expectation using            and

Equivalence of  Two Methods 

  • Common Intuition  and Abstract Derivation:
  • Movement of stock price is much more volatile than the riskless rate of return => dW(t) is more important than dt, for M-Method, the dt is simply moved by change of measure.
  • We need duplicate the pay of the call option ( using stock and riskless return) almost surely along the time span => Almost surely convergence guarantee the change of measure in M-Method
  • Only the noise term contain information: Delta Hedge Strategy is played through the noise term => Although not explicitly specified, M-Method contains the dynamic ⊿(t), which can be solved afterwards.

Major Focus 

  • Two Ways to  Derive Option Pricing Equation:Black-Scholes and  Merton’s Methods 
 
  • Common Regularity  Conditions:
  • Geometric Brownian Motion of the Stock Price
  • Existence of Riskless Return, r
  • Adapted ( Dynamic) Trading Strategy – So-called Delta Hedge
 
  • Different Methods  ( at first glance):
  • Black-Scholes: To solve a specific stochastic differential equation
  • Merton: Take the expectation under risk-neutral measure using martingale’s property

集体模型下的金融市场行为和定价 

唐毅南

09/05/02

研究动机:群体模型VS代表者模型 

  • 新古典金融学→稳态线性随机过程→ 完全套利→无参数的定价模型(Black-Scholes等)→但是和现实不符(金融危机必须外生) →不可证伪(Fama 1991)
  • 行为金融学→引入人的行为和心理→ 描写内生的泡沫和危机→沿用线性随机过程→模型依赖参数
  • 凯恩斯主义→用宏观变量描写经济→投机家阴谋+从众行为=宏观失衡(Minsky) →内生的危机 →新凯恩斯主义寻找微观基础(回到个人理性难以和新古典争论)
  • 奥地利学派→企业家是自身稳定（哈耶克）→危机外生(政府）-取消央行
  • 演化学派→创造性毁灭过程（熊彼特-社会主义）
  • 金融物理→非高斯分布的金融市场→复杂性→so what?

我们的发现 

  • 能支持群体模型的经验证据是系统的空间非线性
  • 描写群体行为的随机过程是生灭过程
  • 金融危机的群体动力学判据是趋势瓦解和高阶矩发散
  • Black-Scholes模型的极值之谜要用群体行为的高阶矩风险升水解决

支持群体模型 

  • 必须承认金融系统内部存在不稳定性，金融危机是内生的(陈平 1988）
  • 必须能够观察到人的行为和心理的宏观效应
  • 以此出发建立基于可观测量的新随机过程，应能容纳通常状况和金融危机
  • 建立基于可观测量的定价模型，其推论应与经验相一致
  • 相应的微观机制应该得到说明

为什么要用生灭过程？ 

  • 观察到的股价指数在金融危机的冲击下相对偏差仍然随时间稳定
  • 理论分析（陈平2002，2005，李华俊2002）：
  • 代表者模型（几何布朗运动，随机游走）都不稳定
  • 群体模型（生灭过程）随时间稳定→可以取代几何布朗运动作线性区域内的期权定价的基础

标准-普尔500股价指数相对偏差的稳定性 
(RD = sHPc/mHPg)

动态随机过程相对偏差的稳定性（陈平2005） 

  • 布朗运动=扩散过程的代表者模型》随时间爆炸
  • 生灭过程=群体模型》长时间稳定，短时间则视情况而定
  • 随机游走=代表者模型》随时间衰减

金融危机：趋势消失和高阶矩发散 

道·琼斯工业指数，大萧条期间 

variance 

Skewness 

kurtosis 

5thorder cumulant 

… 

0.0196 

0.4537 

2.8378 

2.5448 

…

群体模型的期权定价模型 

  • 欧式看涨期权的定价公式

和Black-Scholes模型对比 

  • BS模型只含有二阶矩升水（隐含波动率），并且时间上的频率成分为0，可称为          模型
  • 直接测度高阶矩的模型含有m阶升水，n个频率成分，可称为         阶模型
  • 线性过程逼近的模型含有所有阶矩的升水，n个频率，可称为          阶模型
  • 有效市场理论是          模型，相当于

和Black-Scholes模型对比

   可以解释         和市场的偏离

结论 

  • 生灭过程考虑了群体行为，是真实市场更好的描述
  • 套利的可能性取决于市场过程的线性程度，因此BS模型采取的线性随机过程不能更好的描述市场
  • 可以构造定价模型         ，金融危机和BS模型是它的两个极端状况

国际金融的监管和改革 

  • 公允价值的问题：资产价格波动率》债务的真实价值波动》放大不稳定性
 
  • 开卷考试补充问题：
  • 计算自相关函数的 To
  • 计算特征时间尺度 Tc = 4*To
 
  • Tc 可用来作为资产估价时选择时间窗户的依据

HPc 的自相关函数与特征时间尺度 Tc=4*To 》资产估值时间窗户的参照

物理学与经济学的联系与异同 

  • 平衡态物理学的条件：孤立或封闭体系》能量守恒》动力学方程满足变分原理》变为优化问题》哈密顿经济学体系》新古典
 
  • 三类物理问题：
  • 波动方程：晶格点阵+时间的两阶导数》正弦或余弦函数
  • 扩散（热传导）方程：连续性方程+热传导的一阶空间梯度》指数函数
 
  • 化学反应方程》人口动力学方程（生态方程）》开放系统》非线性+非均衡+群体》复杂系统
 
  • 问题：宏观、金融波动该用哪类方程？

经济学中的封闭系统=没有创新空间 

  • 需求曲线斜率向下的条件：
  • 弗里德曼-张五常条件：真实收入不变=宏观没有非自愿失业
  • 陈平条件：没有新产品=产品种类可区分=产品周期为无穷大（没有新陈代谢）
 
  • 类似问题：产权界定：选择=选优？
  • 自私是天生的？有无自私基因？利他行为的起源？
 
  • 演化博弈论能回答生物学与经济学的基本问题，如劳动分工，家庭，市场，组织，国家的起源吗？
  • 1维人（效用排序）与多维人》理性、感性、与社会性的矛盾与取舍》优化还是演化？

从变中寻找不变：标准-普尔指数为例

HP趋势》h-series

HP 波动》p-series

相对偏差》比波动率(volatility)稳定

波动率(volatility)

资产定价线性理论的问题 

  • 只有（用概率论）可预测的风险(risk)
  • 没有（用概率论）不可预测的不确定性(uncertainty)
  • 观察资产价格波动的短期行为（单位时间的变化率）》忽略中长期的趋势与波动
  • 均值、方差不足以刻画系统行为》高阶矩的影响（在市场动荡时）不可忽略
  • 无风险利率不存在》国债利率有通胀风险+汇率贬值风险+政府破产（拒付）风险

Class Information 

References 

  • Samuelson, P.  A.  "Rational Theory of Warrant Pricing,"  Industrial Management Review, 6(2), 13-31 (1965).
  • Black, F. and M. Scholes, “The Pricing of Options and Corporate Liabilities,” Journal of Political Economy, 81, 637-654 (1973).
  • Merton, Robert C. “Theory of Rational Option Pricing,” Bell Journal of Eco. and management Science, 4(1), 141-183 (1973).
  • Merton, Robert C. “Applications of Option-Pricing Theory: 25 Years Later,” Amer. Eco. Rev. 88(3), 323-349 (1998).
  •  
 
  • 陈平,文明分岔、经济混沌、和演化经济动力学，北京大学出版社，北京2004年出版。
  • Chen, P. “Equilibrium Illusion, Economic Complexity, and Evolutionary Foundation of Economic Analysis,” Evolutionary and Institutional Economics Review, 5(1), 81-127 (2008).