量子力学读书笔记申晨 华中师范大学物理科学与技术学院

量子力学读书笔记

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量子力学读书笔记申晨 华中师范大学物理科学与技术学院 2008 级物理学基地班 武汉：430079 【摘要】 ：量子力学中一些概念，不是用经典力学的思想可以理解的。本文将从 电子的自旋、宇称、不确定关系和量子隧道效应，具体谈谈自己，在学习量子力 学这门课程的过程中， 以及课下阅读一些相关书籍， 获得的读书笔记和心得体会。 最后，简述一下量子力学的发展历程。 【关键词】 ：电子自旋 宇称 不确定关系 量子隧道效应 量子发展 众所周知，物理的理论部分——四大力学：分析力学，电动力学，量子力学 和统计物理。无疑，量子力学是其中最重要的，最富有挑战的，最不容易理解的 一门课。在很多时候，对于我们这些初学者来说，它很奇怪，不能用一些经典的 概念去理解。 正如哥本哈根派的代表尼尔斯 ? 玻尔曾经说过： “如果谁在第一次学习量子 力学概念时，不觉得糊涂，他就一点也没有懂。 ” 也正如量子电动力学的鼻祖理查德 ? 费曼曾经说过： “我想我可以挺有把握 地说，没有谁理解量子力学。……如果你能简单地接受自然界的行为可能就像这 个样子，那你就会发现她多么令人愉悦和可爱。如果有可能的话，你千万不要总 问自己： ‘事情怎么会变成这个样子呢？’因为这样一来，你就会陷入一个谁也 逃不出来的死胡同里去了，谁也不知道它怎么会像这个样子。 ” 下面就从一些例子来看看量子力学给我们带来的新思维新概念。 1.自旋 开始，人们在实验室里发现了一些实验事实，它们无法用已有的概念和模型 很好的解释。比如：钠黄线（ λ = 5893 A ）原来以为是一条谱线，后来利用具有 高分辨本领的光谱仪进行测量，发现它分裂成两条线 5896 A ）和（5890 A ） 的谱 （ 线组成；反常塞曼效应或复杂塞曼效应的发现；斯特恩-盖拉赫实验发现，让处 于基态的氢原子通过狭缝进入不均匀磁场， 最后在照相底片上出现两条离散的谱 线。这些实验事实，使用索莫菲等人引进描述电子轨道运动的主量子数、角量子 数和磁量子数是没有办法解释。 1925 年，乌伦贝克和哥德斯密特提出了电子自旋的假设，很好的解释了很 多实验现象。但是我们能根据电子的自旋，把一个电子设想成像一个旋转的小球 一样吗？不可以的。自旋角动量是没有经典对应的。 如果把电子看作一个带有电荷 ? e 的小球，半径为 10 ?14 cm（目前的实验数据 证明， 电子的线度远小于 10 ?14 cm ） 它像陀螺一样绕自身轴旋转， ， 那么可以证明： 1 自旋为 h 的电子，在表面上的切向速度将大大超过光速！其数量级估算如下： 2 o o o h hc 2 v~ ~ ~ 137c μre es2 2.宇称 宇称的概念是 1927 年魏格纳解释原子光谱的选择定则时提出来的，后来被 用于光谱分析、核物理和基本粒子等领域。 时间平移、空间平移和空间转动这三种变换都是可以连续进行的。此外，物 理学上还有几种分立（不连续）变换的对称性，或称为反演不变性。大家熟悉的 物理中的三个守恒律： 空间反演不变性——P 守恒律 时间反演不变性——T 守恒律 电荷共轭不变性——C 守恒律 其中，空间反演不变性在量子力学中表现为 P 守恒，即宇称守恒。 ? 宇称是没有经典对应的力学量，宇称算符 P 标记，表示将波函数的坐标变量 ? ? ? 对原点作空间反演，即： Pψ ( x ) = ψ (? x) 。宇称算符是厄米算符： P = P + ，还是 ? ? 幺正算符： P ?1 = P + 。 ? ? ? 在空间反演x → ? x下，若算符F → -F，则F称为奇宇称算符; ? ? ? 在空间反演x → ? x下，若算符F → F，则F称为偶宇称算符。 ? 若体系的哈密顿算符 H 具有偶宇称（即空间反演不变性） 即： ， ? ? H ( x, p ) = H (? x,? p ) ，则体系的宇称守恒。 想必， 大家很熟悉的杨振宁和李政道提出了弱相互作用中宇称不守恒， 为此， 他们在 1957 年获得了诺贝尔物理学奖。 3.不确定关系（测不准原理） 海森堡的这个原理于 1927 年 3 月 23 日在《物理学杂志》上发表，被称为 Uncertainty Principle。有如下两个我们熟悉的式子： h 2 h ΔE Δt ≥ 2 ΔpΔx ≥ （1） （2） （1）式子，表明：假如我们了解一个电子动量的全部信息，那么我们就同时失 去了它位置的所有信息；或者说，我们不能同时测到微观粒子的动量和位置。就 像中国古人所说：鱼和熊掌不能兼得。我们只能同时获得一个比较模糊的动量和 比较模糊的位置。 在宏观的世界里， 我们察觉不到这样的现象， 是由于 h 非常小， 只有 6.626 × 10 ?34 焦耳秒，即使 Δp 和 Δx 的数量级差不多，也就是都在 10 ?17 这个 数量级上。所以这种效应只在电子和光子的尺度上才变得十分担心。 （2）式子，只要能量 E 测量得越准确，时刻 t 就愈加模糊；反过来，时间 t 测 量得越准确，能量 E 就开始大规模地起伏不定。 我们知道 t 测量得越准确，E 就不确定。所以在非常非常短的一刹那，也就是 t 非常确定的一瞬间，即使真空中也会出现巨大的能量起伏。这种能量完全是靠着 不确定性而凭空出现的，它的确违反了能量守恒定律！但是这一刹那极短，在人 们还没有来得及发现以前， 它又神秘消失， 使得能量守恒定律在整体上得以维持。 间隔越短，t 就越确定，E 就越不确定，可以凭空出现的能量也就越大。下面是 两张图： 左图是一张曝光时间无限长得到的真空的“像片” ，此时真空显得很简单； 右图是曝光时间很短的真空的“像片” ，真空显得很复杂。 从这个式子出发，我们后来就有了介子理论。而费曼图在处理这个问题时，有了 巨大的作用。 我们还有一些下面结论： A.某粒子的寿命和它的能量不可能同时具有确定值； B.原子核内不可能有电子！ 如下估算可以证明： Δx ?Δp ≈ h Δ x = 0 .1 n m , Δ x = 3 fm , Δp2 ΔE = ≈ 10 eV ; 2m Δp2 ΔE = → G eV ! 2m 实验：核中飞出电子的能量约为 MeV 数量级. 所以，核内不可能有电子。 C.激发态存在能级宽度，谱线具有自然宽度。 4.量子隧道效应 我们很熟悉的一个经典中的结论，物体不能跑到比它的能量高的势场中去。 但是在量子力学中，粒子有穿过比它的能量高的势垒的概率，这样的现象，称作 隧道效应。粒子穿透势垒的概率随势垒高度 U 0 和宽度 a 的增加而指数地衰减。 根据这个隧道效应，人们发明了扫描隧道显微镜（STM） 。在这之后，又陆续发 展了一系列新型的扫描探针显微仪器，如原子力显微镜（AFM） ，磁力显微镜 （MFM） ，扫描粒子电导显微镜（SICM）等等。这些显微镜能以极高的分辨率 研究样品表面的形貌和物理化学性质，还成功地被用于操纵单个原子或分子（如 已实现对氙原子、铁原子、硅原子、硫原子、一氧化碳分子、有机分子和水分子 的搬运） 。而这些标志着一个新的科学技术时代即将到来。 最后，我们再来简要看一下量子论的发展历程，有助于我们这些初学者全面 把握量子的全局。 1900 年，普朗克（Max Planck）提出量子的概念。 1924 年，路易斯 ? 德布罗意（Louis de Broglie）提出光子的粒子行为与粒子 的波动行为应该是对应存在的。 1924 年，玻色（S.N.Bose）提出光遵循一种建立在粒子不可区分的性质（即 全同性）上的一种新的统计理论。 1925 年， 海森堡 （Werner Karl eisenberg） 玻恩 、 （Max Born） 约尔当 、 （Pascual Jordan）提出量子力学的第一个版本，矩阵力学。 1925 年，泡利（Wolfgang Ernst Pauli）提出泡利不相容原理。 1926 年，薛定谔（Erwin Schrodinger）提出量子力学的第二种形式，波动力 学。 1927 年，尼尔斯 ? 玻尔（Niels Bohr）提出互补原理，试图解释量子理论中 一些明显的矛盾，特别是波粒二象性。 1927 年，海森堡阐明测不准原理。 1928 年，狄拉克（Paul Dirac）提出了相对论性的波动方程用来描述电子， 解释了电子的自旋并且预测了反物质。 在量子论的发展中，物理学家相继提出了各种各样的解释。下面就简单介绍 一下六个比较有影响的解释。 1.哥本哈根 “哥本哈根”解释是量子论的主流解释，它是以玻尔为首的一帮科学家作出 的，他们大都曾在哥本哈根工作过，许多是量子论本身的创始人。除玻尔之外， 还有海森堡、波恩、泡利、克喇默斯、约尔当，也包括后来的魏扎克、罗森菲尔 德和盖莫夫等等。其三大核心原理：概率解释、不确定性原理和互补原理。概率 统计和不确定性原理摧毁了经典世界的（严格）因果性，互补原理和不确定性原 理又合力摧毁了世界的（绝对）客观性。在这里有了“坍塌”和“观测者”的概 念。它虽然如此奇特，难以想象，但是它却可以解释量子世界一切不可思议的现 象。哥本哈根解释一直是被当做量子论的正统。 2.多宇宙（Many Worlds Interpretation ，简称 MWI） MWI 是由休 ? 埃弗莱特在 1954 年在自己的两篇论文中提出的。在这里，波 函数从未坍塌， 而只有世界和观测者本身进入了叠加状态。 在电子的双缝试验中， 当电子穿过双缝后，整个世界，包括我们本身成了两个独立的叠加，在每个世界 里，电子以一种可能出现。宇宙随着每一次量子过程分成两个，每个宇宙对应一 个可能的结果。随着时间的流逝，各个宇宙又进一步分裂，直至无穷。它的每一 个分身都是实在的，只不过它们之间无法相互沟通而已。 3.隐变量理论（Hidden Variable Theory） 最初是由德布罗意提出，由于当时理论的不成熟，遭到了众多的批评。1952 年，大卫 ? 玻姆（David Bohm）复活了德布罗意的导波，成功地创立了一个完整 的隐变量体系。他的隐变量理论是德布罗意导波的一个增强版，只不过他把所谓 的“导波”换成了“量子势” （quantum potential）的概念。在这里，电子或光子 始终是一个实实在在的粒子，不论我们观察与否，它都具有确定的位置和动量。 但是，一个电子除了具有通常的一些性质，还有所谓的“量子势”“量子势”是 。 一种类似波动的东西，按照薛定谔方程发展，在电子的周围扩散开去。-但是量 子势所产生的效应和它的强度无关，而只与它的形状有关，这使它可以一直延伸 到宇宙的尽头，而不发生衰减。当一个电子向一个双缝进发时，它的量子势会在 它到达之前便感应到双缝的存在，从而指导它按照标准的干涉模式行动。如果我 们试图关闭一条狭缝，无处不在的量子势便会感应到这一变化，从而引导改变它 的行为模式。特别是，如果你试图去测量一个电子的具体位置时，你的测量仪器 将先和它的量子势发生作用，这将使电子本身发生微妙的变化。这种变化是不可 预测的，因为主宰它们的是一些“隐变量” ，你无法直接探测到它们。 4.系综解释（the ensemble interpretation） 这是把量子论看作一种纯统计的理论：它无法对单个统计作出任何预测，它 所推导出的一切结果，都是一个统计上的概念！换句话说，在这里，我们的世界 不存在什么“单个” （individual）的事件，每一个预测，都只是平均式，针对“整 个集合” （ensemble）的。没有坍塌，电子永远只是粒子，不确定性原理也只是 被看作一个统计极限，而不理会单个电子到底能不能同时拥有动量和位置。 5.自发定域理论（GRW） GRW 的主要假定是：如何系统，不管是微观还是宏观的，都不可能在严格 意义上孤立，也就是和外界毫不相干。它们总是和环境发生着种种交流。为一些 随机过程所影响。 GRW 的计算是完全基于随机过程的， 而并不需要引入类如 “观 测者使波函数坍塌”之类的假设。GRW 还抛弃了能量守恒。最后，薛定谔方程 是线性的， GRW 使用的密度矩阵方程实际上把整个理论体系变成了非线性的！ 而 6.退相干历史（Decoherent Histories，简称 DH） 在量子力学中，具体可以采用费曼在 1942 年发明的“路径积分” （path integral）的办法，构造一个“退相干函数”来计算所有的退相干历史。按照 DH 的解释，假如我们把宇宙分得足够精细，那么实际上每时每刻都有许许多多的精 细历史“在同时发生” （相干） 。但是一般来说，我们对于过分精细的历史没有兴 趣，我们只关心我们所能观测到的粗略历史的情况。因为互相脱散（退相干）的 缘故，这些历史失去了联系，只有一种能够被我们感觉到。 量子论在奇妙的气氛中诞生，在乱世中艰难地成长起来，一位位伟大的物理 学家为它展开了激烈的论战。直到今天，我们还是不能完全地大声说：我们真正 了解量子论!还是让我们继续在前人的路上走下去，或者自己勇敢地开辟一条新 路，去更加接近量子论的本质。 【参考文献】 ： [1]刘连寿 [2]汪德新 [3]杨福家 《理论物理基础教程》 《量子力学》 （第三版） 《原子物理学》 （第四版） 北京，高等教育出版社 北京，科学出版社 2003 10 2008 08 2008 04 北京，高等教育出版社 [4]李政道著，朱允伦译 社 1992 10 《对称，不对称和粒子世界》 北京，北京大学出版 [5]陆埮，罗辽复 《物质探微，从电子到夸克》 北京，科学出版社 2005 07 [6]曹天元（Caopo） 《量子“物理史话”——上帝掷骰子吗》 沈阳，辽宁教 育出版社 2008 09