Dirac在讨论量子力学的理论时，引入了左矢量、右矢量两个对偶矢量空间．因为一个矢量的线性函数是一个数 ，意味着这个数 应该是右

Dirac在讨论量子力学的理论时，引入了左矢量、右矢量两个对偶矢量空间．给问题的

讨论带来很多方便。其左矢量的引入，他采用了如下的方法。考虑一个数 ，假定这个 是

右矢量IA)的线性函数，因为一个矢量的线性函数是一个数 ，意味着这个数 应该是右

矢量IA)与某种“新矢量”的标量积，而这种新矢量被地定义为左矢量

 

 

 

 

 

 

 

关于量子力学的两点注记

第六图书馆

本文就量子力学中的两个问题——态迭加原理和左矢量空间的引入,针对一些文献中的描述进行了分析和讨论,进一步明确指出态迭加

原理中迭加系数的形式,而对左矢量空间的引入提出了新的描述。本文就量子力学中的两个问题——态迭加原理和左矢量空间的引入

,针对一些文献中的描述进行了分析和讨论,进一步明确指出态迭加原理中迭加系数的形式,而对左矢量空间的引入提出了新的描述。

量子力学 态迭加原理 左矢量空间 迭加系数阴山学刊乔文华包头师范高等专科学校物理学系,内蒙古包头0140301999第六图书

馆

1999年1 2月

第15卷 第2期

阴山学刊

YIN SHAN ACADEMIC JOURNAL

Dec．1999

V O1．15 NO．2

关于量子力学的两点注记

乔文华

(包头师范高等专科学校物理学系．内蒙古包头014030)

摘要：本文就量子力学中的两个问题⋯态迭加原理和左矢量空间的引入，针对

一

 

些文献中的描述进行了分析和讨论，进一步明确指出态迭加原理中迭加系数的形式，

而对左矢量空问的引入提出了新的描述。

关键词：量子力学；态迭加；左矢量

中图分类号：O413．1文献标识码：A 文章编号：1OO4—1869(1999)06_-OO97一O3

1 问题1：关于态迭加原理的讨论

不同的文献 尽管对态迭加原理的描述有所不同，但其基本意思是一致的，即：如

果 是体系的一个可能状态， 是体系的另一个可能的状态，那么它们的迭加态 —c。

+c 也应该是体系的一个可能状态。而态 及 有“瞬时态”和“运动态”之分m，由此

产生的迭加态中的迭加系数也就有不同的要求，即迭加系数c(我们用c代表c。，c：等)

是含时的．还是一个与时间无关的常数。下面的讨论将明确在怎样的状态下 是一个常

数，怎样的状态下它可以是含时的。为了讨论方便我们用l 表示某-Be刻t一个体系的

瞬时态，而用： (￡)>表示体系的运动态。

1．1 先讨论运动态! ，)>的迭加

首先我们假设迭加系数c是时间的函数c(f)，设l (f)>与l纯(f)>是体系的两个不同

的可能态，因为每个可能态都应满足Schrodinger方程。所以有：

ih ：剐 (f)> (1)

ih ：Rj (f)> (2)

那么它们的迭加态I f)>：==(1 (，)I (f)+c2 I (f)>也应该满足Sehrodinger方程，

即：ih韭 ： 刚 (3)

展开得： h[ I (f)>+丝 I (f)>]+ h[c

，

 

(f) + c (f) = c。

(f)> ．，： ff) -FC2(f)H I (，)>

注意到(1)、(2)两式，由此可得

收稿日期：1999一lO一3O

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l ∽ + l ㈤一0 (4)

考虑到：l (f))一l仍( ，y，2，t)> l ff)>一l ( 。 ，2，￡)> ．

而C (￡)，C (￡)是两个仅与a~lh3有关的任意常数，则(4)式只有两种可能。

(I) l (￡))一C(￡))l (f)) 其中C(t)是一与时间有关的常数，这意味着在任一

确定的时刻l仍(￡))与l (f))描述的是同一状态，与假设不符。

(Ⅱ) 一3

了

cz(t)

一0 此即 C (￡)：C ， C ( )：：=C 是与时间无关的任意常

数。因此，对于运动态，迭加原理只能表述为l ，))一C l (￡)>+C。l仇(￡))

否则将是非线性的，这不符合Schrodinger方程的要求。

1．2 瞬时态的迭加

对于瞬时态I >，这时我们取定了时间z，对·一 特定的时刻来说，显然迭加系数C可

以含时，也可以是一个与时间无关的常数。

以上我们是从Schrodinger方程出发，讨论了要使迭加态满足这个方程的线性关系，

在两种不同的态中迭加系数应该采取的形式可能不同。反过来，如果我们从迭加原理的线

性要求出发，Schrodinger方程必须是线性方程。但是Schrodinger方程和态迭加原理从某

种意义上讲二者的地位是不一样的。因为若已知Schrodinger方程是一个线性微分方程，

那么它的任意有限个解的线性组合仍应是它的一个解，这就是所谓的态迭加原理。反过

来，从态迭加原理出发，只能断定态矢量满足的运动方程应是一个线性方程，而方程的具

体形式是不能确定的。由此可见，Schrodinger方程是比态迭加原理“更深刻更全面”的反

应了微观粒子的运动特征，态迭加原理可以作为Schrodinger方程的解的一个必然结果。

然而在实际情况中，因为态迭加原理突出地反应了经典理论与量子理论的区别，往往被作

为一个基本原理给出。

2 问题2：左矢空间的引人

Dirac在讨论量子力学的理论时，引入了左矢量、右矢量两个对偶矢量空间．给问题的

讨论带来很多方便。其左矢量的引入，他采用了如下的方法。考虑一个数 ，假定这个 是

右矢量IA)的线性函数，因为一个矢量的线性函数是一个数 ，意味着这个数 应该是右

矢量IA)与某种“新矢量”的标量积，而这种新矢量被地定义为左矢量。这就引入了左矢

量，在此基础上规定左矢量的加法，数乘及零左矢。然后假定这些左矢量与右矢量之间存

在一一对应关系。这实际借用了普通的代数矢量空间的概念。因为在那里，两个矢量的标

量积是一个数。这种方法引入左矢量有一点需要说明，数 既是右矢l>的线性函数，那么

如果我们事先没有任何规定，按照一般矢量空间的概念，它当然也可以作为两个右矢的标

量积，并非一定需要一个“新矢量”。事实上，我们知道这种标量积，即内积是取一个右矢

量和一个与右矢量相应的共轭量⋯- 左矢量作成。因为在两个右矢量之间一般不定义内

积的运算，这在文献“ 中做了说明。 ·

在文献“ 中直接利用矢量空间的定义给出了左矢量空间，使其中每个矢量与右矢空

间中的矢量一一对应，由此，左矢空间与右矢宅间是两个完全对偶的空间，这里直接规定

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两种矢量间没有加法，但是有内积运算，它们的内积对应一个复数C，而同一矢量空间中

的矢量无内积运算。有了上述定义后，关于右矢空间已知的各种法则都可以证明对左矢

间同样成立，无需再作规定。

我们设想这个定义还可进一步简化，定义一左矢量空间，规定一个它与右矢量空间的

对应法则：它的每一个矢量都与右矢量空间中的一个唯一的矢量相对应，即建立一个一对

一

 

的映射．对应法则是取右矢I)的厄米共轭，记作I)，称作左矢。同时我们定义一个内积与

一

 

个复数对应，即左矢I )与右矢I )的内积记为，( I )一C，而内积的运算满足下列条

件：

< i≯)=( I驴)。 (1)

( I + )一( I + ( I > (2)

( I口 )：< l )口

 

．

(3)

< I )>0 对任意I )≠ 10)成立。若< I )：0．则必有I )一l0> (4)

这样一个定义就使左矢空间与右矢空间建立在完全对等的地位上。

参考文献：

1 狄拉克．量子力学原理(M]．北京：科学出版社，1965

2 周世勋．量子力学[M]．上海：上海科学技术出版社，1961

3 张恒慈．量子力学简明教程(M]．北京：人民教育出版社，1979

4 喀兴林．高等量子力学(讲义)．1984

Two Annotating of Concerning Quantum Mechanics

Qiao Wenhua

(Depertnent of physics，Baotou Teachers’College，Baotou 014030，PRC)

Abstract：This article has tried to analyse and discuss that the description is found

in some literature about the two questions：the principlc of superposition of states and

the introduction of the left vector space．It pointed out clearly the forms of superposted

coefficients and proposed a new description of the left vector space．

Key words：Quantum mechanics；superposition of states；left vector

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