我们人的大脑可看成一个信息处理器,整个人类社会则构成了一个庞大的信息处理网络,在这个信息处理系统中,我们的知识和理论是什么呢?一

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abada 2010-12-17 00:15

态矢量的可视化几何分析（2）黎曼球面

接上个帖子。在上个帖子里，我们画出了希尔伯特空间中的右矢和左矢的对偶关系：
[url]http://fxkz.net/viewthread.php?tid=5873&extra=page%3D1[/url]

可视化的形象，可以帮助我们把抽象的公式形象化，例如在上个帖子里， 内积<ψ|φ>与<φ|ψ>为何为共轭复数,即<ψ|φ>=<φ|ψ>*，可以由图中一目了然，只需要中学复数的知识。


下面这个图，则对态矢量有更多的分析，并与量子力学联系更多了一些。

图中表示了系统态矢量与一个基矢及其所在的复平面的关系，态矢量与其他基轴的关系，可以凭此类推。

在图中同一圆锥面上的各个态矢量只是相位不同，但都被定义为是"方向相同"的态矢量，代表相同的量子态(它们形成同一个圆锥底面积，有相同的基矢态测得概率)。

图像中只画了一个基矢。态矢量与此基矢所在的复平面的那个夹角α就画出了态矢量与这个基矢的相对方向，类似一个方向角、欧拉角那样的东西。态矢量与完备的基矢组的各基矢都有一个类似的方向角。

[[i] 本帖最后由 abada 于 2010-12-17 19:10 编辑 [/i]]

abada 2010-12-17 00:45

黎曼球面

图中可以看出，，一个态矢量，需要方向、长度、相位三个指标才能完全确定。一个任意态矢量，要想变为另一态矢量，只有旋转之、拉伸之、转相位之三个办法。

1、一个实数r乘以一个态矢量|a>即r|a>，只能改变矢量的长度，对矢量的相位和方向都没有改变；

2、一个模为1的复数e^(ip)乘以一个态矢量，只能改变矢量的相位，对矢量的长度和方向都没有贡献；

3、一个复数re^(ip)乘以一个态矢量，能改变态矢量的长度和相位，但无法改变态矢量的方向。

4、一个态矢量，要想改变方向，只有用矩阵乘以之。

如果了解刚体力学的转动矩阵，就容易理解上述第4点。

我们把对态矢量的改变，叫一个操作，或叫算符操作，代数上就是用算符乘以这个态矢量。 算符可对应于矩阵，实数和复数都是特殊的算符。

在图中，态矢量如果方向和相位连续改变，则可以画出一个黎曼球面。

季候风 2010-12-17 02:09

你这两个帖子里错误很多。

abada 2010-12-17 02:33

回复 3# 的帖子

追求直观图形可能带来不严谨之处，我尽力兼顾了，如果先生看到问题，敬请指正为盼。

季候风 2010-12-17 11:32

1. 怎样定义态矢量的 ”方向“？
2. 一个态矢量乘以 -1. ”方向“ 是否发生变化？相位是否发生变化？
3. 线性变换只能是旋转、拉伸、用模1复数乘？
4. 算符对应矩阵？
5. 。。。。。。

几乎每一句话都是错的。

对不起，我没有时间在这里11纠正这些错误。我只是指出你的帖子里含有大量错误，避免你误导初学者。

abada 2010-12-17 12:26

1、 狄拉克《量子力学原理》第一章：

“在特定的时刻，我们系统的任何态也可以用一左矢量的方向来确定，就像用一右矢量的方向来确定一样”。

他没有定义什么是方向，可能无需定义，但可以知道 |A>与|B>方向不同，除非它们线性相关，即 |A> = c |B>,  其中c是不为0的复数。

2、一个态矢量乘以 -1.  方向显然不发生变化，根据第一条的回答即知。相位发生变化，与复平面中的复数矢量乘以-1类似的相位变化。彭罗斯在《皇帝的新脑》中画了个图说明这一点：态矢量对应物理态相当于只考虑其方向，在同一射线上就是同一物理态，甚至在同一直线上但射线方向相反的态矢量也对应相同的量子态。

3、包括它们的函数组合。我是这么理解。微分算符也可使态矢量变为另一态矢量，但一个态矢量与另一个之间，无非是改变了方向（我形象地叫旋转），改变了长度，改变了相位，以及它们的组合。矢量的方向改变，据我所知有三种等效的表示，复数算符表示（如果一个复数已经只用来表示态矢量的相位变化，则不能再用一个复数表示态矢量的方向变化了, 但[tex]\exp (i\widehat{p)}[/tex]
带有算符指数不算是一个复数）、矩阵算符表示、斜率(微分）算符表示。

4、为了形象直观，我说的暂时是分立谱，有对易的可观察量的完全集构成基矢的情况。连续谱和其他情况，则可以类推。

对易的一类可观察量完全集, 本征态对应完备的基矢，“任意线性算符可由一矩阵表示”。-------狄拉克书中就这么说的。

5.。。。。。

可能还会说，按数学书上说希尔伯特空间应是无穷维的，2维的怎么叫希尔伯特空间？ 但是我看到物理书上这么叫的很多。

[[i] 本帖最后由 abada 于 2010-12-17 15:30 编辑 [/i]]

星空浩淼 2010-12-17 12:34

1. 怎样定义态矢量的 ”方向“？
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如果楼主是指把态矢量用同一组基矢展开时，不同的展开方式对应态矢量不同的方向（从而“方向”由所有的展开系数来共同决定），那么他的理解就是对的。问题是，上面这些图，如何能体现这一特征？

楼主有画图的本领和工夫，尽量避免做无用功（我发论文最怕画图）。

量子力学很成熟。在图示方面，量子信息理论中有Bloch球的表示方式（对量子双态适用，本质上是SU(2)旋量的几何表示），但其中Bloch矢量，虽然是与态矢量对应的替代物，但已经不是态矢量本身。就好比密度算符也可以替代态矢量来描写量子力学，但是密度算符不是态矢量本身。即使你最后搞出正确的东西来，可能会发现原来是在重复前人的东西。

[[i] 本帖最后由 星空浩淼 于 2010-12-17 12:57 编辑 [/i]]

abada 2010-12-17 12:58

回复 7# 的帖子

如果楼主是指把态矢量用同一组基矢展开时，不同的展开方式对应态矢量不同的方向（从而“方向”由所有的展开系数来共同决定），那么他的理解就是对的。问题是，上面这些图，如何能体现这一特征？

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我图像中只画了一个基矢。态矢量与基矢所在的复平面的那个夹角α就画出了态矢量与这个基矢的相对方向，类似一个方向角、欧拉角那样的东西，当然只能是直观类比。

星空兄说的对，当态矢量与完备的基矢组的各基矢的相对方向全部确定时，态矢量的方向就确定了。

我还接着想（还没有确定），这个α 角的变化，可能与表象基矢的正则对应算符有关，例如基矢代表位置本征态，当动量确定时，若系统态矢量代表位置态，则α角是确定的。  但位置确定时，态矢量若代表动量态，则在位置基矢构成的表象中，α是不确定的，即绕黎曼球面旋转。

[[i] 本帖最后由 abada 于 2010-12-17 16:08 编辑 [/i]]

星空浩淼 2010-12-17 13:00

Bloch sphere

[url]http://www.google.com.hk/images?hl=zh-CN&q=Bloch+sphere&um=1&ie=UTF-8&source=univ&ei=3O8KTb7SGpGrrAeP2sjfCw&sa=X&oi=image_result_group&ct=title&resnum=3&ved=0CD4QsAQwAg&biw=1519&bih=701[/url]

abada 2010-12-17 14:45

矢量的方向改变，据我所知可以有三种等效的表示，复数算符表示（如果一个复数已经只用来表示态矢量的相位变化，则不能再用一个复数表示态矢量的方向变化了,但[tex]\exp (i\widehat{p)}[/tex]
带有算符指数所以不算是“一个”复数）、矩阵算符表示、斜率(微分）算符表示。

[[i] 本帖最后由 abada 于 2010-12-17 15:31 编辑 [/i]]

sage 2010-12-18 02:29

回复 1# 的帖子

不管这东西对不对，没什么意义。还是少浪费自己的时间和大家的时间为好。

abada 2010-12-18 13:14

我信奉“无图无真相”:) 意义是相对的，要看什么意义。如果这些图没有意义，那么彭罗斯《皇帝的新脑》中画的那些量子力学图解就更粗糙更没有意义了。

我最爱的几本书，欧几里得《几何原本》，牛顿《自然哲学的数学原理》，狄拉克的《广义相对论》和《量子力学原理》，爱因斯坦-闵可夫斯基的狭义相对论，都充满了形象思维，欧几里得和牛顿的书都是图形思维，狄拉克只是不会画图，但同样充满了形象思维。

如果没有欧几里得和牛顿的这两本名著，我就无法喜爱科学。如果没有狄拉克的书，我看其他人写的书，从来没有明白过广义相对论，量子力学到底在说什么。

我写的“黎曼几何与广义相对论”和类似主贴这些网文，都是在解读狄拉克的基础上，为之插图，使之更延续欧几里得-牛顿的形象思维风格脉络。使我自己和与我有同样偏好的人更容易理解。

是否喜欢这种风格，完全是看一个人的四维习惯。多数人不喜欢J.S.Bach的音乐，但对我而言却恰合口味一样。如果作者的风格与读者的思维偏好暗合，那么最能引起理解共鸣。

[[i] 本帖最后由 abada 于 2010-12-18 13:32 编辑 [/i]]

外星人 2010-12-28 19:53

说的不好请见谅.

1.我们人的大脑可看成一个信息处理器,整个人类社会则构成了一个庞大的信息处理网络,在这个信息处理系统中,我们的知识和理论是什么呢?一个概念一个定义可以说是这个信息网络的传输协义,我们所有的知识和理论包含着这个系统的信息处理规则和对自然界信息的加工存贮和编码等等.我们在这里分析和讨论问题,实际上是一个信息的网络处理模式.有时,有些信息的处理可以说是一种"单机模式",我们的大脑能指挥我们人正确的行走,准确的吃饭.再比如,有几个奇形怪状的容器装上水,一眼看不出谁多谁少,但是我们可以进行这样的一个操作:将它们倒到同一个容器比较一下就行了,可是现在的计算机却不能自主地完成这样的一个操作过程.英国一项最新研究说，在花丛中飞来飞去的小蜜蜂显示出了轻易破解“旅行商问题”的能力，而这是一个吸引全世界数学家研究多年的大问题.实际上,当我们打开地图,我们也能比较准确看出从A地到B地如何走更近些,虽然没有数学上的精确,但是蜜蜂和人同样地可以逼近一个答案,自然界的动物每天都在处理大量的信息,吃喝拉撒交配等,它们虽然没有我们人类的信息网络处理模式,但是它们对信息的一些处理模式,人类引以自豪的计算机也望尘莫及.
2.在理解一个概念一个定义或一个规律之前,我们需要那些无法用语言来表达的直观形象的思维模式,虽然有时直观思维包含着错误,举一个不恰当的例子:一个自旋为1的光子,把它按一个波长卷两圈,就成了一个乌比斯带,这仅仅是想象而已.有时一个公认的概念和定义也并不能帮我们理解一些新的问题和新的想法,举一个不符合公认概念和定义的例子:一个处于热平衡孤立的装在一个容器中的理想气体,热力学熵是不变的,信息也是守恒的.我们这样直观一下:把每个分子看成一个小球,给一个小球染上一种色,其它球与它碰一次就被染上这种色,这可以表示一次碰撞关联,那么,这种色扩散了,这种扩散代表着一种时间的方向,如果给每个球都赋与不同的色,随时间的推移,每一个小球都有着体现N次碰撞关联的色序,如果我们把这色和色序看成一种"信息",这种"信息"是不断增加的,当然这是不符合公认的信息定义.假如这样研究是有意义的,那么这种下定义前的思考也是很重要的.