邵錦昌:淺談 Stokes' 定理與電磁學1,2

来源: 于 2011-04-08 08:35:02 [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 本文已被阅读：次
淺談 Stokes' 定理與電磁學

邵錦昌
記錄：李啟鈴
 
 

今天我們所要討論的是一個跟數學與物理有關的題目，而這個題目如果從歷史上來看的話，它是來自於物理的，當然現在是屬於數學的範疇，我們現在就看一看。

 

1. Stokes'定理與 Gauss定理

 

第一個公式叫做Stokes'定理, 我們把它寫下來是這樣的一個公式:

 

\begin{displaymath}\oint_{c} \overrightarrow{A} \cdot d \overrightarrow{\ell} = ... ...s_S (\nabla \times \overrightarrow{A}) \cdot \hat{n}da \eqno(1)\end{displaymath}

 

上面這個公式, 一邊是線積分, 一邊是面積分, 所以我要假設各位已經有了線積分和面積分的基礎, 那麼這個公式是什麼意思呢? 就是說我們假設空間中有一個向量 $\overrightarrow{A}$ (如圖1) , $\overrightarrow{A}$ 是隨著空間的點在變, 不同的點上有一個不同的向量, 這樣的東西我們就叫做一個向量場。

然後，我們隨便畫一個曲線 C，那麼我們就可以把這個向量場沿著這個曲線去做線積分，積完以後我們就得到一個值，這個值是等於什麼東西呢? 假如在這個曲線上，我們拿出一塊布把它蓋起來。造一個曲面，而以這個曲線為邊界。我們現在就利用剛剛那個向量場來求一個叫做旋度(curl)的東西，它的公式是

 

 

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \mbox{curl}\overrightarrow{A} &=& \nabla ... ... \overrightarrow{A} &= & (A_1, A_2, A_3) \end{array} \eqno(2) \end{displaymath}

 

 

圖1

 

curl $\overrightarrow{A}$是由 $\overrightarrow{A}$導出的另一個向量場。其中$\hat{e}_1$是指x軸, $\hat{e}_2$是y軸, $\hat{e}_3$是z軸, $\overrightarrow{A}$在x、 y、 z軸上的三個分量, 我們分別表示為A1、A2、A3, 它們都是函數, 因為 $\overrightarrow{A}$ 是隨著 x、y、z 在變, 所以 A1、A2、 A3當然也是函數。這裡我們為了等一下的理由把x、 y、z 改寫成x1、x2、x3, 然後把 $\overrightarrow{A}$的分量A1、A2、A3 對x1、x2、x3 分別取導數, 再經過適當的運算,我們就得到一個由 $\overrightarrow{A}$ 所導出的向量場, 當然, 在每一個地方都有一個curl $\overrightarrow{A}$ , 我們把每一點的curl $\overrightarrow{A}$ 這個向量跟剛剛我們造的這個曲面當點上的法向量$\hat{n}$去做內乘(dot), 做完以後這也是一個函數, 在曲面上每一點都有一個值, 然後乘上曲面的面積元素da去做曲面積分, 所得到的結果和剛才的線積分相等, 這就是Stokes'定理。我們要注意一件事情, 這個曲面是任意的, 可以證明, 對於任意一個以這個曲線為邊界的曲面, 我們所做出來的積分值不變, 換句話說, 我們到底選擇什麼曲面並沒有關係。

底下我們再介紹另外一個定理, 我們叫做Gauss定理

 

\begin{displaymath}\int \; \int\limits_S\hskip -15pt \bigcirc\hskip .3cm \overri... ...\; \int\limits_V \nabla \cdot \overrightarrow{A} d^3 x\eqno(3)\end{displaymath}

 

我們還是一樣在空間中有一個向量場 $\overrightarrow{A}$, 然後我們現在選一個封閉的曲面S, 一個封閉的曲面就會包圍一個體積V(如圖2)

 

圖2

 

然後我們跟剛剛一樣在曲面上做曲面積分, 剛剛是用curl $\overrightarrow{A}$去做, 現在我們用 $\overrightarrow{A}$ 本身去做, 這個意義是完全一樣, 我這裡特別在積分符號上畫個圈, 只不過強調現在的S是一個封閉的曲面。我們現在看右邊, 右邊是利用 $\overrightarrow{A}$ 去做一個跟它相關的東西, 我們叫做散度(divergence), 用$\mbox{div}$ $\overrightarrow{A}$ = $\nabla$ $\cdot$ $\overrightarrow{A}$ 來表示, 剛剛我介紹的curl $\overrightarrow{A}$是一個向量, 現在所介紹的 $\mbox{div}\overrightarrow{A}$ 本身並不是一個向量, 而是一個數量函數, 它的定義是

 

\begin{displaymath}\mbox{div}\overrightarrow{A}= \nabla \cdot \overrightarrow{A}... ...A_2}{\partial x_2} + \frac{\partial A_3}{\partial x_3} \eqno(4)\end{displaymath}

 

這個函數在V裡面每一點都有一個值, 然後乘上d3x這個小體積去做體積分, 結果我們得到邊界上的曲面積分等於裡面的體積分, 這就是Gauss定理。

Stokes' 定理與Gauss定理會成立的原因, 其實就是微積分基本定理(Fundamental Theorem of Calculus), 微積分基本定理是這樣的一個公式:

 

\begin{displaymath}f(b)-f(a)=\int^{b}_{a}f^{'}(x)dx\eqno(5)\end{displaymath}

 

右邊是1-$\dim$的積分, 左邊是0-$\dim$, 如果我們有一個線段, 它有兩個邊界a和b, 那麼點算是0-$\dim$的東西, 所以左邊算是0-$\dim$ 的一個量, 微積分基本定理就是函數在這兩個點上的值的差f(b)-f(a) 等於在這個線段上的這個函數導數的積分, 當然這個定理各位都很熟悉, 而事實上這個定理也是在所有數學中最重要的一個定理。這個定理我們有各種各樣的變形, 可以將它推廣到高維空間上面。現在我們看Stokes' 定理, 左邊是1-$\dim$, 因為它是線積分, 在線上面做1-$\dim$的積分, 等於一個2-$\dim$的積分, 而這個1-$\dim$的積分區域是2-$\dim$積分區域的邊界, 我們剛才所定義的curl $\overrightarrow{A}$ 是 $\overrightarrow{A}$ 的一種導數, 所以右邊就變成一個函數導數的積分; Gauss定理也是同樣的道理, 所以這兩個定理只不過是微積分基本定理應用到1-$\dim$ 和2-$\dim$的關係、2-$\dim$和3-$\dim$ 的關係而已。其實這樣的定理有很自然的推廣,可以推廣到(n-1)-$\dim$和n-$\dim$的關係, 當然我們必須要知道如何把curl和divergence的觀念推廣到n維的情況, 推廣出去之後的定理通稱為Stokes' 定理。

淺談 Stokes' 定理與電磁學 （第 2 頁）

邵錦昌
記錄：李啟鈴

  
．原載於數學傳播第十八卷第四期
．作者當時任教於交大應數系
‧對外搜尋關鍵字
 
2. 三個電磁的實驗定律

 

我們這次討論的主要目的就是Stokes'定理與Gauss定理如何應用到電磁學上面, 然後得到電磁學的方程式, 就是Maxwell's equations, 所以我們來看一下電磁學在實驗上面、在觀察上面有那些基本的現象, 這些現象其實一共只有三個, 我們來看這三個實驗定律:

    
 
2.1. Coulomb定律

第一個實驗定律, 我們叫做Coulomb定律

 

\begin{displaymath}\overrightarrow{F}=q_1q_2 \cdot {\overrightarrow{r}\over r^3}\eqno(6)\end{displaymath}

 

 

圖3

 

Coulomb定律也就是說如果有兩個電荷q1和q2(如圖3), 這兩個電荷中間有吸引力或排斥力, 相同的電荷相斥, 不同的電荷就相吸, 然後這個力量的大小和q1q2成比例, 且和反平方1/r2成比例, 而r就是q1 和q2的距離, 方向是在兩點的連線上, 如果把方向表示出來的話, 就變成 $\overrightarrow{r}/r^3$ , q1、q2可正可負表示相斥或相吸。Coulomb 定律是在1785年左右, 由Cavendish 和 Coulomb 分別做實驗發現的現象, 所有的電磁現象的研究, 也就從這個年代開始。

    
 
2.2. Biot-Savart定律

第二個電磁現象, 我們叫做Biot-Savart 定律, 差不多是在1820年左右由Biot、Savart 及Ampere幾個人所發現的, 它的現象就是說, 假設有兩個線圈, 上面有電流通過, 一個是I1, 一個是I2(如圖4)

 

圖4

 

我們發現這兩個線圈中間也會有吸引力或相斥力, 這個現象我們叫做Biot-Savart定律。我們曉得電流是由電荷流動產生的, 這個力和庫侖力一樣也是由電荷產生的, 只不過它是由電荷的流動產生的, 雖然是由電荷產生, 但並不是電力, 而是一個新的力, 原因是如果我們把一個磁針放在線圈附近的話, 磁針會受到電流的影響, 產生偏移, 換句話說, 這個磁針會受到電流的作用力, 經由Biot、Savart和Ampere 等等長時間的研究後, 認為電流產生的力和磁針產生的力是同一性質的力, 並不是歸在剛剛我們所講的庫侖力, 這是一個新的力, 我們叫做磁力, 這個力的公式是這樣的:

 

\begin{displaymath}\overrightarrow{F}={I_1I_2\over c^2} \oint \oint {d \overrigh... ...rightarrow{\ell_1} \times \overrightarrow{r})\over r^3}\eqno(7)\end{displaymath}

 

這個公式要比當初庫侖定律複雜很多, 但基本上還是和反平方成比例。

   
 
2.3. Faraday定律

第三個定律叫做Faraday定律, 是在1831年由Faraday和Henry發現的。假設我們有一個線圈, 然後我們讓磁場(稍後定義)在這個線圈附近變動(如圖5)

 

圖5

 

比如把一個磁鐵放在這個線圈裡面移動的話, 我們便會發現線圈中有電流通過, 所以, 磁場的變動就會產生電流,當然經過實驗之後, 它也可以歸納出一個定律出來, 這個定律可以寫成這個公式:

 

\begin{displaymath}\oint_c \overrightarrow{E} \cdot d \overrightarrow{\ell} = -{... ...t \!\! \int\limits_S \overrightarrow{B} \cdot \hat{n}da\eqno(8)\end{displaymath}

 

其中 $\overrightarrow{E}$是指電場, 電場是由庫侖定律定義出來的。 $\overrightarrow{B}$是指磁場, 將於稍後定義。如果這個線圈裡面有一個磁場通過, 把這個磁場對以這個線圈為邊界的曲面做曲面積分, 如果 $\overrightarrow{B}$隨著時間變化, 當然積出來的量也隨著時間變化, 這時候, 這個變化率會產生電場, 這個變化率等於電場沿著線圈的積分值, 這就是 Faraday 定律。

這三個現象都是從自然界所發現的定律, 所有的電磁現象, 都是建立在這三個觀察現象上面(除了一點點重要的小修正外)。