超弦理论只有在10维时空才是自洽的,共形不变性是84年之后弦论研究的一个核心。我们前面说过，这种不变性不是时空中的对称性，而是弦

黎曼曲面不是镶嵌在高一维空间的，已经反映了所有维度, so it better makes sure all dimensions are included in the model

超弦理论只有在10维时空才是自洽的。要过渡要4维时空，我们就得将其中6维空间变成一个微观的紧致流形，而Calabi-Yau流形就是这样一种流形，且具备一个特点，能够将一个10维时空中的超对称破缺成4维时空中的超对称。过渡到4维时空之后，剩下的无质量场与具体的Calabi-Yau流形有关。后面我们要谈到，其实Calabi-Yau流形紧化只是做了第一步，要得到和现实世界接近的模型，还有几步要走，并且这些步骤是否是严格正确的也存在争论。至于Gross等人构造的两种杂化弦，当然是几种弦中的重要两种，即使85年没有被构造出来，相信很快也会被构造出来。

Calabi-Yau流形紧化起到的历史作用就是鼓励很多人投入到弦论研究中来，认为弦论不仅是一个自洽的量子引力理论，还和标准粒子模型很近。在1985年之后的两三年，用类似紧化的方式研究弦论的唯象文章很多，现在看来，这些文章虽然不是一无是处，但离真正的唯象还很远。杂化弦起到的历史作用和紧化类似，因为杂化弦在10维时空中只有一个超对称，紧化到4维也可以只有一个超对称，而所谓的II型闭弦就做不到这一点，至少在那个时候人们以为做不到这一点。杂化弦的另一个作用是将人们带出84年前的弦论的思维定势，因为人们开始认识到共形不变性才是弦论的一个工作原理（working principle），这样就可以构造出很多不同的弦论模型。

共形不变性是84年之后弦论研究的一个核心。我们前面说过，这种不变性不是时空中的对称性，而是弦运动起来的世界面上的对称性。非常令人惊讶的是，如果我们在世界面上要求共形不变性，那么时空中的场就不能是任意的。弦在时空中运动的时候，和这些场有耦合，这些耦合反映到世界面上就是给出不同的世界面上的场论。如果我们要求这个两维场论是共形不变的，那么时空中的场必须满足一些微分方程，在低能极限下（或者场的缓变极限下），这些微分方程就是场的运动方程。例如，时空中的几何，即度规，在两维面上的场论中决定标量场的运动学部分，共形不变性要求时空度规满足爱因斯坦场方程！所以，共形不变性成了弦论一次革命后的研究主题，这种研究热潮带来了几个研究领域的融合和交互影响：弦论，两维统计模型，可积系统。所以，如果我们事后为弦论是否是正确的理论争论时，不能忘记弦论带来的对其他领域的影响。