方程g的等高线正好是g(x,y) = c。想象我们沿着g = c的等高线走；因为大部分情况下f和g的等高线不会重合，但在有解的情

来源: marketreflections 于 2011-03-18 18:55:47 [] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 阅读数 : (7856 bytes)

the v-shaped cup sitting on  

20 dma (v adjusted 50 dmv), sina 03182011

两个场相互影响，低下的场，类似价带，上面的类似导带

http://blog.sina.com.cn/s/blog_5f15ead20100d9j1.html

拉格朗日乘子法

(2009-06-10 22:15:06)
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拉格朗日乘子法

 分类： 基础理论

         拉格朗日乘数法 是一种寻找变量受一个或多个限制的多元方程的极值的方法。这种方法将一个有n 变量与 k 约束的问题转换为一个更易解的n + k个变量的方程组，其变量不受任何约束。这种方法引入了一种新的标量未知数，即拉格朗日乘数：约束方程的斜率（gradient）的线性组合里每个向量的系数。

拉格朗日乘子法



 

图：绿线标出的是约束g(x,y) = c的点的轨迹。蓝线是f的等高线。箭头表示斜率，和等高线的法线平行。
介绍

先看一个二维的例子：假设有方程： f(x,y)，要求其最大值，且

g(x,y) = c; 

c 为常数。对不同dn的值，不难想象出

f(x,y) = dn

的等高线。而方程g的等高线正好是g(x,y) = c。想象我们沿着g = c的等高线走；因为大部分情况下f和g的等高线不会重合，但在有解的情况下，这两条线会相交。想象此时我们移动g = c上的点，因为f是连续的方程，我们因此能走到更高或更低的等高线上，也就是说dn可以变大或变小。只有当g = c和相切，也就是说，此时，我们正同时沿着g = c和走。这种情况下，会出现极值或鞍点。

用向量的形式来表达的话，我们说相切的性质在此意味着f和g的斜率在某点上平行。此时引入一个未知标量λ，并求解：

V[f(x,y)+λ(g(x,y)-c)]=0; 

且 λ ≠ 0.

例子

求此方程的最大值：

f(x,y) = x2y

同时未知数满足

x2 + y2 = 1

因为只有一个未知数的限制条件，我们只需要用一个乘数λ.

g(x,y) = x2 + y2 − 1
Φ(x,y,λ) = f(x,y) + λg(x,y) = x2y + λ(x2 + y2 − 1)

将所有Φ方程的偏微分设为零，得到一个方程组，最大值是以下方程组的解中的一个：

2xy + 2λx = 0
x2 + 2λy = 0
x2 + y2 − 1 = 0
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