黎曼积分与勒贝格积分

黎曼积分与勒贝格积分

(2010-10-02 14:03:15)

标签： 教育

分类： 工作篇

黎曼积分

　　如果函数f(X)在闭区间[a,b]上定义，而(P,ζ)是这个闭区间的一个带点分割，则和 　　σ(f；p,ζ):=Σ f(ζi)ΔXi 　　叫做函数f在区间[a,b]上对应于带点分割(P,ζ)的积分和，其中ΔXi=Xi-X(i-1) 　　存在这样一个实数I，如果对于任何ε>0可以找到一个δ>0，使对区间[a,b]的任何带点分割(P,ζ)，只要分化P的参数λ(P)<δ，就有|I-σ(f；p,ζ)|<ε，则称函数f(X)在闭区间[a,b]上黎曼可积，而I就成为函数f(X)在闭区间[a,b]上的黎曼积分。

 

 

 

勒贝格积分

将给定的函数按函数值的区域进行划分，作和、求极限而产生的积分概念，就是勒贝格积分。

概念简述

　　定义：设f (x) 是E ∈ L q(mE < ∞) 上的有界函数，则称f (x) ∈ L(E) ，如果 对任意ε > 0，必然存在E 的分划D，使 S(D, f ) -s(D, f ) = ΣωimEi<ε ，

　　这里S(D, f ) 及s(D, f )分别是f (x) 关于分划D 的大和及小和，ωimEi是Ei上的振幅。

　　它与黎曼积分的主要区别在于前者是对函数的函数值区域进行划分；后者是对函数定义域进行划分。

　　对此Lebesgue自己曾经作过一个比喻,他说:

　　假如我欠人家一笔钱,现在要还,此时按钞票的面值的大小分类,然后计算每一类的面额总值,再相加,这就是Lebesgue积分思想；如不按面额大小分类,而是按从钱袋取出的先后次序来计算总数,那就是Riemann积分思想。(参见:周性伟,实变函数教学的点滴体会,《高等理科教学》,2000.1)

　　即采取对值域作分划,相应得到对定义域的分划(每一块不一定是区间), 使得在每一块上的振幅都很小, 即按函数值的大小对定义域的点加以归类。

 积分介绍

　　积分是“和”的概念。即将东西加起来。所以积分早期是从面积，路程等计算中发展起来。比如计算面积，将X轴的区间分成若干小区间，将小区间的高度(Y值)乘以小区间的长度，然后加起来。用极限法就可以求得精确的面积。这是传统的积分概念(黎曼积分)。勒贝格从另一个角度来考虑积分概念，导致勒贝格积分和测度概念。比如计算面积，可以将小区间的高度(Y值)乘以对应的所有小区间的长度的和(测度)，然后加起来。又比如现有硬币：25， 25，10，5，10，1，5，25。用黎曼积分来求和：25+25+10+5+10+1+5+25=106。用勒贝格积分来求和：25*3+10*2+5*2+1=106。结果是一样。但对于一些“坏”函数，结果是不一样。比如在X轴[0，1]闭区间上定义函数：

　　Y=1，当X是无理数；

　　Y=0，当X是有理数。

　　求该函数覆盖的面积。

　　黎曼积分无法定义，因为任意小的区间都包含无理数和有理数。

　　用勒贝格积分来求和: 1*1+0*0 = 1。

　　[0，1]闭区间的长度(测度)是1；有限点集的长度(测度)是0；无限可数点集(如，有理数)的长度(测度)是0。而[0，1]闭区间的长度(测度) = 有理数集的长度 + 无理数集的长度。

　　所以，[0，1]闭区间的无理数集的长度(测度) 是1。这就解释了上述计算结果。

　　由此可见，勒贝格积分比黎曼积分广义。

　　很多数学概念和思想就是从貌似相同的概念和思想中推导出来。这启发我们在做研究时应从不同角度来考虑一些现有概念和理论，有时可能导致新的概念和理论。

 背景知识

　　黎曼积分的重要推广，分析数学中普遍使用的重要工具。

　　19世纪的微积分学中已经有了许多直观而有用的积分，例如黎曼积分（简称R积分）、黎曼-斯蒂尔杰斯积分(简称R-S积分)等。只要相应的函数性质良好,用这些积分来计算曲边形面积、物体重心、物理学上的功、能等，是很方便的。然而，随着认识的深入，人们愈来愈经常地需要处理复杂的函数，例如，由一列性质良好的函数组成级数所定义出来的函数，两个变元的函数对一个变元积分后所得到的一元函数等。在讨论它们的可积性、连续性、可微性时，经常遇到积分与极限能否交换顺序的问题。通常只有在很强的假设下才能对这问题作出肯定的回答。因此，在理论和应用上都迫切要求建立一种新的积分,它既能保持R积分的几何直观和计算上的有效，又能在积分与极限交换顺序的条件上有较大的改善。1902年法国数学家H.L.勒贝格出色地完成了这一工作，建立了以后人们称之为勒贝格积分的理论，接着又综合R-S积分思想产生了勒贝格-斯蒂尔杰斯积分（简称l－S积分）。20世纪初又发展成建立在一般集合上的测度和积分的理论，简称测度论。

 勒贝格

　　（1875～1941）Lebesgue，Henri Lon

　　法国数学家。1875年6月28日生于博韦，1941年7月26日卒于巴黎。1894～1897年在巴黎高等师范学校学习。1902年在巴黎大学获得博士学位，从1902年起先后在雷恩大学、普瓦蒂埃大学、巴黎大学文理学院任教。1922年任法兰西学院教授，同年被选为巴黎科学院院士。

　　勒贝格的主要贡献是测度和积分理论。他采用无穷个区间来覆盖点集，使许多特殊的点集的测度有了定义。在定义积分时他也采取划分值域而不是划分定义域的办法,使积分归结为测度,从而使黎曼积分的局限性得到突破，进一步发展了积分理论。他的理论为20世纪的许多数学分支如泛函分析、概率论、抽象积分论、抽象调和分析等奠定了基础。利用勒贝格积分理论,他对三角级数论也作出基本的改进。另外,他在维数论方面也有贡献。晚年他对初等几何学及数学史进行了研究。他的论文收集在《勒贝格全集》。^[1]

 

 

 

本文将从积分的定义，可积函数的连续性，积分的可加性，积分极限定理，牛顿—莱布尼兹公式五个方面进行分析比较，指出黎曼积分与勒贝格积分的区别。

黎曼积分是数学分析中的重要内容，勒贝格积分是实变函数论中的主要内容。就可积函数的范围来看，勒贝格积分比黎曼积分更广泛。这两种积分既有密切的联系，又有本质的区别。若函数在上黎曼可积，则它必在上勒贝格可积，且有相同的积分值，但勒贝格可积不一定黎曼可积。在教材及参考书中，有关黎曼积分与勒贝格积分的区别的内容讲的很少，也缺乏条理性和系统性，而由黎曼积分过渡到勒贝格积分，理解起来也有一定的困难。本文将从积分的定义，可积函数的连续性，积分的可加性，积分极限定理，牛顿—莱布尼兹公式五个方面进行分析比较，指出黎曼积分与勒贝格积分的区别。为便于叙述，我们只考虑上有界函数的积分。

一．定义

（一）黎曼积分的定义

1．黎曼积分是建立在黎曼和的基础上的，因此简单说明黎曼和的概念。

区间[a,b]上有定义的实值函数f，关于取样分割   ，  黎曼和定义为和式中的每一项是子区间长度 在 处的函数值的乘积。直观地说，就是以标记点到轴的距离为高，以分割的子区间的长的矩形的面积。

2．黎曼积分：有了黎曼和得定义，我们不难想象，黎曼积分就是当分割越来越“精细”的时候，黎曼和趋向的极限，当分割越来越细的时候，[ ]中的函数值才会与接近,矩形面积的和与“曲线下方的面积差也会越来越小。总结起来，也就是分割，取界点，做积，求和，取极限。

   面给出黎曼积分的严格定义：

   设是定义在区间[a,b]上的一个函数，是一个确定的实数，若对任给的正数，总存在某一个正数，使得对[a,b]上的任何分割T,以及在其上任意选取的点集 ，只要 ＜，就有

＜

   则称函数在区间[a,b]上是黎曼可积，数 成为在区间[a,b]上的定积分或黎曼积分。记为 = ，那么就有 = =

（二）勒贝格积分的定义

      积分是现代数学中的一个积分的概念，它将积分运算扩展到任何测度空间中，因此我们先要了解什么是外侧度？什么是可测集？

1.     外侧度：设{ }(k=1,2,… …)是有限或可数个开区间，这些开区间覆盖了E，由{ }(k=1,2,… …)决定了一个非负广义实数u= ,一切这样的u是下有界的，所以有下确界，把这个下确界称为集E的外侧度，记为 ，即 = .

2.     测度 可测集

设集E ，偌对任意集X ，都有

X= (X )+ (X )

则称集E是可测集，这时把称为集E的测度,为mE。

3.     勒贝格积分：

（1）非负简单函数的积分：设E为中的一个可测集，mE<+ ,f在E上几乎处处有界, { }，(i=1,2… …m.)为E的一个分化，（i≠j）,而且可测， ， 。上和为 ,下和为 。下积分： { ，任一个分划D }，上积分 { ，任一个分划D}。若 = ，则称f在E上勒贝格积分存在，记为 。若 ＜+∞,则称f在E上勒贝格可积。

   （2）非负可测函数的积分：设f(x)是可测集E 上的非负可测函数，{ }是收敛于f(x)的非负上升简单函数列。称为f(x)在E上的勒贝格积分值，记为。若积分值有限，则称f(x)在E上勒贝格可积。

    （3）设f(x)是定义于可测集E 上的可测函数，如果 不同时为∞，则称 = 是f(x)在E上的勒贝格积分值，若积分值有限，则称f(x)在E上是勒贝格可积。在E上可积的全体函数记为L（E）.

从这两种积分的定义可以看出，它们的主要区别是：黎曼积分将给定函数的定义域分小而产生的，而勒贝格积分是划分函数的值域而产生的。前者的优点是的度量容易给出，但当分法的细度充分小时，函数在上的振幅仍可能较大；后者的优点是函数在上的振幅，但一般不再是区间，而是可测集。其度量的值一般不易给出。然而就是这一点点差别，使这两种积分产生了本质的区别，使勒贝格积分具备了很多为黎曼积分所不具有的良好性质，这些性质从以下几点讨论中我们将会看得更清楚。我们将会看到，勒贝格积分比黎曼积分的应用范围更广泛，使用起来更方便。由此可见，比起黎曼积分来，勒贝格积分是向前迈了一大步。

二．可积函数的连续性

1．连续函数必是黎曼可积函数，当然也必是勒贝格可积函数，但黎曼可积函数不一定是连续函数，比如只有有限个第一类间断点的函数是黎曼可积的。那么具备怎样性质的函数是黎曼可积的呢？勒贝格给出了黎曼可积的一个比较好的充要条件。它将函数的可积性归结到了函数的内在性质—连续性上，使得我们对黎曼可积函数的本质看得更清楚。这个可积条件是：函数在上黎曼可积的充要条件是在上一切间断点构成一个零测度集。这说明黎曼可积函数是几乎处处连续的。

例如黎曼函数这个函数在所有无理点处是连续的，在有理点处是不连续的。虽然在中有无穷多个有理点，即黎曼函数

X=   ,当x=  (p,q   为既约分数)

R(x)=

 

X=0   ，当x=(0,1)及（0，1）内的无理数）

 

仍然是黎曼可积的，且积分为0。事实上黎曼函数的全体有理数点组成一个零测度集，所以黎曼函数是黎曼可积的。

 2. 现在再来看勒贝格可积函数具有什么样的性质。设f是可测集E上的连续函数，则在E上勒贝格可积的充要条件是在E上勒贝格可测。对于函数来说，可测集上的连续函数是可测函数。特别地，有限区间上的连续函数是可测函数。对于几乎处处连续的函数，它显然几乎处处等于一个连续函数，而几乎处处等于一个可测函数的函数也可测，所以一个几乎处处连续的函数在有限区间上是可测函数。从以上我们也可以看出黎曼可积则必是勒贝格可积。那么勒贝格可积函数的连续性是怎样的呢？它与黎曼可积函数的连续性的区别在哪里？我们有下面的鲁津定理：

若mE<+∞,f(x)集E上几乎处处有限的可测函数，则对于任意的 >0,有闭集F E，满足m(E­－F)< ,而f(x)在F上是连续的。

从这个定理可以看出，在可测集E上几乎处处有限的可测函数是基本上连续的，或称为是近于连续的。因此勒贝格可积函数是近乎连续的。对应于黎曼可积函数的情形，例如狄利克雷函数

0  ，x为有理数

                 D(x)=

1  ，x为无理数

 

显然是有界函数，但在定义域上无处连续，所以不是黎曼可积的,但它是勒贝格可积的。通过上面的讨论，黎曼积分与勒贝格积分的区别也就不难看出了。

三．积分的可加性

   这里所说的可加性，指的是积分区域的可加性。黎曼积分具有有限可加性，即如果函数f在区间[a,c]和[c,d]上都可积，那么f在区间[a,b]上也可积，并且有。但黎曼积分没有可列可加性，即设f(x)在E上可积，E= ,(i≠j),每个 都可测，则有 = 。对于勒贝格积分，它不仅具有有限可加性，而且还具有可列可加性。

克服了黎曼积分的缺陷。对于这两种积分的可加性，究其原因，我们将不难理解。我们知道，黎曼积分建立在区间之上，勒贝格积分建立在勒贝格测度之上，而区间只具有有限可加性，勒贝格测度具有可数可加性，由于它们之间的密切联系，区间和勒贝格测度的性质也就反映到了相应的积分上来了。

四．积分极限定理

在这一方面，对于黎曼积的积分与极限交换问题不能顺利解决，就大大降低了黎曼积分的效果。在勒贝格积分范围内对于这个问题得到了比在黎曼积分范围内远为完满的解决，这正是勒贝格积分的最大成功之处。对于勒贝格积分，有如下的勒贝格控制收敛定理：

设{f(x)}是E上的可测函数列且几乎处处收敛于f(x)，如果存在非负可测函数F(x),使，则所有的 都可积，并有

这也叫做勒贝格积分的有界收敛定理。与黎曼积分的有界收敛定理相比，显然条件宽松得多，从而使我们又一次看到了勒贝格积分相对于黎曼积分的优越性。

五．牛顿—莱布尼兹公式

1.内容：如果F(x)使连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则

2.重要性：牛顿—莱布尼兹公式以其在微积分中的重要性要被称为微积分基本定理，该定理表明，一个连续函数在区间[a,b]上的定积分在于它的任一个原函数在区间[a,b]上的增量，求定积分问题转化成求原函数问题，微积分基本定理又可以写成，所以该定理沟通了函数和定积分这两个从表面看去似不相干的概念之间的内在联系，同时也证明了“连续函数必有原函数”这一基本结论。那么是不是所有的积分都适用于牛顿—莱布尼兹公式呢？以下我们主要讨论黎曼积分与勒贝格积分在该定理中的应用。

3.R积分中的牛顿—莱布尼兹公式

 若f(x)在区间[a,b]连续，积分上限函数F(x)= 于[a,b]可导，且，有

4. L积分中的牛顿—莱布尼兹公式

若F(x)在区间[a,b]上是绝对连续函数，则

积分运算是微分运算的逆运算。显然，在微积分基本定理中，必须是可积的。在黎曼积分范围内，积分运算只是部分地成为微分运算的逆运算，这就大大限制了微积分基本定理的应用范围。对于勒贝格可积函数，同样有积分运算并不完全是微分运算的逆运算，当存在时，不能保证 L可积；即使 L可积牛顿—莱布尼兹公式也未必成立，在L积分范围内对于绝对连续的被积函数，保证了牛顿—莱布尼兹公式成立，L积分没有很好地解决微分于积分互异的问题，

但是针对黎曼积分有了很大的改进