流体中文网应力（张量） “把固体切开，其内部的力才暴露出来” “切的方向不同，表面上的力也不同” 给定方向，就能得到表面

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计算流体力学

李新亮

lixl@imech.ac.cn

Tel: 82543801

力学所主楼219

参考数目：傅德薰等：《计算流体力学》，《计算空气动力学》

阎超：《计算流体力学方法及应用》

任玉新等：《计算流体力学基础》

讲义、课件上传至 www.cfluid.com (流体中文网） -> “流体论坛” ->“ CFD基础理”

本PPT的版权为作者李新亮所有，作者将本PPT公布至“流体中文网”，供各位相关领域师生使用。

如在论文、报告、专著中使用本PPT的内容，请务必进行标注。

致谢：

本感谢清华大学任玉新教授提供的清华大学《计算流体力学》课程PPT. 本讲义（主要是第一讲）中采用了任玉新教授PPT的部分素材，特此表示感谢。

第1讲 流体力学基本方程

计算流体力学(CFD) 的概念及意义
流体力学的基本方程
偏微分方程组的类型

重点:

了解N-S方程的由来及物理含义，熟练掌握N-S方程

了解偏微方程的基本类型

1. 计算流体力学的基本概念

计算流体(动)力学
Computational Fluid Dynamics 简称CFD

“计算流体力学是通过数值方法求解流体力学控制方程，得到流场的离散的定量描述，并以此预测流体运动规律的学科”。

第一章绪论

流动控制方程

理论解

（解析解）

精确解： Poiseuille解，

Blasius解， Plantdl 湍流边界层解

渐进解、近似解：

Stokes解

数值解

差分法、 有限体积法、边界元法、谱（元）方法、 粒子方法 ……

借助计算机来实现数值求解
在计算机产生之前，数值方法已然产生

Mach10

正激波

平板

60°

方程复杂（非线性偏微方程组）， 解析解很难获得

连续解

微分方程

↓

网格划分

数值方法

↓

解的离散表示

代数方程

↓

离散方程求解

数值计算

↓

离散点上的数值解

Mach10

正激波

平板

60°

计算流体力学(CFD): 在航空航天领域得到广泛应用

● 1970 年代，飞机设计主要依赖风洞实验

YF-17研制，风洞实验13,500小时

● 1980年代，CFD逐渐发展，部分取代实验

YF-23，风洞实验5,500小时，CFD计算15,000机时

YF17

YF23

YF17

● 90年代， CFD 在飞机设计中发挥了主力作用

波音777， CFD占主角

● 2000 之后， CFD 取代了大部分风洞实验

波音787：全机风洞实验仅3次

波音787

波音777

● 航天领域，CFD发挥着实验无法取代的作用

实验难点：复现高空高速流动条件

CFD 面临的挑战及主要任务：

多尺度复杂流动的数学模型化;

湍流的计算模型；

转捩的预测模型；

燃烧及化学反应模型；

噪声模型……

可处理间断及多尺度流场的高分辨率、强鲁棒性、高效数值方法；

高精度激波捕捉法；

间断有限元法;

……

可处理复杂外形、易用性强的算法；
复杂外形—— 网格生成工作量大

多块分区算法；

无网格法； 粒子算法；

课程安排

流体力学基本方程
双曲型方程组及其特性
差分法 （1）： 差分方法的数学基础
差分法 （2）： 差分格式的构造及分析
可压缩流体力学方程组的离散方法
激波高分辨率差分方法
代数方程组的求解
不可压方程的数值方法
网格生成技术
并行计算的MPI编程初步 （Part 1, Part 2）
湍流的计算方法 （1）： RANS
湍流的计算方法（2）：LES及DNS; 计算声学初步
常用CFD软件（Fluent）及可视化软件（Tecplot, AVS）介绍
案例教学 (1)
案例教学 （2）

§ 1.1 流体力学基本方程组

连续介质假设；

宏观守恒律： 质量守恒、动量守恒、能量守恒

考虑任意控制体; 计算dt 时刻内流出的质量

控制体

（1）

1）质量守恒律

单位时刻表面微元ds的流出质量为：

总质量流出为

根据质量守恒： 控制体内质量的增加=流入控制体的质量

第二章 流体力学基本方程及其数学性质

1. 基本方程的推导

基本概念: 随体导数

（Euler型）控制体特性： 不运动、不变形

控制体的任意性

2） 动量守恒律

单位时刻内，流出面元ds的动量为：

总流出动量为:

根据动量守恒：

外力的合力：

质量力：

表面力：

控制体内的动量增加=流入的动量+表面力的冲量+体积力的冲量

根据本构方程（广义牛顿粘性定律）

通常情况下：

基本概念： 应力 （张量）

“把固体切开，其内部的力才暴露出来”

“切的方向不同，表面上的力也不同”

给定方向，就能得到表面力

普通的线性应力-应变关系：

各向同性假设

静止流体应力张量保持各向同性（帕斯卡定律）： 静止流体：

：静止部分+运动部分

通常情况下，第二粘性系数（膨胀粘性）可忽略

3）能量守恒律

单位体积内流体的总能量=动能+内能

流出的体积dV带走的能量

外力做功

质量力：

表面力：

热传递：

控制体内的能量变化=流入的能量+表面力做功+体积力做功+传入热量

Fourier传热定律：

最终N-S方程组为：

也可写成如下分量形式（《计算流体力学》2.1.1 ）

补充状态方程：

2. N-S方程的无量纲化

采用无量纲方程的优缺点
无量纲方式可以任意

出现的无量纲参数：

作业： 推导N-S方程的无量纲化形式

不同的无量纲方式得到的方程的形式不同

无量纲状态方程：

3. N-S方程的简化

1）不可压情况下

2）无粘情况下（Euler方程）

通常：

变形：

假设粘性系数为常数（温度变化较小的情况）

§ 2.2 偏微方程的分类及特征

1. 一阶偏微方程

采用特征线法，可转化为常微分方程

考虑曲线G:

显然，沿着该曲线G有：

如果该曲线G满足：

则有：

偏微方程在特征线上变成了常微分方程

特征线

特征相容关系

特例：常系数线性单波方程

特征线G ：

特征关系式：或

扰动沿特征线以有限速度传播的方程称为“双曲型”方程

基本特征： 扰动以有限速度传播  局部依赖关系 --> “ 依赖域”、 “影响域”

2. 一阶常系数偏微方程组

如果矩阵A 可以被对角化：

令：

有

即：

m个方程完全解耦， 可独立求解

有m 条特征线：

m个特征相容关系式：

如果矩阵A能够（相似变换）对角化，则原方程是双曲型的

如果矩阵A 具有m个实特征值， 这些特征值共具有m个线性无关的特征向量， 则称为双曲型方程

一阶拟线性偏微分方程组和m条特征线上的m个特征相容关系（常微分方程）等价。

如果A的特征值为m重根，而且对应的独立特征向量数小于m，则称为抛物型方程。
如果其A的特征值均为复数，则称为椭圆型方程

组合情况：

双曲-椭圆型

双曲-抛物型

思考题： 如果A为变系数情况？

3. 高阶偏微方程—— 可转化为一阶方程组

原方程化为一阶方程组：

转化为一阶偏微方程组

矩阵

特征方程（3）有两个互异实根 -> 矩阵A可对角化 -> 双曲型

特征方程（3） 有两个相同实根，且无法对角化 -> 抛物型

特征方程（3）无实根 -> 椭圆型

对于变系数情况， 局部讨论

4. 讨论Euler方程组

作业题1-1：给出A, S,S^-1 , 的具体推导过程

将矩阵A对角化

一维非定常Euler方程转化为三个单波方程

扰动波分别以速度 传播

一维非定常流动：

二维非定常Euler方程组

作业题： 判断二维定常Euler方程的类型（双曲、抛物、椭圆）

二维定常Euler方程

§ 2.3 模型方程及其数学性质

简化的模型方程：

线性单波方程—— 最简单的双曲型方程
热传导方程—— 抛物型
Laplace方程——椭圆型
Burgers方程——混合型

目的：通过简化模型方程，研究流体力学方程组的数学性质及计算方法

偏微分方程的分类：

椭圆型

抛物型

双曲型

1. 线性单波方程

方程的精确解：

含义：以常速度c向右传播。波形，振幅保持不变

c>0 扰动波向右传播：

左端(A)需要给定边界条件；

右端(B)只能被动接受，无法给定边界条件

（即使给定，对计算域也无任何影响, 且造成B端的非适定性）。

c<0 扰动波向左传播：

右端(B)需要给定边界条件；左端(A)无需给定

线性单波方程的边界条件:

对于初值问题，如果微分方程解的定解域中存在、唯一、且连续依赖于初始值，则称数学问题的提法是适定的。

对流方程的典型模型

x_^a

x_^b

1)波动方程有两条特征线和两个特征相容关系；每个特征相容关系携带了偏微分方程的部分信息，在相应的特征线上传播，信息传播的速度就是相应特征值。

特点:

2)两条特征线上的特征相容关系综合起来，和原来的偏微分方程是等价的。利用特征相容关系和初始值，我们可以得到波动方程初值问题的解。这种求解双曲型方程的方法称为特征线法。

x_^a

x_^b

4)边界条件

边界条件个数=边界处指向求解域内的特征线条数

5）时间变量的单向性

2. 热传导方程—— 抛物型方程

精确解：

特点：扰动解瞬时传遍整个计算域

扩散方程的典型模型

抛物型方程特点

由于抛物型方程独立的特征向量数少于特征值数，因此，特征相容关系所包含的信息少于原抛物型偏微分方程的信息，即抛物型方程不可能用特征线方法求解。
依赖域。由于特征相容关系的个数少于拟线性方程组未知量的个数，抛物型方程不存在有限的依赖域。因此，每一的解依赖于 整个求解域。
抛物型方程的特征值均为实数，时间变量（或类似时间变量）有单向性，可以用推进的方法求解。同双曲型方程一样，抛物型方程也是发展型方程。

3. Burgers方程

对流-扩散方程

精确解：

含义： 扰动波既下下游传播，同时进行扩散

4. 椭圆型方程：Laplace方程

椭圆型方程特点

椭圆型方程由于其特征值均为复数，所以，特征线、相容关系等均无定义；不能沿某一方向推进求解（必须整个求解域同时求解）；
椭圆型方程不存在有限的影响域和依赖域，或者说，任何一点的影响域和依赖域都是整个求解域；
椭圆型方程只能提边值问题。
在物理上，椭圆型方程对应着一种稳态平衡的过程，称为平衡方程。

椭圆型方程边界条件的提法：

第1类边界条件（ Dirichlet问题）

第2类边界条件（ Neumann问题）

第3类边界条件（ Robin问题）

作业

推导无量纲的Navier-Stokes方程

对于一维Euler方程组

推导Jocabian矩阵

以及中的表达式。

要求：给出具体推导过程，切忌从书上抄录公式

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