回复：当度规矩阵为单位矩阵时,参照系为局域惯性系,在其适用的局域范围内引力场强度为零.经非线性坐标变换后,单位度规矩阵变成非单位

引力、熵力和暗能量 李淼 中国科学院理论物理研究所 2010.06.03 2010年9月12日星期日 2010年9月12日星期日 2010年9月12日星期日 2010年9月12日星期日 本报告介绍Erik Verlinde最近的工作： On the Origin of Gravity and the Laws of Newton arXiv:1001.0785v1[hep-th] 以及一些后续讨论暗能量的工作。 2010年9月12日星期日 很久以来，一直有人怀疑万有引力不是基 本的，是一种宏观现象。 例如，Ted Jacobson在 Thermodynamics of Spacetime: The Einstein Equation of State arXiv:gr-qc/9504004v2 用类似黑洞热力学的办法推导了爱因斯坦 方程 2010年9月12日星期日 Verlinde在他的工作中指出，不仅引力本 身，惯性和质量其实也是一种宏观现象。 用文字来表达他的结果，就是： 1 1、引力是熵力。 2、加速度与熵的梯度有关，所以惯性是 无熵梯度的表现，质量与bits数成正比。 3、牛顿势是熵与bits数的比例。 2010年9月12日星期日 什么是熵力？ 例子：虎克定律中的弹性力就是熵力。 2010年9月12日星期日 在微正则系综中 有 或热力学第一定律 2010年9月12日星期日 引力 Verlinde假设 m 2010年9月12日星期日 所以，根据第一定律： 利用Unruh公式 得牛顿第二定律 2010年9月12日星期日 问题：Unruh公式是量子场论推出的，不用 如何？ 答案：不用Unruh公式，但假设全息原理， 可得牛顿万有引力公式。 在球面上，假设bits数（自由度数）： 2010年9月12日星期日 由 推得 代入 得 2010年9月12日星期日 总结： 1、基本假设 加Unruh公式 推出牛顿第二定律 2、基本假设 加全息假设 推出牛顿万有引力 2010年9月12日星期日 问题：在熵变的基本公式中，Planck常数 出现，在Unruh公式和全息假设中，Planck 常数也出现，但牛顿第二定律和万有引力 公式是经典的，所以Planck常数相消。 我们可以用任何其他常数代替Planck常 数，结论不变，所以量子力学不是必须 的，虽然量子力学是隐含的。 2010年9月12日星期日 惯性和牛顿势 考虑将一个质量为m的粒子“融入”全息屏。 根据能量均分原则，有 其中n是描述m需要的bits数。由于m是固定 的，T越低，需要的n越大。 2010年9月12日星期日 的确，在远离大质量物质M的地方，T较 低： 利用基本假设 式，可得 和Unruh公 2010年9月12日星期日 这个公式 的右边是描述该粒子的每个bit所带的熵， 我们可以直观地想成每个bit的受激程度。 方程右边已与Planck常数无关。 2010年9月12日星期日 引入牛顿势 得 这个结果很重要，说明每个bit的熵与牛顿 势成正比。 2010年9月12日星期日 将变分符号去掉 我们可以这样解释上面公式：牛顿势（绝 对值）越大的地方，bit的效率越高。对于 固定的系统，熵是固定的，所以牛顿势大 的地方，bits数少，被粗粒化得更多 （IR）。 很类似AdS/CFT中的UV/IR关系。 2010年9月12日星期日 有趣的是，量 的取值范围是0到1。 在黑洞视界上，这个量最大，所以粗粒化 最厉害，或者说bits的效率最高。 在无限远处，这个量最小，bits的效率最 低，这是UV极限。 2010年9月12日星期日 一般的质量分布 引入牛顿势，自然就可以考虑一般的质量 分布了。我们无非要导出Poisson方程。 考虑等势面，并将等势面看成全息屏 2010年9月12日星期日 2010年9月12日星期日 现在，取代Unruh公式，我们假设： 以及全息假设： 2010年9月12日星期日 能量均分原则是 得 2010年9月12日星期日 用Stokes定理，我们推出： 注意，和前面导出牛顿公式不同，我们没 有用到熵变的基本假定，那里用熵变是为 了推出作用在试验粒子上的力，而不是 Poisson方程。 2010年9月12日星期日 最后，稍微复杂地是推导作用在试验粒子 上的力，这和前面推出牛顿万有引力公式 类似。 这里不复述。 2010年9月12日星期日 等效原理和Einstein方程 前面是非相对论引力的讨论，虽然出现了 光速甚至Planck常数。 要推广到一般情形，先从静态引力场开 始。在这个情况下，存在time-like Killing vector 2010年9月12日星期日 定义推广的牛顿势 加速度的推广是 2010年9月12日星期日 考虑等势面，此时加速度与等势面垂直。 定义温度 熵变假设为 2010年9月12日星期日 从热力学第一定律得熵力公式 这确实是静态引力场中的正确公式。 2010年9月12日星期日 要获得Einstein方程，和推导Poisson方程 一样，我们需要全息原理 和能量均分 2010年9月12日星期日 所以 由于牛顿势与Killing vector有关，故 2010年9月12日星期日 用Stokes定理和 得 2010年9月12日星期日 即使取任意曲面，我们只能得到和Killing vector 有关的方程。 要去掉Killing vector，我们可以利用局域的 任意坐标系中的任意Killing vector （很多 局域惯性系），这样我们就获得Einstein方 程。 2010年9月12日星期日 讨论 由此看来，引力确实是熵力，即非基本 的。 我想第一个问题是，引力要量子化吗？ 我觉得可以量子化，如同声子要量子化一 样。 2010年9月12日星期日 从AdS/CFT来看，引力一边是闭弦理论， 如果引力是emergent的，那么闭弦也应该 是。 （我过去曾认为闭弦可以从非对易几何得 到，也许两者有关联） 2010年9月12日星期日 QCD，一些凝聚态物理系统对应于引力， 引力也应该是作为熵力出现的。 也许并不存在更加细致的全息原理，否则 我们无法解释为什么很多凝聚态系统也诱 导引力。 2010年9月12日星期日 最后，我们问，空间并不完全是emergent 的，我们还需要等势面，在这些面上有一 些bits。 如果我们假想所有空间都是emergent的， 我们需要考虑这些bits如何导出。 2010年9月12日星期日 另外，引力既然是熵力，为什么Einstein方 程，特别是Friedmann方程，是时间反演不 变的？ 如何理解Penrose问题（宇宙初始时刻熵最 小） 2010年9月12日星期日 全息暗能量 首先，我们问，熵力的想法能将暴涨宇宙 和近期宇宙加速纳入吗？ 回答： 1、暴涨宇宙是局域的，纳入有困难。 2、晚期加速可以是整体的，可以纳入。 2010年9月12日星期日 1、暴涨宇宙的困难 按照能量均分原则 任意一个区域的能量应该是正的。 2010年9月12日星期日 但是，如果我们需要导出Einstein方程，就 必须用 方程左边是所谓Tolman-Komar质量，取时 间分量，正比于 ，对于暴涨模型，这 是负的。 2010年9月12日星期日 所以，要么温度T必须负的，要么dN是负 的。我们肯定无法选择后者。 那么，可以找到负温度的系统吗？回答是 可以，一个含有有限个能级的系统可以有 负温度。 但是，这个推广有两个问题： a 如果系统内还含有物质，其对应的温度是 正的，我们需要引入两个温度。 2010年9月12日星期日 当试验粒子融入屏幕时，变成了正温度的 bits还是负温度的bits? b 如果试验粒子变成了负温度的bits，就会 贡献负能量，破坏能量守恒。 所以，目前无法将暴涨模型纳入熵力框 架。 A No-go Theorem Prohibiting Inflation in the Entropic Force Scenario Miao Li, Yi Pang arXiv:1004.0877 2010年9月12日星期日 我和王一的文章 arXiv:1001.4466 建议用整体宇宙视界作为解释暗能量的屏 幕。所以，在推到Einstein方程时用两个屏 幕，一个解释物质，一个解释暗能量。 2010年9月12日星期日 下面是两个屏幕的示意图 2010年9月12日星期日 外面的视界只和暗能量有关，其bits数是 能量为 2010年9月12日星期日 里面的屏幕是Verlinde的全息屏，能量为 根据熵力公式，得 2010年9月12日星期日 对应的势能为 能量守恒公式告诉我们 恰好是含有全息暗能量的Friedmann方程。 2010年9月12日星期日 评论： 1、整体视界上的温度是正的，当粒子接近 屏幕时，熵增，所以力是向屏幕的力，从 里面的观点看，是斥力。 2、视界必须取未来事件世界，宇宙才能加 速膨胀。 （也许事件视界可以从力和势能的关系获 得？） 2010年9月12日星期日 Damien A. Easson, Paul H. Frampton, George F. Smoot等人的文章点评 这篇文章建议用Hubble视界做整体全息屏 解释暗能量，有加速度 2010年9月12日星期日 Friedmann方程为 取d为Hubble半径，得 2010年9月12日星期日 表面上看，这个方程提供正加速度，问题 是，如果我们回到第一个Friedmann方程， 我们得不到加速膨胀，或者，方程需要所 谓的暗物质和暗能量的耦合。 这个想法的另一个问题是，作者们声称加 速项可以由作用量中的Gibbons-Hawking 边界项推出，这是错误的。 2010年9月12日星期日 熵力的文章已经有了大约50篇，我觉得半 数以上是错的，还有一部分是trivial的，最 后剩下的是推测。 我觉得我和王一关于暗能量的工作是推 测，也许是比较有前途的推测。 熵力将来还会有不少文章。 2010年9月12日星期日 Thanks! 2010年9月12日星期日