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第2章 规 范 对 称 性
2.1粒子物理中的对称性
在粒子物理理论研究中对称性起着重要作用。所谓对称性，简言之，就是一个物理系统在某种变换下具有不变性。
2.1.1 对称性的分类
存在各种不同类型的对称变换，可以根据变换所涉及的对象以及变换的性质来对对称性进行分类。在粒子物理学中最常见的对称变换大致可分为如下两类：
1． 离散变换
此时变换参数只取分立值。在粒子物理中最具代表性的分立变换是
空间反演变换：P，电荷共轭变换：C
时间反演变换：T
我们知道对于电磁相互作用和强相互作用，在P、C、T分别变换下，它们都保持不变。然而弱相互作用破坏了P、C和PC对称性。
2． 连续对称性
如果变换参数取连续值，则对应连续变换。一个典型的连续变换是转动变换：
，这里转动角
可连续取值。连续变换的类型很多，在粒子物理上最常见的有两类，它们是
l 时空对称性：最具代表性的时空对称性是Lorentz变换和时空平移变换下，物理规律保持不变。
l 内部对称性：一种作用在场的内部空间，且使场系统保持不变的对称性。这种对称性是属于场和粒子的独立于时空性质的某种变换，其对称性给出标志粒子态的某些量子数，如电荷、轻子数、重子数和同位旋等。典型的例子是
、
，
以及
变换等。
3． 内部对称性的分类
有两种不同类型的内部对称性，它们是
l 整体内部对称性：连续变化的参数不依赖于时空坐标。例如
同位旋对称性、
味对称性、
重子数对称性、
轻子数对称性。
l 定域（规范）对称性：连续变化的参数与时空坐标有关。例如
对称性、
弱同位旋对称性、
弱超荷对称性、
颜色对称性等等。
将Noether定理和规范原理分别应用于以上两种不同的内部对称性，可得到以下重要的物理结论：
对于整体内部对称性，根据Noether定理，将存在相应的一个或多个守恒量。对于定域规范对称性，则必将在体系中引入规范场，即将一个自由的体系变为一个有相互作用的动力学体系，换言之，定域规范对称性决定了相互作用的形式。事实上，在量子电动力学中电磁场与带电物质场的相互作用形式就是由 
的定域规范对称性所确定的，即所谓的最小耦合原理。这个原理可否推广到其它的相互作用？为了回答这个问题，Salam和Ward 最早构造出基于定域规范对称性原理的相互作用量子场论。他们在一篇论文中提出，应该存在通过对所有粒子的自由场拉氏量的动能项做定域规范变换而生成强、弱、以及电磁相互作用项的可能性。
2.2 阿贝尔(Abelian)定域规范对称性
考虑自由电子
的拉氏量：
(2.1)
显然，(1.1)式具有整体
对称性，即在变换：
(2.2)
下，它保持不变。
现考虑定域(规范)对称性，即：
(2.3)
(2.1) 式中导数项的变换为：
(2.4)
上式中，第二项破坏了
在变换(2.3)下的不变性。为此，我们必须用一个适当推广量代替
，使之与
的变换方式相同，即以协变微商(covariant derivative)
代替
，使得：
(2.5)
于是，组合
是规范不变的。这种协变微商可通过引入一个新的矢量场
—规范场，而将其构造为：
(2.6)
其中e是一个自由参数，我们最终可确认它实际上就是电荷，因
此，如规范场
的变换性质为：
(2.7)
则(2.5)式将成立。现在我们有：
(2.8)
它在定域规范变换下显然是不变的，然而它包含有作为外场的
。为了使
成为一个真实的动力学变量，我们必须在
拉氏量中加进涉及
的导数项。这种类型的唯一规范不变的罗仑兹标量是与
成正比的，其中：
(2.9)
称为场强张量。于是我们量纲为4的规范不变的
的导数项
为：
(2.10)
由(2.7)，不难验证
本身就是规范不变的：
通过直接计算不难验证协变导数
与
有下列关系：
组合(2.8)式和(2.10)式，我们便可写下定域规范不变的动力学
拉氏量为：
(2.11)
不难看出，上述定域规范不变性的要求在引入规范场的同时，
也引入了相互
。它相当于电磁相互作用，其中
就是
电磁场，
即带电费米子场(如电子场)。(2.11)式不含规范场质
量项
，因它规范不变性。(2.11)式还有如下特征：
· 光子和任何物质场的耦合由对称群下的变换性质所决定，
此即所谓的普适性(universality)。其它的高量纲的规范不变的耦合，
如
为可重整性要求所排出。
· 拉氏量(2.11)不含规范场的自耦合，由于光子并不携带电荷。
最后归纳起来，在
的定域规范变换下，
2.3非阿贝尔定域规范对称性—杨米尔斯场(Yang-Mills fields)
早在1932年Heisenbarg曾经指出，质子和中子在核力作用下可看作是简并的，因为它们的质量相近而且电磁相互作用可以忽略。
故它们的波函数的任意组合是等价的，即
，
其中
是幺正变换（
）以保持几率的归一性。并且，如果
，则
代表了
李群：
这里
，
是泡利矩阵。
1954年Yang和Mills将上述思想做了推广，在量子场论中引进了定域规范的同位旋不变性的概念。他们认为，中子和质子的差别因此全然成为一个任意的手续。然而，按照传统观点，这种任意性要受到如下制约：一旦在一个时空点选定了什么是中子，什么是质子，那么我们在其它时空点就不再有任何选择的自由了。因此Yang-Mills理论与传统理论中所蕴含的定域场概念是不一致的。按照他们的观点，无论在何时何地我们都要保持选择何谓质子何谓中子的自由。要实现这点，我们可以要求规范参数随时空点而变化，即
，同时假定费米子场是同位旋二重态：
(2.12)
在
变换下，有：
(2.13)
式中 
是pauli矩阵，满足：
(2.14)
而 
是
群变换参数，于是拉氏量：
(2.15)
在整体
变换下保持不变，这里
是与时空坐标无关。然
而在local对称变换下：
不再保持不变，由于导数项变换为：
(2.18)
仿照Abelian情形，引入矢量规范场
，
(对应于每个群的生成元)，构造规范协变导数(通过最小耦合形式)：
(2.19)
式中
是类似于
的耦合常数。我们要求
与
有相同变换形式，即：
(2.20)
这意味着：
(2.21)
或者：
故
(2.22)
这就定义了规范场的变换规则。对于无穷小变换：
，
(2.23)
(2.22)式成为：
或者：
(2.24)
注意，由(1.21)式，我们可发现协变导数满足条件：
(2.25)
为得到规范场的反对称二秩张量，考虑组合：
(2.26)
式中
(2.27)
或者
(2.28)
由(2.25)式，我们可看到：
(2.29)
在(2.29)式两边代入
的定义式(2.26)，得到：
或者
(2.30)
在无穷小变换 
下，给出
(2.31)
这与Abelian情形不同，
并非不变，而是象
的那样变换。
然而乘积：
却是规范不变的：
我们可将以上讨论归纳如下：
描述
二重态场与规范场
的拉氏量为：
(2.32)
其中
(2.33)
(1.34)
在
的定域规范变换下：
(2.35)
(2.36)
在无穷小变换下：
(2.37)
(2.38)
以上结果可直接推广到普遍情形，如令群
是某一单纯李群，其生成元满足代数
(2.39)
其中
是全反对称的结构常数。
假定是属于表示矩阵为
的
某一表示，则有
(2.40)
协变导数因此是
(2.41)
规范场的二秩张量为
(2.42)
拉氏量为
(2.43)
在群
的如下变换保持不变
(2.44)
在无穷小变换下
(2.45)
在(2.43)式中，纯Yang-Mills项
中含有
的三次和四次项：
它们对应于non-Abelian场的自耦合。而拉氏量中项：
就是规范群
的定域规范不变性所确定的物质场
与规范场
之间的相互作用，耦合常数
表征了相互作用强度，此外与Abelian情形相同，规范场自作用项
中无质量项，这与上节指出的规范场粒子无质量普遍结论相一致。还需指出以下几点：
· 无质量规范场数量等于规范群
的生成元数量。
· 在Abelian情形下，规范场与其它物质场的耦合强度无限制，因此电子携带电荷
而其它粒子原则上可携带任何电荷
(如
，
，等)。但在非Abelian情形下，如
情形，耦合强度将受到严格限制。如二重态
与规范场
的耦合强度为
，而对于其它二重态
，如耦合强度为
，则对易关系(2.14)式将要求(由规范不变性)
或
。从本质上看，这是由于在non-Abelian理论中，生成元的归一化性质由非线性的对易关系所确定，故耦合强度
不可能被随意改变。
· 如上所述，对于单纯群
，则只存在一个耦合常数，然而如果群是单纯群
的积，如
，这里对于每一个单纯群的生成元集合在其对易关系下自身是闭合的，而对于不同群的生成元集合，它们彼此是对易的，则对于每一个因子群将存在其独立的相应的耦合常数。
2.4对称性的自发破缺：
精确的对称性通常会给出精确的守恒定律。在这种情况下拉氏量和真空（即该理论的基态）都是不变的。但是，事实上有些守恒定律并非精确的，比如同位旋、奇异数等。这些情形可以通过给守恒的拉氏量（
）加上一个小的破坏对称的项（
）来描述：
。
另外一种情形是系统的拉氏量是不变的，但真空却不是不变的。一个典型的例子是铁磁体，其拉氏量用自旋－自旋相互作用来描述，在三维旋转下是不变的。当温度高于铁磁体的相变温度（
）时自旋系统是完全杂乱的（顺磁相），因而真空也是
不变的[图2(a)]。
但是，对于低于
的温度（铁磁相），就会出现自发磁化强度，使得自旋按照某一特定方向排列[图2(b)]。在这种情形下真空不再具有
群的对称性。对称性破缺为
，体现整个系统绕自旋方向的旋转的对称性。
(a) (b)
图2：顺磁相(a)和铁磁相(b)的自旋方向示意图
Nambu于1961年将凝聚理论中起了重要作用的“对称性自发破缺”的概念引入到粒子物理中。从前面讨论，我们已经看到，定域规范不变的理论所涉及的规范场是无质量的。对于电磁作用当然毫无问题，因它的规范场，光子本身是无质量的。但由于弱作用的短程性，传递它的规范粒子(称为中间矢量玻色子)，必须有质量，故为了将弱作用纳入定域规范不变的理论，首先要解决的问题是如何使规范粒子获得质量。如果我们用引入质量项这种形式来明显破坏规范对称性，则将改变理论的高能行为—其后果是破坏理论幺正性，同时理论也是不可重整化的。这个问题的解决依赖于引入对称性自发破缺的思想。
2.4.1．整体对称性的自发破缺和Goldstone定理：
考虑复标量场的
理论，其拉氏量密度为：
(2.46)
项表示自相互作用，在通常标量场论中，
项是质量项，但现在
仅作为参数，它可以是负的，因而不一定是质量项。显然
在整体规范变换：
(
与
无关) (2.47)
下是不变的。该体系的Hamiltonian密度为：
(2.48)
其中 
。能量的最小值或真空由下列条件确定：
(2.49)
当
时，
给出能量最小值(图a)，而当
时，
给出局部极大，而最小值由
，
(2.50)
给出(图b)。前者()相应于真空在变换（2.47)下是不变的，即真空是非简并的，故模型具有精确对称性。而后者表示系统具有无穷多个真空态，其中每一个与复平面
上的半径为
的圆周上的一个点对应，即真空是无穷简并的，在变换(2.47)下，任何一个真空态(即圆周上的某点)变为另一个真空(圆周上另一个点)，即真空在
群变换下不是不变的，故模型具有自发破缺的对称性。在量子理论中，
成为算符，(2.50)式对应于不为零的真空期望值：
(2.51)
这是真空简并的标志，在所有的简并真空中，物理真空只能实现其中的一个，而物理的量子场是围绕物理真空的激发，设
(2.52)
选择物理真空为
，
(2.53)
现在令
(2.54)
则有
(2.56)
是物理的量子场，将(1.54)代入(1.46)式，我？
表示
：
(2.57)
由此可看出，
具有质量
，而场
是无质量的，通常称
为Goldstone粒子。实际上，在量子场论中，一个连续的整体对称性的自发破缺场必然导致零质量的Goldstone粒子的出现，这是一个普遍性的结论，称为Goldstone定理。自发破缺了的对称性当然仍是体系的对称性，但它并不表现为真空态的不变性，而是通过存在Goldstone玻色子表现出来。下面给出简要证明。
设 是在由场的变换：
(2.58)
所形成的变换群
下不变的，其中
是群
的生成元，参数
与
无关，由Noether定理，相应的流：
(2.59)
具有零散度：数
(2.60)
而相应的荷：
(2.61)
是守恒的，且满足等时对易关系：
(2.62)
在对称性自发破缺情况下，利用上式可以得到：
(2.63)
将(1.60)式代入(1.62)，并插入中间态的完备集，有：
(2.64)
再利用平移不变性，有：
(2.65)
其中
为平移变换生成元，即能量动量算符。现将(2.66)代入
(2.65)，有：
(2.66)
其中我们已令
为中间态质量(由于
保证了
)
现在我们要证明上式(2.67)与
无关。
由流守恒关系(2.61)，有：
(2.68)
对上式作空间积分，得：
(2.69)
利用这个关系，从(2.65)式的左边有：
(2.70)
这表明(2.65)式与
无关。要使(2.65)式与
无关，则意味着要求对
的中间态
，必须有
，这就是无质量的态，即Goldstone玻色子。这个定理是独立于微扰论而成立的。
2.4.2 定域规范对称性的自发破缺和Higgs机制
1.阿贝尔(Abelian)情形：
现要求拉氏量密度(2.46)在定域规范变换
(2.71)
下保持不变。由前面讨论知道，这必然导致通过协变导数引进规范场
(电磁场)，使(2.46)式变为：
(2.72)
与前面类似，其中作为参数。当
，真空仍由(2.50)式给出，它是无穷简并的。我们再次选择物理真空位置为(2.53)，并通过(2.54)式来规定物理的标量场
，将(2.54)代入(2.72)，得到
(2.72a)
其中：
(2.72b)
表示
之间的相互作用。这个拉氏密度的绝妙之处在于其中第二项(正比于
)表示规范粒子获得了质量。此外，场
也是有质量的，而场
无质量，但存在混合项(正比于
)。这似乎表示传播中的规范场(光子)可能转化为
，因此，对
的物理解释不是很清楚的。
l 么正规范(Unitary gauge)—Abelian case.
为了消除上述混合项(
)，我们将复数场
指数形式地参数化，新的实数长
和
定义为
(2.73)
自由拉氏密度也取相同形式
(2.74)
对(2.74)做正则量子化的条件未改变，
和
与
和
有相同的粒子解释。我们现在可以设法消除混合项，这可利用规范自由度来达到这个目的，或者确切地讲，通过固定规范(么正规范)来做到这点。为此做规范变换，并选择
，于是
(2.75)
由于拉氏密度(2.72)式在上述规范变换下保持不变，故(2.72)式可写为
其中
(2.76)
很显然，
是质量为
的矢量玻色子以及质量为
的标量介子的自由拉氏量密度。场
已从拉氏量中消失。这个结果并非令人奇怪，只要我们计算一下自由度数，就可清楚这点。在对称性破缺前，我们有两个标量场
和
及一个无质量的规范场
(既光子，它只有两个横向极化态)；在对称性破缺后，我们只有一个标量场
和有质量规范场
(它有三个极化态)。因此，无质量规范场
和标量场
组合成了有质量的矢量场
。这就是Abelian情形下的Higgs机制。
场叫做Goldstone玻色子。
2. 非阿贝尔情形（Non—Abelian Case）
将Higgs机制推广到non-Abelian 情形是直接的。考虑
规范理论，它具有一个复的标量场的二重态
拉氏量密度为
(2.77)
其中
(2.78)
对于
，经典势的极小值在
，
(2.79)
处。我们可以选择与物理的真空对应的期望值形式为：
(2.80)
如我们定义新场为
(2.81)
则
，而协变导数项将产生矢量玻色场的质量，因为
(2.82)
包含因子
(2.83)
这时，对应于
的质量为：
(2.84)
在标量场部分，我们有
(2.85)
将
写成
，则
的二次项为
(2.86)
这表明，只有组合
是有质量的，它代表物理的Higgs粒子，而其它三个态
，
和
代表Goldstone粒子，它们将与原始的三个无质量规范玻色子组合而成为三个有质量的矢量玻色子。
· 幺正规范（Unitary gauge）
为了更清楚地看到上述物理图象，我们在么正规范中来讨论这一问题。首先参数化标量二重态
(2.87)
其中 
。我们可定义新场如下
(2.88)
(2.89)
式中
(2.90)
由规范变换性质，我们有
(2.91)
(2.92)
其中
(2.93)
(2.94)
于是，在么正规范下，拉氏量密度具有简单的形式
(2.95)
其中第一项含有
的二次项
(2.96)
这表明，矢量玻色子质量为
。因此最初的
规范对称性完全破缺，所有三个规范场均获得质量。
3．有质量规范玻色子的数量
由于无质量规范玻色子的个数对应于未破缺规范对称群的生成元的个数，故有质量的规范玻色子的个数(或者Goldstone玻色子个数)就等于原始的对称群的生成元个数与剩余的对称群的生成元个数之差。下面我们将就一个普遍情形给出上述结论的一个证明。
考虑一个普遍的拉氏密度，其对称群为
，
(2.97)
其中
是一组实场，其变换按具有n个生成元的规范对称群
的N维表示(可能是可约表示)进行
(2.98)
，
(1.95)式中势函数
在上述变换下保持不变(如果势函数是在一个较大群变换下不变，则将存在一些标量粒子，其质量只通过辐射修正获得。通常称之为pseudo-Goldstone- bosons (Weinberg 1972)), 故有
或者
，
(2.99)
再对
微商，给出
(2.100)
如
在
处有极小值，则有
(2.111)
将
在
附近展开，没有线性项，常数项是无关紧要的
(2.112)
因此 
在
处，正好是质量矩阵:
(2.113)
于是(2.111)式可改写成
假定
是
的
维子群，它有
个生成元，并保持真空的对称性，则，
，
(2.114a)
而
，
(2.114b)
如我们选择生成元
是线性独立的，则以上关系表明，
有
个零本征值，因而存在
个无质量的Goldstone 玻色子。
如我们重新参数化
：
(2.105)
其中
，并对破缺对称性的生成元求和。
是剩余标量场，它们正交于
。在规范变换
下，其中规范函数
，拉氏量密度中含有规范场二次项：
(2.106)
对角化(2.106)后，就导致个有质量的矢量玻色子。
在这节中，我们选择了么正规范，使之理论的粒子谱是明显的。在后面，我们将介绍另一种规范，叫可重整的R规范，其中Goldstone玻色子并不能明显消去，但规范场传播子具有明显好的高能行为，且理论的可重整性也更加明显。
