狭义相对论的对称性---非齐次洛伦兹变换(彭加勒变换)

发信人: daijianium (fst/Dr. Faust), 信区: Science

标  题: 现代物理入门 (12) (Some Rudiment on Modern Physic

发信站: 北大未名站 (2002年05月25日01:02:05 星期六), 转信



现代物理入门 (12) (Some Rudiment on Modern Physics)

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确实不能对我国英语教学做过高估计, 所以我开始用汉语写第12篇.

不过我的汉语LaTeX有点问题, 只好用纯文本了, :(

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这次的题目: 狭义相对论的对称性---非齐次洛伦兹变换(彭加勒变换)

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如上次所说一个n维闵可夫斯基空间M^n是一个n维实线性空间, 附加一个"线元":

(*) ds^2 = dx^0 dx^0 - dx^i dx^i,

此地我们做如下注记:

1) 自然单位制: x^0:=c t;

2) 爱因斯坦求和约定: 出现两次的i表示i从1到n-1的求和;

3) M^n中的任一点x=(x^0, x^1, ..., x^{n-1})叫做一个"事件", 对于一个事件定义"间

隔"s:

(**) s^2:=x^0x^0-x^ix^i,

(这里我们不考究开平方的正负号)

两个事件x,x'的相对间隔(仍用s表示)

s^2=(x^0-x'^0)(x^0-x'^0)-(x^i-x'^i)(x^i-x'^i)

所以对于(*)的直观解释是相邻事件的无穷小间隔;

4) 引入度规张量G=[g_{IJ}], 一个n乘n对角矩阵, 对角元为(1, -1,...,-1), 可以重写

(*)为

(***) ds^2 = g_{IJ} dx^I dx^J

5) 两个事件的内积定义为

(x|x')=g_{IJ}x^I x'^J

(这里我们不象在11中那样考究M^n的内积和M^n中每一点切空间的内积的差别)

6) M^n在上面定义的内积下的任意一个单位正交基称为一个惯性系!

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现在我们证明:

M^n的"保长变换群"就是n维彭加勒群.

注记:

1) 这里我们限制, M^n的一个变换f是一个"保长变换", 如果f两次连续可导(C^2类), 并

且

线元在f下不变;

2) n维彭加勒变换是保持相对间隔不变的M^n上的仿射变换.

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证明:

把保长变换参数化为:

y^I=f^I(x)

定义矩阵函数L

L^I_J:=D_J f^I, 即f^I对x^J的偏导数.

由C^2条件得到

(!) L^I_J,K=L^I_K,J,

这里和一下我们引入记号",I"表示对x^I的偏导数.

保长条件蕴涵对于M^n中任何一点

(!!) LGL^T=G

于是L在每一点诱导出一个一个单位正交基(l_0,l_1,...,l_{n-1})

(l_I)^J:=L^J_I

(!)可以表为

(1) l_I,J=l_J,I

对(!!)求偏导得到

(2) (l_I,K|l_J)+(l_J,K|l_I)=0

利用方程(1)(2)可以推出

(l_I,K|l_J)==0

由于内积是非退化的二次型,

所以l_I,K==0

于是f只可能取如下形式

y=f(x)=a+Lx,

其中a是一个常向量(常事件), L是一个保持G的线性变换(洛伦兹变换)

证毕.

(其实应该交待的记号, 约定等等数学上的严密性考虑还很多)

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[练习]

证明n维欧式空间的保长变换群就是n维刚体运动群(欧几里的群).

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指正.



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It is hard for a poor guy to keep his dignity

if he hopes to change his life..



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