音乐快递：旋量具体来说就是N维度规空间上的正交群的表示;只有4维空间中才存在无限多个拓扑非平庸的微分结构 - 由marketreflections发表

　　作者：醉萧郎　回复日期：2005-11-24　1:34:24　
　　　　我记得看过一本书讲4维空间还是比较特殊的，微分几何里面一些结论在4维空间里是否成立有待证明。班门弄斧，见笑了
　　　　
　　　　你这个问题还是很有价值的，我先抛转引玉。一般来说，微分几何的结论对于黎曼和广义黎曼流形都是成立的。
　　　　4维空间是特殊的空间，那是Jones在198×（不记得了）证明的一个著名的定理。只有4维空间中才存在无限多个拓扑非平庸的微分结构（好像是这样的，有兴趣可以翻翻书！）由此定理，物理学家很是忙碌了一阵，90年代初，Chern－Simons时空规范理论是物理学家最钟情的理论（主要还是Witten惹的祸，86年的文章吧，看过，没看懂，放弃，呵呵）。关于这个Jones的定理，倒是需要一些学数学的人来普及普及，不如另开一个帖子吧，老实说，我也不是很了解。用倒是用到过Chern－Simons规范理论，但是那是照葫芦画瓢，自己也不是很清楚。哪位学微分几何的指教指教？
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　　s0（n）群中，只有so（4）不是单李群。也只有在4维之上，霍奇算子能把曲率映为曲率。也只有在4维欧空间之上，唐纳森发现了无穷多微分结构。loop量子引力被人诟病，因为她不能回答为什么时空是4维的，但上帝用数学来回答。
　　在19世纪到20世纪，哈密顿之后，物理学家洛仑次写了厚厚的《电子论》，三大本。当时还没有发现电子。这是历史上一个伟大的事情，虽然洛仑次不是最出色的，但人们应该注意到，在洛仑次力公式
　　f=qE+ｖＸ　Ｂ
　　出现了点乘与叉乘。
　　这个是一个经典电动力学里的假设,但可以相信,这个假设说明,在四元数中,结合方法必须既有点乘又有叉乘.这个假设是实验证实的,所以洛仑次是伟大的.
　　电磁理论与四元数的结合是自然的，天然的，同时是微妙的。因为电磁场在4维时空才是天然的。
　　我们知道一个3矢量与一个3矢量的叉乘，但不知道如何把这种叉乘推到高维。能不能做到呢？？ Grasmann（1809-1877)生于德国Stettin（今属波兰），曾经在柏林大学攻读神学，哥廷根大学没落之后,柏林大学似乎已经成为德国最出色的大学.格拉斯曼大学毕业后长期在家乡中学任教，业余从事科学研究，成为梵文权威和数学家。1844年他了发表《线性扩张论》。建立了所谓的“扩张的量”（即有n个分量的超复数）的概念和运算法则，其中包括了非交换乘法和n维空间的重要思想，形成了张量理论的初步思想。
　　grassmann代数又叫外代数，超对称代数就是由poincare代数与外代数组成的。
　　
　　clifford代数当然是数学家讲旋量必须的出发点之一，数学家不讲这个而谈旋量显得有点脱离潮流。
　　
　　一个很直接的看法是，n维矢量空间上的外代数和n维矢量空间（含内积）上面的clifford代数具有相同维数，全部是2的n次方维。这样的话，作为有限维的矢量空间，它们是同构的。但作为代数，它们不是一样的事情。clifford比外代数复杂一点，或者说，前者是后者的量子化或者畸变。
　　总的来说，外代数很重要，因为外微分很重要。clifford代数很重要，因为我们有复数，有四元数，我们希望推广到更加高的维数，但一般的代数，到了8元数就终结了，要找新的代数，只能去发现clifford代数了。因为它作用在旋量之上，所以在下面的章节可以漫漫谈来。
　　
　　
　　旋量由此产生，最早起源于嘉当。旋量与群论关系密切，但也可以说与clifford代数关系密切。比如物理学家比如咯兴林的《高等量子力学》把dirac矩阵乘起来的16个矩阵叫做dirac群，其实这就是一个clifford代数。
　　
　　旋量具体来说就是N维度规空间上的正交群的表示。大家最熟悉的莫过于三维欧氏空间的转动群SO(3)的表示了，其最低维的双值表示便是二维的旋量表示，这个是转动群的通用覆盖群的SU(2)单值表示。把这个结果推广到一般维数的空间。其结果是：最低维旋量的表示维数是：2^{n/2-1} 当n是偶数的时候；
　　2^{n/2-1/2} 当n是奇数的时候。
　　当维数为六时，SO(2,4) 的表示便是扭量。这是从抽象的代数语言来说扭量，扭量如何在时空点和光线空间实现对应呢？？
　　对于的关键在于，我们把四矢量（t，x，y，z）用pauli 矩阵写出来，或者说，用四元数写出来。写出来后是一个矩阵。这个矩阵，记做N。
　　那么，一个扭量（z1，z2，z3，z4）满足如下扭量方程。
　　z1 N N Z3
　　z2 = N N Z4
　　
　　
　　