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 §4 结构主义与布巴基学派的思想方法 |
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§4 结构主义与布巴基学派的思想方法
一、布巴基学派的形成及其思想方法
布巴基学派是本世纪三十年代以后开始形成的一个数学学派．布巴基(Bourbaki)并无其人，它是这一学派的人物著书立说时共同采用的一个笔名．从1939年起，他们出版了一套巨著《数学原本》，到1973年共出36卷，至今仍未完成．《数学原本》是一部博大精深的著作．它涉及现代数学的各个领域，概括某些最新研究成果，以其严谨而别具一格的方式将数学按结构重新组织，形成了自己的新体系．其内容包括集合论、代数、一般拓扑、实变函数论、线性拓扑空间、黎曼几何、微分拓扑、调和分析、微分流形、李群等分支．
布巴基学派的主要成员有狄多涅(Jean Dieudonne，1906—)、韦伊(Andre′Weil，1906—)、歇瓦莱(Claude Chevalley，1909—)、H·嘉当(Henri Cartan，1904—)等．布巴基的事业是一批法国青年开始做起来的。1924年，一批18岁的青年来到法国巴黎高等师范学校(法国最高学府)求学．巴黎的老一辈大学问家象毕卡(Picard，1856—1941)、蒙代尔(Montel，1876—1975)、波莱尔(Borel，1871—1956)阿达玛(Hadamard，1865—1963)、当儒瓦
(Denjoy，1884—1974)、勒贝格(Lebesgue，1875—1941)、当时已是50岁上下的人了，他们和这批18岁的青年整整隔了一代．尽管他们手把手地给他们讲授一年级课程，但这批年轻人并不满足．他们问：“年轻的数学家到哪里去了？”原来，第一次世界大战时德国把数学家放到增强军队战斗力的技术岗位(如柯朗在通讯部门服役)，而法国却把大学生赶上前线，致使“高师”的战时师生名册里大多加了黑框．直到1924年，年轻的数学家并未成长起来，以致台上教书的都是四、五十岁的老教师，气氛显得沉闷．
渐渐地，一批青年聚在一起议论法国数学发展中青年人的责任，其中以狄多涅、韦伊两人为首，吸引了德尔萨特(J．Delsarte)、厄莱斯曼(C．Ehresman)、歇瓦莱等三人，后来又有H·嘉当和爱伦伯格(S·Eilenberg)(唯一的外国人——波兰人)参加．他们曾分析形势，首先法国是当时函数论王国，上面列举的大学问家都是搞函数论的．除了阿达玛的讨论班有一扇通往国外的窗口之外，国外的数学发展情况很不清楚．至于E·嘉当(Elie Cartan，1869—1951)的工作虽然开始了李群与微分几何理论的研究，但要到20年以后才被发现其重要性，当时并未注意到．其次他们感到教师年龄太大．“50岁的数学家知道的只是他在二、三十岁时所学到的数学，而对他50岁当时的数学，通常只有模糊的概念．”最后，韦伊首先走到国外，得知德国当时有阿廷(Emil Artin，1896—1962)、诺特(Emmy Noether，1882—1935)、西格尔(Carl Ludwig Siegel)、海塞(Hermut Hasse)这些人在代数方面崭新的工作；匈牙利的黎兹(Frede’ric Riesz，1880—1956)、波兰的巴拿赫(Stefan Banach，1892—1945)已开创了泛函分析；俄国学派已在向拓扑学进攻．这些年轻人再也坐不住了，他们决心打破这一“函数论王国”的束缚，继承从费马到庞卡莱博学多采的数学传统，把数学来一个改造，于是出现了“布巴基运动”．特别是在1932年范·德·瓦尔登(Van derWaerden)的《近世代数》出版，给这些年轻人以启发，他们欣喜若狂，决心象范·德·瓦尔登整理代数学那样，将数学重新整理一遍．1934年他们在一次集会上决定，用三年时间将整个数学整理成一套专书．然而，随着知识的增长他们发现这是何等艰巨的任务！后来实际上写了三十年也没有完成．
布巴基学派从30年代形成以来，至今仍保持着活力．他们比较固定的成员有10人左右，平时分散在各处，现在每三个月一次聚会，利用星期六、星期日、星期一接连三天开会，每天下午两个讲演，每个用一个半小时，然后是讨论、交谈．老一代成员早已不负责报告了，但是还来听，主要的工作交给更年轻的成员去做．据说，早期的布巴基讨论班十分严格，会上短兵相接的批判与反批判，不受年龄限制，以致某些局外人总是带着“疯子集会”的印象离去．然而正是这样，才使最优秀的成员在烈火锻炼中保存下来了，这也许是布巴基学派获得成功的原因之一．
狄多涅指出，布巴基的基本指导思想是结构主义．他们用公理化的观点对整个数学加以整理，发现数学分支之间的区别在于结构不同．他们认为数学上有三种结构，即代数结构、序结构和拓扑结构．30余卷的《数学原本》贯穿了这一思想．作者们把一些理论的基本概念仔细加以剖析，拆成零件(各种结构)，然后整理归纳，把某个理论放在整个结构的适当位置上．他们不崇尚技巧，象数论中的高超技巧、函数论中的精密估计、概率论中的详细计算，都不能纳入布巴基体系．
布巴基的一些主要成员，大多在现代数学中都有重大贡献．如狄多涅可以说是一个著作家，是布巴基的主笔，写了大量论文和专著；韦伊可以说是本世纪中叶以后最重要的数学家之一，他在代数数论和代数几何上的工作是极为深刻的，由于他在法国的南希(Nancy)和美国的芝加哥(Chicago)工作，曾戏称布巴基在南加哥(Nancago)大学任职，是布巴基的一员主将；爱伦伯格是布巴基小组中唯一的外籍人，他是同调代数的制定者；H·嘉当也是一位大数学家，以多复变函数和同调代数研究驰名；歇瓦莱建立了李(Lie)理论和有限群之间的桥梁；广义函数的奠基人施瓦兹(Schwa-rz)和现代代数几何家格罗申第克(Grothendiek)两个人都获菲尔兹奖并参加过布巴基小组，把大家带入了两个深入的部门．后期的成员很多，如塞尔(Jean-Pierre Serre)是《数学原本》代数部分的主要撰稿人，他也是菲尔兹奖获得者．布巴基学派确实吸引了最有能力的数学家，是二十世纪最有影响的学派之一．
二、数直线结构分析
在一个集合的元素间引进运算或变换，就形成了结构．布巴基学派将数学结构分为三大类：(1)代数结构：由离散性对象加运算构成的结构系统．如群、环、域、代数系统、范畴、线性空间等．(2)序结构．如半序集、全序集、良序集等．(3)拓扑结构．如拓扑空间、紧致集、列紧空间、连通集、连续性及完备性空间等．这三种结构叫做母结构，由此可以导出各种子结构，还可有各种交叉，形成分支结构，如拓扑群是群结构上再定义拓扑结构的一门学科．希尔伯特空间是线性空间添加内积型拓扑(拓扑结构)构成的数学系统．巴拿赫空间即完备、赋范、线性空间，也是一种交叉而形成的分支结构．
数学中有些对象(如数直线)看起来很简单，其实，如果进行结构分析，即可发现其结构相当复杂．
所谓数直线R，就是由全体实数构成的一维欧氏空间．我们将看到，R是一个完备的阿基米德全序域．它是由代数结构(域)、序结构(全序)、拓扑结构(完备性结构)形成的分支结构．
简记R=｛实数；+，×，≤｝容易验证：
(1)R具有环结构．对“+”、“×”各个运算都满足交换律与结合律．0是加法单位元，1是乘法单位元．对+、×还满足分配律．故对两种运算而言构成一个环，而且对乘法还有逆运算，故R实际上还构成一个域．
(2)R具有序结构．对序关系≤满足三条基本性质，即传递性、对称性、可比性，故R是一个全序结构．此外，对加法、乘法而言还满足保序性，这种保序性使代数结构与序结构具有协调性，因而合在一起能作成新的结构．
(3)R具有连续性结构．阿基米德公理显然满足(即任给x＞0，y≥0，总存在自然数n使y≤nx)．
对上述有序域R中的元素可定义绝对值，从而引出距离概念和邻域概念．由此可得到极限概念和基本序列概念，且易验明R具有完备性，即凡基本序列的极限值也都含在R内．因此，R是一个完备的阿基米德有序域．它是代数结构、序结构和拓扑结构三者联合而成的具有协调性的一种交叉结构．
三、拓扑结构
所谓拓扑结构，就是能够描述极限的那种结构．要描述极限，就要有“靠近”或“邻近”这样一些概念，这就需要距离概念．因此，对一个集合的元素间只要能引进“距离”(或度量)的定义，就形成一个拓扑结构，即所谓距离拓扑．近代泛函分析中讨论的各种线性赋范空间，其范数(或模数)的概念就是一种广义的绝对值概念，由此也可导出距离概念．因此，凡赋范空间都具有距离拓扑结构．
当然，也可直接用邻域(neigh borhood)这种概念来界定极限概念．例如，在欧氏空间中一维邻域便是开区间，二维邻域可以是开圆域，三维邻域可以是开球域等．
为了在一般形式下引进拓扑概念，最简单而且比较符合直观的办法就是先引进一般意义下的邻域或邻域系的概念．如同确立别的数学分支或数学体系的公理那样，必须对邻域需要具备的基本性质作一全面分析，然后利用反映基本性质的条款来界定邻域概念．反映基本性质的条款也就是邻域公理．当然，这些公理必须是无矛盾的，而且是相互独立的，还必须是完备的．即确实足以刻画所需要的极限概念．
现代的拓扑学教程中的邻域公理如下：
在一个抽象点集E中，所有和定点P0之距离小于定数δ＞0的点的全体，即集合｛P｜d(P，P0)＜δ｝，称为点P0之δ邻域，记为U(P0，δ)，P0称为邻域中心，δ称为邻域半径．若U是邻域，x∈U，一般也称U为x的邻域，记为：
U(x)，x不一定为邻域中心．邻域系｛U｝须满足下列四条公理：
(1)E中每一点至少有一邻域．
(2)一个点x的两个邻域U(x)与V(x)之交U(x)∩V(x)仍为一邻域．
域．
(4)在点x的任一邻域V(x)中必含有x的邻域U(x)，使
上述公理中(1)、(2)、(3)陈述较简单，其重要性在直观上也比较明显．公理(4)则较为复杂些．它的意思是肯定每一点的某个邻域中的一切点也都有邻域．特别，每一点的开区域都具备这个性质．在分析学中联系(4)和(2)往往能保证选取一串越来越小的邻域使之以点x为极限．由此可见公理(4)的重要性．
由邻域系的概念就可以导致极限概念．凡具有邻域系的集合就称为拓扑空间，邻域系称为拓扑结构．所谓拓扑学就是研究拓扑变换下不变性质的一门几何学．我们知道，关于空间形式或几何形态的拓扑变换(即原象与映象双方连续的一一映射)是一种广泛地存在于现实世界的变换方式，所以拓扑学研究的对象的重要性也就不言而喻．不仅理论数学各分支，而且连现代的生物学与经济学领域也都借助于拓扑学工具，其原因就在于，拓扑学的研究对象和内容太广泛太丰富了，也就是说，在现实世界中具有拓扑结构的原型太常见了．
布巴基学派非常重视代数结构，同时他们又把拓扑结构列为母结构之一，这自然是理所当然的，也是十分必要的．
四、关于同构概念
从结构的观点出发来分析问题，同构的概念是一个非常重要的概念．因为凡具有同构性质的一些结构，在本质上都可看成是同一种结构，在研究问题时，只须对一种结构进行分析即可，无需浪费重复性的劳动．
假定有两个集合M和N，它们对分别定义的运算·和＊各自满足同
当然，系统间的同构概念也可推广到具有多重运算的情形．
数学主要是研究结构，至于结构采取什么形式并不重要．因此，在一类同构的系统中只须选定一个结构作为研究对象就可以了．
应可知复数z=a+bi有四种表示形式：
可以验证，无论是哪种表示形式，由相应的运算规则确定的数学系统都是互相同构的．它们在本质上都代表同一个复数域．
进一步，在上述复数域上还可引进拓扑结构．这只须引进范数(绝对值)概念即可：
这样，它们构成的系统都成为同一种半序域P，其中序的关系可按下列方式规定：
如果对某一复数z0=x0+y0i，把满足条件
|z-z0|=|(x-x0)+(y-y0)i|＜δ(δ＞0)
的点集｛z｝称为z0的δ邻域，则所有这种形式的邻域(其中δ为任意正数)及其拓扑变换后的一切子集显然满足“邻域系公理”(1)—(4)．因此，范数的引入也就产生了拓扑结构．
由上述我们看到，数学的各个分支确实可以按照它们的结构性质加以区别和归类，所以布巴基的基本观点是正确的．他们试图把大部分数学都纳入各种结构系统中去，并通过比较使得各分支的内在联系与区别展示出一幅清晰的图景．这对于全面地整理数学来说，无疑是十分合理的作法．洋洋数十卷的《数学原本》对于专业研究工作者来说确实提供了一定的参考价值．
但是这一派的方法论，专注于数学形式的结构特征的分析与比较，可以说是一种关于已经形成了的数学部门的回顾性的逻辑分析，而不是展望和探索新领域的方法．换言之，结构主义并不注意研究如何从现实世界中提取新的数学模型，开辟新的数学园地，其主要兴趣不过是整理分析．因此，结构主义的基本思想方法看来并不是一种发明创造的方法．
习题2．4
1．布巴基学派的思想方法是什么？简述其作用和意义．
2．按照布巴基学派的观点，数学结构分为哪几种？数直线具有什么样的结构？
3．什么叫拓扑结构？叙述邻域公理．
4．什么叫同构？
5．试就复数和矩阵的加法、乘法两种运算证明：由a+bi和(ab -ba)所表示的两个复数系统是同构的．
6．设U1(P)、U2(P)为点P的两个邻域，试证存在点p的
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