几何学家通常把局部问题与整体问题划分得壁垒分明，且认为只有整体间题才更重要．而陈省身认为在几何学上似乎南辕北辙的两个方面的研究须

陈省身（2）

Prince 发表于 2007/4/1 20:14:00

 广义的高斯-邦尼公式

　　几何学家通常把局部问题与整体问题划分得壁垒分明，且认为只有整体间题才更重要．而陈省身认为在几何学上似乎南辕北辙的两个方面的研究须同时进行．他觉得若不了解局部理论(即等价问题)则整体问题就无从下手，反过来找到了完全不变量组则整体问题的解决也快了．下面将简述陈省身对几何学的这种看法的形成过程，它既有趣又有启示性，而且涉及到他的最重要、最令人激奋的研究工作：给广义的高斯-邦尼公式一个内蕴证明，进而引入复向量丛的示性类，即现在所称的“陈示性类”，并给出陈示性类的一个漂亮的、用曲率张量写出的公式．示性类的局部性质是曲率，其整体性质基于映射的同伦性，两者交织便成为几何学的基本工具．

　　 二维紧致流形上的高斯-邦尼公式当然是经典微分几何的一个高峰．霍普夫曾说：“推广此公式到高维紧致流形上去是几何学中极其重要而困难的问题．”此公式把紧致曲面M上的最基本的不变量——欧拉示性数X(M)与曲面的微分几何的最基本不变量——高斯曲率K联

　　

　　明，但是陈省身所给出的、用活动标架观点的新证明是极自然的，而且具有推广到高维情形的潜力．

　　要解释陈省身的证明，这里先讨论一般的n维黎曼空间上的活动标架，然后再考虑n=2的特例．设M上有一个有向的黎曼结构，即一个SO(n)-结构．因它的李代数L(SO(n))由全体n阶反对称矩阵所组成，在单位正交切标架构成的SO(n)-主丛F(F)上有n个一次微分形式(ω_i)及列维-奇维塔联络形式(ω_ij)(ωij=-ωji)满足下列方程：dω_i=∑ω_ij∧ωj．黎曼曲率张量在正交标架(ω_i)下的系数为R_ijkl，即

 

　　当n=2时，L(SO(2))是一维李代数，ω₁₁=ω₂2=0，ω₁₂=-ω₂₁，所以只有一个曲率方程dω₁2=-Ω₁₂=-TR₁₂₁₂ω∧ω₂显然，在每个纤维π-1(x)上R₁₂₁₂是常数，其值是M的高斯曲率K(x)．设(θ₁，θ₂)是M上的单位正交余切标架，则M的面积元为dA=-θ₁∧θ₂，且

π*(KdA)=dω₁₂

(*)

　　陈省身在[1—136]中说：“公式(＊)包含了曲面的全部局部几何，也可推演出整体几何性质．仔细考虑过之后，容易看出(＊)是高斯-邦尼公式的证明的要义，而且n维流形上的高斯-邦尼公式的证明也是从这个想法发展出来的．”陈省身看出：曲面上的二次微分式必是闭的，被π拉回到F(M)仍然是闭的．但是除了M是环面的情形，KdA绝不是恰当微分形式．然而(*)式表明它在F(M)上是恰当的．这是(*)式的一个意想不到的性质．这种在M上非恰当的微分形式拉到M的主丛的全空间上成为恰当微分形式的现象称为“超度”，这个概念在陈省身的证明中起极重要的作用．

　　根据初等拓扑学，在闭黎曼流形M关于定点p的补集M＇上存在光滑的单位向量场e₁，这个向量场在p点的指标是X(M)．令e₂是M＇上与e₁正交的单位向量场，且(e₁，e₂)与M的定向一致．令θ是对偶标架场．因π·θ是M上的恒同映射，故于是

 

 

　　令Mε为M上去掉以p为心、以ε为半径的球所得的补集，

　　

　

　　

　　由于第二项的被积函数是连续的，当ε→0时该项趋于零；第一项正是所需的值．这就证明了高斯-邦尼公式．

　　现在我们考虑n维可定向黎曼流形，并且解释从2维高斯-邦尼公式发展出来的绝妙的结果．

　　如何用M的黎曼度量造出M上典型的微分式是一个基本问题．在其主丛的全空间F(M)上这是很容易的，只要取曲率形式Ω_ij的多项式即可．但是由此造出的微分形式∧不一定是M上的微分形式经过π拉回来的，即在M上不一定存在微分形式λ，使得∧=π*λ。

　　

　　 反对称矩阵，使它的第(i，j)个元素为X_ij(i＜j)．取g∈SO(n)，则矩阵

ad(g)X=gXg-1

　　

 

　　P∈，命(ad(g)P)(X)=P(ad(g)X)，这就定义了SO(n)在上的伴随作用．令为中在SO(n)的伴随作用下的不变多项式构成的子环．

　　因曲率形式Ω_ij是二次微分形式，在外积下彼此是可换的，故当P∈时，可用Ω代替X．若P是d次齐次多项式，则P(Ω)是F(M)上的2d次外微分形式．

　　

　　是一个截面．令ψ=θ*(Ω)，则θ*(P(Ω))=P(θ*(Ω))=P

　　

 

　　(g(ｘ))P)(ψx)，所以P(ψ)只是在M上局部可定义的，且与θ的选择有关．如果P∈，则P(ψ)就成为在整个M上定义的微分形式，且与θ的选择无关，因此P(ψ)由等式π(P(ψ)=P(Ω)唯一确定．

　　将高斯－邦尼公式推广到高维情况的方法有很多，但是最自然、最合理的方式是对每个n维紧致黎曼流形给定一个相伴的n次微分式λ，

　　

　　对偶定理可知X(M)=0，所以我们只考虑n=2k(但是奇维有边流形的公式是有趣的)．按上述讨论，我们应该找一个k次齐次伴随不变的多项式P，取λ=P(ψ)．由SO(n)的不变量理论，P有一个自然的候选者，即满足条件[Pf(X)]₂=det(X)的唯一的伴随不变多项式Pf(称为Pfaffian)．陈省身首次看出高斯-邦尼公式的被积式是Pf．在此之前，C．艾伦多弗(Allendoerfer)和费恩雪尔已各自证明了高维的高斯-邦尼公式，其被积式是一堆曲率张量的组合，而且证明是外蕴的，即假定M可以等距地浸入到欧氏空间(艾伦多弗及韦伊的证明只须假设M可局部等距浸入到欧氏空间即可，所以他们把高斯-邦尼公式推广到解析度量的情形)．然而陈省身在[1—25]中给出的是一个内蕴证明，是前面所介绍的曲面情形的证明的推广．

　　令S(M)为M的切球丛，Υ：S(M)→M为自然投影．对

　　F(M)中任一元素θ，令e₁(θ)代表θ的对偶标架的第一个向量，则e₁是从F(M)到S(M)的丛同态，且π=Υ·e₁．命λ=Pf(ψ)，∧=Υ*(λ)，则陈省身在[1—25]中首次证明了A的超度引理，即在S(M)上找到一个(n-1)次微分式Θ，使得dΘ=∧，且给出Θ的一个显式表示．与曲面情形的做法类似，令M＇为M上去掉一点p的补集，ξ为S(M)在M＇上的光滑截面，则得

 

　　因Θ是具体构造出来的，陈省身可以算出上面等式右端的值，它恰好是一个通用常数乘以M的欧拉示性数．

　　通常，数学家对于给出旧定理的新证明的评价不及给出新定理来得高，然而[1－25]却是例外．因为n维高斯-邦尼公式的早期证明几乎是条死胡同，而陈省身的内蕴证明却是进入示性类的秘门钥匙．

　　示性类

　　本文中一再出现的余标架丛F(M)是G-主丛的重要例子．主丛的定义和研究在30年代末已经开始，但是到40年代几何学家和拓扑学家才看清它的重要性，并进行全面的研究．到40年代末，完美的分类工作已经完成，并发展出一套丛上的“示性类”理论，示性类的观念的重要性在20世纪后半叶是无可言喻的．其实，分类问题是主丛的等价问题，而示性类是等价问题的不变量．为解释陈省身在这方面的贡献，我们先叙述一些背景材料．

　　G-主丛的理论与G的极大紧子群的主丛理论是相同的，故我们设G是紧李群．若仿紧空间P上有一个G的右作用，则称P为G空间．设g∈G，Rg表示g在P上的右作用给出的变换，即Rg(x)=xg．若当g≠e时Rg在P上没有不动点，则称G在P上的作用是自由的．所谓G-主丛是纤维化π∶P→X，使得P是自由的G空间，且X是P的G轨道空间P／G．所以G-主丛在点x的纤维是一条G轨道．P称为主丛的全空间，并常以P代表G-主丛．若映射σ：X→P满足π·σ=id，则称σ为P的一个截面．两个G-主丛π_i∶P→X称为等价的，如果存在上的右作用定义为Rg(x，h)=(x，hg)，π(x，h)=x，则称此G-主丛为平凡丛．映射x→(x，e)显然是此平凡丛的截面．反之，若一个G-主丛存在一个截面，则该主丛必是平凡的．令BndlG(X)表示X上的G-主丛P的等价类[P]构成的集合．

　　 设π∶P→X是一个G-主丛，f∶Y→X是连续映射，用f*(P)表示由f生成的诱导丛，它的全空间={(p，y)∈P×Y∶π(p)=f(y)}．G的右作用定义为Rg(p，y)=(Rg(p)，y)．容易看出f* 把等价丛诱导为等价丛，所以f*可看作从BndlG(X)到BndlG(Y)的映射．若π∶P→X是G-主丛，则π*(P)是P上的G-主丛，称为G-主丛P的“平方”．显然，映射p→(p，p)给出了。π*(P)的一个截面，所以π*(P)是平凡丛．下面将说明这个简单的观察是藏在“超度”背后的秘密．

　　 主丛理论的第一个重要事实是：给定映射f∶Y→X，则映射f*∶BndlG(X)→BndlG(Y)只与f的同伦类[f]有关．用范畴的语言来说就是：BndlG()是拓扑空间与映射同伦类的范畴到集的范畴的反变函子．上同调群H*()也是一个反变函子．示性类则是从BndlG()到H*()的一个自然的变换．当然这种花巧的语言并非是必须的．直接地说，所谓示性类c是一个函数，它对任意一个空间X上的每一个G-主丛P都指定了H*(X)中的一个元素c(P)，并且对于任意一个连续映射f∶Y→X满足c(f*(P))=f*(c(P))．用Char(G)表示所有G-主丛的示性类构成的集合．因为H*(X)是一个环，故Char(G)也是一个环．示性类的主要问题是确切地了解这个环．平凡G-主丛可以看成由一个常值映射诱导出来的，所以它的所有示性类为零(除了单位元示性类)．一般说来，所有示性类都相等是G-主丛等价的必要条件．

　　
想不到的是这种通用G-主丛是存在的，并且有多种构造方法．若取UG→BG为一个通用G-主丛，用[X，BG]表示从X到BG的映射同伦类的集合，则BndlG(X)可以与[X，BG]等同，因此BG称为G的分类空间．此外，dg的全空间是可缩的，BG的同伦型不依赖于通用丛的取法．若π∶P→X是一个G-主丛，则存在映射h∶X→BG，使得[h*(dg)]=[P]，且[h]是唯一的，映射h称为分类映射．

　　 现在可以容易地给出示性类问题的解，即Char(G)=H*(BG)，且若C∈H*(BG)，则c(P)=f*(c)，其中f是P的分类映射．

　　 以上是从1935年到1950年间主丛发展的要点，主要贡献者包括陈省身、C．埃瑞斯曼(Ehresmann)、H．霍普夫(Hopf)、J．费尔德保(Feldbau)、JI．C．庞特里亚金(ПOHTP)、N．E．斯廷罗德(Steenrod)、E．施蒂费尔(Stiefel)及H．惠特尼(Whitney)．上述理论虽然简单优美，但太抽象，在真要写出Ch-ar(G)时并不是真有用的．同时对于由几何问题产生的主丛的示性类计算也用不上，因为找分类映射并非易事．下面我们要讨论陈省身如何建立具体的分类空间，更重要的是如何用主丛上联络的曲率计算示性类的微分形式代表．

　　 令V(n，N+n)代表施蒂费尔流形，即R_n+n中所有正交n-标架e=(e₁，…，e_n)的空间．V(n，N＋n)是自由的O(n)空间，在e的轨道是由e₁，…，e_n所张的子空间上所有的正交基，所以轨道空间正是格拉斯曼流形Gr(n，N+n)．投影π∶V(n，N+n)→Gr(n，N+n)是O(n)-主丛．在40年代初期，斯廷罗德和惠特尼已证明：若N≥k+1，则此主丛是所有维数≤k的紧多面体上O(n)-主丛的通用主丛．在[1—43]陈省身与孙以丰将此结果推广到k维紧拓扑空间．若要得到Bo(n)只要取归纳极限π∶V(n，∞)→Gr(n，∞)即可．将实数换为复数或四元数体，他们也对U(n)-主丛和Sp(n)主丛证明了类似的结果．若G是任一紧群，则取正交表示 G→O(n)，于是V(n，N+n)成为自由G空间，V(n，N+n)／G是维数≤k的紧致拓扑空间的通用G-主丛．

　　 格拉斯曼流形是做分类空间的好模型，因为它的上同调群巳用代数的或几何的方法算出了．因而陈省身知道在Char(SO(n))中有一个欧拉类e．若M是n维紧致流形时，则eF(M))作为H_n(M)中的元素作用在基本类M上时便得到x(M)．高斯-邦尼公式可以解释为：λ=Pf(ψ)是e(F(M))作为德拉姆上同调类的代表．这也启发陈省身去寻找一般示性类的微分形式代表．此时正是1944—1945年陈省身在普林斯顿的时期，他的朋友韦伊鼓励他，并且经常与他讨论此问题．

　　寻找SO(n)示性类的微分形式代表看上去似乎是一个自然的问题，然而陈省身看清楚实格拉斯曼流形的上同调群非常复杂，而且有Z₂挠群，而此挠群用微分形式表达不出来；另外，陈省身从埃瑞斯曼的博士论文知道复格拉斯曼流形没有挠群，且舒伯特胞腔是以整数Z为系数的同调群的基；所以根据德拉姆定理，所有BU(n)的示性类可以由闭微分形式为代表．但要算某个U(n)-主丛P的示性类仍须知道P的分类映射，所以在实用上必须有一种从几何数据计算示性类的方法．下面将介绍陈省身的优美算法．

　　 设π∶P→M为流形M上的U(n)-主丛．P上的联络是在L(U(n))中取值的一次微分式ω，故ω的元素是复数值一次微分式ω_ij，

　　设是L(U(n))上的伴随不变多项式的集合，若Q∈，则Q(Ω)是由M上的唯一的一个微分形式Q(ψ)诱导而来的．陈省身用比安基恒等式证明Q(ψ)是闭的，故[Q(ψ)]∈H*(M)．令ω＇为P上另一个联络， Ω＇是曲率形式，则得M上另一个微分形式Q(ψ＇)使得π*(Q(ψ＇))=Q(Ω＇)．根据韦伊的一个引理，Q(ψ＇)与Q(ψ)只差一个恰当微分式，所以Q(P)=[Q(ψ)]=[Q(ψ)]是M上同一个上同调类，它与联络的取法无关，是一个示性类．

　　令h∶M＇→M是光滑映射，P是M上的U(n)-主丛，ω是P上的联络，则P，ω及其曲率Ω均可经h自然地诱导到M＇上．所以Q(h*(P))=h*(Q(P))，Q映至Q是由到Char(U(n))的环同态．因为韦伊的引理，陈省身称此为韦伊同态，但是一般称它为陈-韦伊同态．

　　L(U(n))上的伴随不变多项式环可以简单地写出来．令z为反埃尔米特n阶矩阵，σk(z)是det(z+tI)中t_n-k的系数，则σk(z)∈．实际上，σk(z)只是z的特征值的k次对称函数，例如σ₁(z)=tr(z)，σ_n(z)=det(z)．若P(t₁，…，t_n)∈C[t₁，…，t_n](即变量t₁，…，t_n的复系数多项式环)，则P(σ₁(z，…，σ_n(z))∈，且映射P(t₁，…，t_n)→P(σ₁(z)，…，σ_n(z))是从C[t₁，…，t_n]到的环同构．再引用埃瑞斯曼关于格拉斯曼流形的同调群的结果，陈省身看出陈-韦伊同态是同构．令rk(z)=

　　

 

　　(U(n))是由c₁，…，c_n生成的多项式环．

　　　

　　类．F．希策布鲁赫(Hirzebruch)用形式幂级数定出许多示性类，陈省

　　

　　格指标定理中起重要作用．

　　陈省身也将上面关于U(n)-主丛的示性类的结果推广到一般的紧致李群，Rad仍与以复数为系数的Char(G)同构．但一般说来，BG有挠群，故可能存在不能用微分形式表示的示性类．

　　在此后近20年陈省身未做示性类方面的研究，但在1974年他与J．西蒙斯(Simons)写了一篇在示性类方面极重要的文章[1—103]．该文对于主丛上的“超度”现象做了一个详尽的研究．令π∶P→M为G-主丛，ω，Ω如前所述．令Q是L(G)上ι次齐次的伴随不变的多项式，则存在唯一的、定义在M上的2ι次闭微分式Q(ψ)，使得π*(Q(ψ))

　　

 

　　[Q(Ω)]=[(Q(ψ))］=[Q(π*(ψ))]=ψ(π*(P))，且前面已说明P的平方π*(P)是平凡的。故它的示性类必为零，因此

　　地写出P上的一个(2ι—1)次微分形式TQ(ω)，使得dTQ(ω)=Q(Ω)．TQ(ω)在丛及联络的诱导下是自然的(即TQ(f*ω)=f*(TQ(ω))等．设2ι＞n，则以Q(Ω)=0，故TQ(ω)是闭的，[TQ(ω)]是H_2ι-1(P)中的一个元素．当 2ι＞M+1时，他们证明[TQ(ω)]与ω的选择无关，称为从属示性类(the secondary characteristic classes)．而且当2ι=n+1时，他们证明[TQ(ω)]确实与联络ω有关．

　　

　　 的伴随不变多项式．取Q=Q_2k-1，设P是M上的切标架丛，ω是黎曼结构的列维-奇维塔联络，他们证明[TQ(ω)]属于h*(P)，并且它与黎曼度量的取法有关，而在黎曼度量的保形变换下是不变的．这是一个惊人的结果．这个不变量近来在物理学共形量子场论的表述中要用到．

　　 另外，陈省身与R．博特(Bott)合作的论文［1—92］中讨论了n维复流形X上的全纯埃尔米特向量丛E的示性类及其超度．复流形上　　纯截面的零点的研究．这个理论与代数数论有密切关系，J．M．比斯穆特(Bismut)，H．吉勒特(Gillet)和C．索尔(Soule)有重要的发挥．

　　陈省身是享誉世界的数学家，尤其是在微分几何学及拓扑学方面做出了非常杰出的重要贡献．他被公认为20世纪后半叶杰出的几何学家．正如20世纪前半叶的几何学带有E．嘉当的消除不掉的印记一样，在过去50年中所描绘的几何学留下了陈省身的硕大的印章．除了他的科学成就赢得的崇敬和赞誉之外，无数的同事、学生和朋友对他怀有深厚的感情和敬意．这反映了他的人生的另一个方面——陈省身总是对他人显示友谊、热情和关怀，他始终如一地像致力于自己的研究工作那样来帮助年轻的数学家充分发展他们的潜能．

　　 本文的材料主要取自：《陈省身论文选集》(S．S．Chern，Se-lected papers，vol．1—vol．4，SPringer－Verlag，1978—1989)；《陈省身文选——传记、通俗演讲及其它》(科学出版社，1989)；以及作者与陈省身本人的多次谈话．文中，记号[1—25]，[1—30]等分别表示文献中所列的陈省身的出版物的序号．