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现代数学概观-二十世纪的数学_百度文库
2010年11月23日 ... Lighthill，1924—)引进自变量的非线性变换，使得庞加莱正则摄动方法也能产生有效渐近解，这方法于1953年由郭永怀，(1909—1968)发展后被命名为PLK ...
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马尔可夫链在自然界与社会现象中,许多随机现象遵循下列演变规律,已知某个系统(或过程)在时 刻 t = t0 所处的状态,与该系统(或过程)在时刻 t > t0 所处的状态与时刻 t < t0 所处的状态无 关.例如,微分方程的初值问题描述的物理系统属于这类随机性现象.随机现象具有的这种 , 特性称为无后效性(随机过程的无后效性),无后效性的直观含义:已知"现在""将来"和 "过去"无关. 在贝努利过程 X ( n ) , n ≥ 1 中, X ( n ) 表示第 n 次掷一颗骰子时出现的点数, 设 易见, 今后出现的点数与过去出现的点数无关. 在维纳过程 X ( t ) , t ≥ 0 中,设 X ( t ) 表示花粉在水面上作布朗运动时所处的位置,易 见,已知花粉目前所处的位置,花粉将来的位置与过去的位置无关. 在泊松过程 {N ( t ) , t ≥ 0} 中,设 N ( t ) 表示时间段 [0, t ] 内进入某商店的顾客数.易见, 已知时间段 [0, t0 ] 内进入商店的顾客数 N ( t0 ) ,在时间段 [0, t ] ( t > t0 ) 内进入商店的顾客数 { } { } N ( t ) 等于 N ( t0 ) 加上在时间段 (t0 , t ] 内进入商店的顾客数 N ( t ) N ( t0 ) ,而与时刻 t0 前进入商店的顾客无关. 一,马尔可夫过程 定义:给定随机过程 { X (t ) , t ∈T } . 如 果 对 任 意 正 整 数 n ≥ 3 , 任 意 的 t1 < t2 < < tn , ti ∈ T , i = 1, , n ,任意的 x1 , , xn 1 ∈ S , S 是 X ( t ) 的状态空间,总有 P ( X n ≤ xn | X ( t1 ) = x1 , X ( tn 1 ) = xn 1 ) = P ( X n ≤ xn | X ( tn 1 ) = xn 1 ) , xn ∈ R 则称 X ( t ) , t ∈ T 为马尔可夫过程. 在这个定义中,如果把时刻 tn 1 看作"现在" ,时刻 tn 是"将来" ,时刻 t1 , , tn 2 是"过 去" .马尔可夫过程要求:已知现在的状态 X ( tn 1 ) = xn 1 ,过程将来的状态 X ( tn ) 与过程 过去的状态 X ( t1 ) = x1 , , X ( tn 2 ) = xn 2 无关.这就体现了马尔可夫过程具有无后效性. 通常也把无后效性称为马尔可夫性. 从概率论的观点看, 马尔可夫过程要求, 给定 X ( t1 ) = x1 , , X ( tn 1 ) = xn 1 时,X ( tn ) 的条件分布仅与 X ( tn 1 ) = xn 1 有关,而与 X ( t1 ) , , X ( tn 2 ) 无关. 1 { } 二,马尔可夫链及其转移概率 马尔可夫链是参数离散,状态离散的最简单的马尔可夫过程.在马尔可夫链 { X ( t ) , t ∈ T } 中,一般取参数空间 T = {0,1, 2,} .马尔可夫链的状态空间 E 的一般形式是 E = {0,1, 2,} . 1,马尔柯夫链定义: 一个随机序列{X(t), t=1,2,3,…}取值于正整数空间 E={0,1,2,……},或者为 E 的子集, 如果有: P X ( tn ) = xn | X ( t1 ) = x1 , X ( tn 1 ) = xn 1 ( ) = P ( X ( tn ) = xn | X ( tn 1 ) = xn 1 ) xi∈E={0,1,2,……} ; i=1,2,… 则称为序列 X ( t ) , t ∈ T 为马尔柯夫(Markov)链.这种序列具有马尔可夫性,也叫无后致 性.注意:t 和 i 均取整数. 2,马尔柯夫链的含义: 可以这样理解:序列 X ( t ) 的"将来"只与"现在"有关而与"过去"无关. 3,马尔柯夫链的状态: 马尔柯夫链序列 X ( t ) 中的某一个符号 X(ti)的数值一定为 E 中的某一个元素 xi(或 ,这时,称 xI(或 xj)为随机序列的一个状态 Si. xj) 4,马尔柯夫链的一步转移概率 马尔柯夫(Markov)链的统计特性用条件概率(状态转移概率)来描述: 习惯上把转移概率记做 (1) P ( X ( t + 1) = xn | X ( t ) = xn 1 ) = P ( X ( t + 1) = j | X ( t ) = i ) = pij ( t ) = pij ( t ) { } { { } } 这称为马氏链的一步转移概率.为马尔柯夫链从状态 i 变为状态 j 的条件概率. 它满足:(概率的加法公式) pij(1)(t)≥0 i j ∈E ∑ p (t ) = 1 j∈E ij i∈E 5,马尔柯夫链的 K 步转移概率: 其 k 步转移概率为:为马尔柯夫链从状态 i 经过 k 步(k 个单位时间)后变为状态 j 的条件 概率: ( P ( X ( t + k ) = j | X ( t ) = i ) = pijk ) ( t ) 它满足: p(k)ij(t)≥0 i j ∈E ∑p j∈E (k ) ij (t ) = 1 i∈E 6,平稳马尔柯夫链的性质: 如果马尔柯夫链是平稳的,即与时刻无关,与 t 无关,我们讨论的马尔柯夫链只是这种最简 2 单的情况. 这种平稳马氏链称为齐次马氏链. 由于这种齐次马尔柯夫链的转移概率与时间无 关,因此去掉其时间变量 t,其中的一步转移概率为 pij = pij ,k 步转移概率为 pij ,n 步 转移概率为 pij . 定义 2:向量 u = u1 , u2, , un 称为概率向量,如果 u 满足: (n) (1) (k ) ( ) u j ≥ 0, j = 1, 2, , n ∑u i =1 n i =1 定义 3:若方阵 P 的每行都为概率向量,则称此方阵为概率矩阵. 可以证明,如果矩阵 A 和 B 皆为概率矩阵, AB, Ak , B k 也都是概率矩阵(k 为正整数) 则 由所有一步转移概率组成的矩阵称为一步转移概率矩阵表示为: p11 p P = 21 pn1 p12 p22 pn 2 p1n p2 n pnn 0.8 0.2 P = 1 0.7 0.3 0.8 0.18 0.02 P2 = 0.65 0.25 0.1 0 0 1 转移矩阵必为概率矩阵,且具有以下两个性质: 1) P (k ) = P ( k 1) P = Pk 2) P (k ) 下面主要学习正则链和吸收链 1,正则链:这类马氏链的特点是,从任意状态出发经过有限次转移都能达到另外的任 意状态,有如下定义. 定义 4 一个有 n 个状态的马氏链如果存在正整数 N,使从任意状态 i 经过 N 次转移都 已大于零的概率到达状态 j ( i, j = 1, 2, , n ) ,则称为正则链. 正则链的判断方法:对于概率矩阵 P,若幂次方 P m 的所有元素皆为正数(指 P m 的每一 元素大于零),则矩阵 P 称为正规概率矩阵,此时马氏链称为正则链,或者称马氏链具有遍 历性. 遍历性的直观含义: 一个遍历的马尔可夫链经过相当长的时间后, 它处于各个状态的概 率趋于稳定,且概率稳定值与初始状态无关.在工程技术中,当马尔可夫链的极限概率分布 存在时,它的遍历性表示一个系统经过相当长时间后趋于平衡状态,这时,系统处于各个状 态的概率分布即不依赖于初始状态,也不在随时间的推移而改变. 一步转移概 设系统的极限分布(也是稳态分布)用行向量 π = (π 0 , π 1 , π 3 , , π n ) 来表示, 3 率矩阵为 P,则有 π P = π ,且 ∑ π i = 1 i =1 n 从而可以解出系统的极限分布(或稳态分布) 从状态 i 出发经 k 次转移, 第一次到达状态 j 的概率称为 i 到 j 的首达概率, 记做 fij ( n ) , 于是 ij = ∑ nf ij ( n ) i =1 ∞ 为由状态 i 第一次到达状态 j 的平均转移次数,特别的, ii 是状态 i 首次返回的平均转移次 数, ii 与稳态概率 ω 有密切关系,即对于正则链, ii = 1/ π i 马尔可夫链模型: 马尔可夫链模型: 设系统在 k = 0 时所处的初始状态 S 所处的状态向量 S (k ) ( 0) ( ( = S1( 0) , S 20) , , S n0 ) 为已知,经过 k 次转移后 ( ) ( ( = S1( k ) , S 2k ) , , S nk ) ( ) ( k = 1, 2,) ,则 p1n p2 n pnn k S( k) p11 p 0 0 = S ( ) P k = S ( ) 21 pn1 p12 p22 pn 2 此式即为马尔可夫预测模型. 由上式可以看出, 系统在经过 k 次转移后所处的状态 S (k ) 只取决于它的初始状态 S ( 0) 和 转移概率 P.因此对于马氏链模型最基本的问题是构造状态 X ( t ) 及写出转移矩阵 P,一旦 构造状态 有了 P,那么给定初始状态概率 S 2, 吸收链 在马尔可夫链中,称 pij = 1 的状态 i,j 为吸收状态.如果一个马尔可夫链中至少包含一 个吸收状态,并且从每一个非吸收状态出发,都可以到达某个吸收状态,那么这个马尔可夫 链称为吸收链. 含有 m 个吸收状态和(n-m)个非吸收状态的吸收链,其转移矩阵的标准形式为 ( 0) 就可以用上式计算任意时段的状态概率 S (k ) . I m×m Pn×n = R Q( n m )×( n m ) 0 (1) 其中矩阵 R 中含有非零元素, I m×m 为 m 阶单位矩阵. Q 不是概率矩阵,它至少存在一个小 于 1 的行和,且如下定理成立. 4 定理 1 对于吸收链 P 的标准形式(1), ( I Q ) 可逆, M = ( I Q ) 1 = ∑ Q s ,记元素全 s =0 ∞ 为 1 的列向量 e = (1,1, ,1)′ ,则 y = Me 的第 i 分量是从第 i 个非吸收态出发,到某个吸收 状态吸收的平均转移次数. 设状态 i 是非吸收态,j 是吸收状态,那么首达概率 fij ( n ) 实际上是 i 经 n 次转移被 j 吸收的概率,而 f ij = ∑ f ( n ) 则是从非吸收状态 i 出发终被吸收状态 j 吸收的概率,记 n =1 ij ∞ F = { f ij } ( k r )× r ,下面的定理给出了计算 fij 的方法. 定理 2 设吸收链的转移矩阵 P 表为标准形式(1),则 F = MR 例 1,设马尔可夫链 X ( t ) , t ≥ 0 的状态空间 E = {1, 2,3} ,一步转移概率矩阵为 { } 1/ 4 3 / 4 0 P = 1/ 3 1/ 3 1/ 3 0 1/ 4 3 / 4 初始分布为 S ( 0) = (1/ 4,1/ 2,1/ 4 ) ,即 1 1 1 P ( X ( 0 ) = 1) = , P ( X ( 0 ) = 2 ) = , P ( X ( 0 ) = 3 ) = 4 2 4 则 P ( 2 ) = P ( 0 ) P 2 = (113 / 576, 230 / 576, 233 / 576 ) 用 Matlab 计算如下:s0=[1/4 1/2 1/4]; P=[1/4 3/4 0;1/3 1/3 1/3;0 1/4 3/4]; S2=s0*P.^2=(0.0712 0.2118 0.1962) 稳态分布 T=(t1,t2,t3),TP=T,变换后 (P'-E)T'=0 T=(0.16 0.36 0.48) 附程序:liyiw.m 市场占有率模型设有甲,乙,丙三家企业,生产同一种产品,共同供应 1000 家用户,各用户在各企业 间自由选购,但不超出这三家企业,也无新的客户.假定在 10 月末经过市场调查得知,甲, 乙,丙三家企业拥有的客户分别是:250 户,300 户,450 户,而 11 月份用户可能的流动情 况如表所示: 从 甲 乙 丙 ∑ 到 甲 230 20 30 280 乙 10 250 10 270 5 丙 10 30 410 450 ∑ 250 300 450 1000 假定该产品用户的流动按上述方向继续变化下去(转移概率不变),预测 12 月份三家企 业市场用户各自的拥有量, 并计算经过一段时间后, 三家企业在稳定状态下该种产品的市场 占有率. 解:第一步:根据调查资料,确定初始状态概率向量,这里 ( S ( 0) = S1( 0) , S 20) , S3( 0) = ( 250 /1000,300 /1000, 450 /1000 ) ( ) = ( 0.25, 0.3, 0.45 ) 第二步:确定一次转移概率矩阵,此例由用户可能流动情况调查表可知,其一步转移概 率矩阵为 230 / 250 10 / 250 10 / 250 0.92 0.04 0.04 P = 20 / 300 250 / 300 30 / 300 = 0.067 0.833 0.1 30 / 450 10 / 450 410 / 450 0.067 0.022 0.911 矩阵中每一行的元素, 代表着各企业保持和失去用户的概率, 如第一行甲企业保持用户 的概率是 0.92,转移到乙,丙两企业的概率都是 0.04,甲企业失去用户的概率是 0.04+0.04 =0.08. 第三步:利用马尔可夫链模型进行预测.显然,12 月份三家企业市场占有率为 ( S ( 2 ) = S1( 2 ) , S 22) , S3( 2) = S ( 0) P 2 ( ) 0.92 0.04 0.04 = ( 0.25, 0.3, 0.45 ) 0.067 0.833 0.1 = ( 0.2150,0.2088,0.3769 ) 0.067 0.022 0.911 12 月份三个企业市场用户拥有量分别为: 甲:10000.215=215 户 乙:10000.2088=208.8 户 丙:10000.3769=376.9 户 现在,假定该产品用户的流动情况按上述方向继续变化下去,我们来求三个企业的该 种产品市场占有的稳定状态概率. 易验证 P 为正规矩阵,设 t = ( x, y,1 x y ) , 令 tP = t 2 0.92 0.04 0.04 ( x, y,1 x y ) 0.067 0.833 0.1 = ( x, y,1 x y ) 0.067 0.022 0.911 将上式展开,得联立方程式 0.92 x + 0.067 y + 0.067 (1 x y ) = x 0.04 x + 0.833 y + 0.022 (1 x y ) = y 解之得 x = 0.4558, y = 0.1598, 0.04 x + 0.1 y + 0.911(1 x y ) = 1 x y 故 ( x, y,1 x y ) = ( 0.4558, 0.1598, 0.3844 ) 上述结果表明: 如果甲, 丙三家企业的市场占有率照目前转移概率状态发展下去, 乙, 6 那么经过一段时间后,三企业的市场占有率分别为 45.58%,15.98%和 38.44%.显然,对于 乙,丙两企业而言,必须迅速找出市场占有率下降的原因. 最佳服务地点选择市汽车出租公司在甲,乙,丙三处开设租车还车处.顾客可在甲,乙,丙三处任意租车 和还车. 今公司准备在上述三处之一设立汽车维修保养厂. 初步确定在汽车集中比较多的一 处设置维修保养场.根据统计资料,顾客在上述三处还车的概率如表所示,试确定在何处设 汽车维修保养场. 还车的概率 还车处 租车处 甲 乙 丙 甲 0.8 0.2 0.2 乙 0.2 0 0.2 丙 0 0.8 0.6 解:由题意可知,该问题的转移概率矩阵 P 为: 0.8 0.2 0 0.68 0.16 0.16 2 P = 0.2 0 0.8 , P = 0.32 0.2 0.48 0.2 0.2 0.6 0.32 0.16 0.52 2 因为 P 的所有元素都大于零,所以 P 为正规矩阵.当甲,乙,丙三处租车,还车业务开展 一定时期后,就会达到平衡条件,这样就可以得到一固定概率 t ,使得 tP = t 成立,即 0.8 0.2 0 ( x, y,1 x y ) 0.2 0 0.8 = ( x, y,1 x y ) 0.2 0.2 0.6 上式展开,得 成立 0.8 x + 0.2 y + 0.2 (1 x y ) = x 0.2 x + 0.2 y + 0.2 (1 x y ) = y 0.2 x + 0.8 y + 0.6 (1 x y ) = 1 x y 解上述联立方程式,得 x = 0.5, y = 0.167 故 ( x, y,1 x y ) = ( 0.5, 0.167, 0.333) 由上述计算可知,在稳定状态汽车还到甲处得概率为 0.5,即向甲处还车得概率占出租 汽车得一半,其余乙,丙处总共也只有一半,因此汽车维修保养场设在甲处是最佳得选择. 变. 钢琴销售的存储策略 7 一家商店根据以往经验,平均每周只能售出 1 架钢琴,现在经理制定的存储策略是, 每周末检查库存量,仅当库存量为零时,才定购 3 架供下周销售;否则,不定购.试估计在 这种策略下失去销售机会的可能性有多大,以及每周的平均销售量是多少? 问题分析 对于钢琴这种商品的销售,顾客的到来是相互独立的,在服务系统中通常认为需求量 近似服从泊松分布,其参数可由每周销售 1 架得到,由此可以算出不同需求量的概率.周末 的库存可能是 0,1,2,3,周初的库存量只有 1,2,3 这 3 种状态,每周不同的需求将导 致周初库存状态的变化, 于是可用马氏链来描述这个过程. 当需求超过库存时就会失去销售 机会,可以计算这种情况发生的概率,在动态过程中这个概率每周是不同的,每周的销售量 也不同,通常采用的办法是在时间充分长以后,按稳态情况进行分析和计算. 模型假设 1,钢琴每周需求量服从泊松分布,均值为每周 1 架 2,存储策略是:当周末库存量为零时,定购 3 架,周初到货;否则不订购 3,以每周初的库存量作为状态变量,状态转移具有无后效性. 4,在稳态情况下计算该存储策略失去销售机会的概率,和每周的平均销售量 模型建立 记第 n 周的需求量为 Dn ,由假设 1, Dn 服从均值为 1 的泊松分布,即 p ( Dn = k ) = e 1 / k ! ( k = 0,1, 2,) (1) 记第 n 周的库求量为 Sn , S n ∈ {1, 2,3} 是这个系统的状态变量,由假设 2,状态转移概率为 S Dn Sn +1 = n 3 Dn < Sn Dn ≥ Sn (2) 由(1)式不难算出 p ( Dn = 0 ) = 0.368, p ( Dn = 1) = 0.368, p ( Dn = 2 ) = 0.184, p ( Dn = 3) = 0.061, p ( Dn > 3) = 0.019, 由此计算状态转移概率 p11 = P ( Sn +1 = 1| Sn = 1) = P ( Dn = 0 ) = 0.368 p12 = P ( Sn +1 = 2 | Sn = 1) = 0 p13 = P ( Sn +1 = 3 | Sn = 1) = P ( Dn ≥ 1) = 0.632 p21 = P ( Sn +1 = 1| Sn = 2 ) = P ( Dn = 1) = 0.368 p22 = P ( Sn +1 = 2 | Sn = 2 ) = P ( Dn = 0 ) = 0.368 p23 = P ( Sn +1 = 3 | Sn = 2 ) = P ( Dn ≥ 2 ) = 0.264 p31 = P ( Sn +1 = 1| Sn = 3) = P ( Dn = 2 ) = 0.184 p32 = P ( Sn +1 = 2 | Sn = 3) = P ( Dn = 1) = 0.368 8 p33 = P ( Sn +1 = 3 | S n = 3) = P ( Dn = 0 ) + P ( Dn ≥ 3) = 0.448 得到转移概率矩阵 0 0.632 0.368 P = 0.368 0.368 0.264 0.184 0.368 0.448 记状态概率 ai ( n ) = P ( S n = i ) , i = 1, 2,3, a ( n ) = a1 ( n ) , a2 ( n ) , a3 ( n ) , 根据状态转 移具有无后效性的假设,有 a ( n + 1) = a ( n ) P ,又易验证 P 是正则链,具有稳态分布 w , 由 ( ) wP = w, ∑ wi = 1 ,可得到 w = ( w1 , w2 , w3 ) = ( 0.285,0.263, 0.452 ) i =1 3 该存储策略(第 n 周)失去销售机会的概率为 P ( Dn > S n ) ,按照全概率公式有 P ( Dn > S n ) = ∑ P ( Dn > i | S n = i ) P ( S n = i ) i =1 3 其中的条件概率 P ( Dn > i | S n = i ) 容易有(1)式计算,当 n 充分大时,可以认为 P ( Sn = i ) = wi .i = 1, 2,3 最终得到 P ( Dn > Sn ) = 0.264 × 0.285 + 0.080 × 0.263 + 0.019 × 0.452 = 0.105 即从长期看,失去销售机会的可能性大约 10%. 在计算该存储策略(第 n 周)的平均销售量 Rn 时,应注意到,当需求超过存量时只能销 售掉存量,于是 3 i 1 Rn = ∑ ∑ jP ( Dn = j | Sn = i ) + iP ( Dn ≥ i | Sn = i ) P ( Sn = i ) i =1 j =1 同样的,当 n 充分大时用稳态概率 wi 代替 P ( S n = i ) ,得到 Rn = 0.632 × 0.285 + 0.896 × 0.263 + 0.977 × 0.452 = 0.857 即从长期看,每周的平均销售量为 0.857 架,这个数值略小于模型假设中给出的每周平均平 均需求量为 1 架. 基因遗传 9 豆科植物茎的颜色有绿有黄,生猪的毛有黒有白,有粗有光,人类会出现先天性疾病如 色盲等, 这都是基因遗传的结果, 基因从一代到下一代的转移是随机的, 并且具有无后效性, 因此马氏链模型是研究遗传学的重要工具之一. 本节给出的简单模型属于完全优势基因遗传 理论的范畴. 生物的外部表征, 如豆科植物茎的颜色, 人的皮肤或头发, 由生物体内相应的基因决定, . 基因分优势基因和劣势基因两种, 分别用 d 和 r 表示, 每种外部表征由体内的两个基因决定, 而每个基因都可以是 d 或者 r 中的一个,于是由三种基因类型,即 D(dd),H(dr),R(rr),分 别称为优种,混种,和劣种,含优种 D(dd)和混种 H(dr)基因类型的个体,外部表征呈优势, 如豆科植物的茎呈绿色,人的皮肤或头发有色素,含劣种 R 基因类型的个体,外部特征呈 劣势,如豆科植物的茎呈黄色,人的皮肤或头发无色素. 生物繁殖时,一个后代随机地继承父亲两个基因中的一个和母亲两个基因中的一个, , 形成它的两个基因, 一般的两个基因中哪个遗传下去是等概率的, 所以父母的基因类型就决 定了每一后代基因类型的概率.父母基因类型,有全是优种 DD,全是劣种 RR,一优种一混 种 DH(父为 D,母为 H;或者父为 H,母为 D)及 DR,HH,HR 共 6 种组合,对每种组合简 单的计算可以得到其后代各种基因类型的概率,如表格 4 所示 父母基因类型 DD 后代基因类型 D H R 1 0 0 0 0 1 1/2 1/2 0 0 1 0 1//4 1/2 1/4 0 1/2 1/2 RR DH DR HH HR 表格 4 父母基因类型决定后代各种基因类型的概率 下面我们就马氏链为工具讨论两个具体的基因遗传模型, 随机交配 这是自然界中生物群体的一种常见的,最简单的交配方式.假设一个群体中 雄性和雌性的比例相同,并且有相同的基因类型分布,即雄性中 D,H,R 的比例和雄性中 D,H,R 的比例相等.所谓随机交配是指:对于每一个(不论属于 D,H 或 R)的雌性(或雄性)个 体,都以 D,H,R 的数量比例为概率,与一个雄性(或雌性)个体交配,其后代则按照前面所说 的方式,等概率的继承其父母亲的各一个基因,形成它的基因类型.假定在初始一代的群体 中,三种基因类型的数量比例是 D(dd):H(dr):R(rr)=a:2b:c,满足 a+2b+c=1,记 p=a+b,q=b+c,则 群体中优势基因 d 与劣势基因 r 的数量比例为 d:r=p:q,且 p+q=1. 下面讨论随机交配方式产生的一系列后代群体中的基因类型分布. 用 X n = 1, 2,3 分别表示第 n 代的一个体属于 D,H 及 R 基因类型,即 3 种状态, n = 0,1, 2, , ai ( n ) 表示个体属于第 i 种状态的概率, i = 1, 2,3 ,可视为第 n 代的群体属于第 i 种基因类型的比例. 转移概率 pij 可用 pij = P (一个后代具有基因类型 j|母亲具有基因 类型 i)来计算.在已知母亲基因类型的条件下,后代的基因类型取决于父亲的基因类型,值 得指出的是,在计算 pij 时与其考虑被随机选择为父亲的 3 种不同基因类型的比例 a:2b:c, 不如直接考察从雄性群体中以 p:q 的比例获得优势基因 d 和劣势基因 r,比如 p11 = P (后代为 D(dd)|母亲为 D(dd))=p 10 p12 = P (后代为 D(dr)|母亲为 D(dd))=q p13 = P (后代为 D(rr)|母亲为 D(dd))=0 p21 = P (后代为 D(dd)|母亲为 H(dr))=p/2 因为后代需要以 1/2 的概率从母体获得 d,同时以 p 的概率从雄性群体中获得 d p22 = P (后代为 D(dr)|母亲为 H(dr))=p/2+q/2 p23 = q / 2 ,同样的方法算出 p31 , p32 , p33 后得到转移概率矩阵 q 0 p P = p / 2 1/ 2 q / 2 0 p q 若初始一代是从 3 种基因类型比例为 a:2b:c 的群体种随机选取的,那么初始状态概率 为 a ( 0 ) = ( a, 2b, c ) ,其中 a,2b,c 满足 p=a+b,q=b+c, 利用马氏链基本方程可以得到 a (1) = a ( 0 ) P = ( p 2 , 2 pq, q 2 ) a ( 2 ) = a (1) P = a ( 0 ) P 2 = ( p 2 , 2 pq, q 2 ) 显然这个分布将保持下去,这表明在随机交配方式中第一代继承者的基因类型分布为 D : H : R = p 2 : 2 pq : q 2 并永远不变.这个结果在遗传学中称 Hardy-Weinberg 平稳定律. 容易判断这是一个正则链,可计算出它的稳态分布为 π = p 2 , 2 pq, q 2 .表明即使初 始分布不是从群体中随机选取, 在随机交配方式下, 经过足够长时间后 3 种基因类型的分布 也趋向上述稳定分布. 这个模型得到的结果的正确性已有观察和试验证明.如自然界中通常有 p=q=1/2,于是 3 种基因类型的平稳分布为 D : H : R = 1/ 4 :1/ 2 :1/ 4 , 而优种 D 和混种 H 的外部表征呈优 势.据观察,豆科植物茎呈绿色(优势表征)的约占 3/4,与上面的结果相一致. 最后考察在随机交配下 3 种基因类型的首次返回平均转移稀疏,即平均经过多少代每 种基因类型首次回到原来的类型.D,H,R 类型的首次返回平均换代数目 ( ) 11 = 1/ p 2 , 22 = 1/ 2 pq, 33 = 1/ q 2 即一个群体中基因 d 越多(p 越大),基因类型 D(dd)的平均换代数目越小.特别,当 p=q=1/2 时,D,H,R 的平均换代数目分别为 4(代),2(代)和 4(代). 近亲繁殖: 这是指这样一种繁殖方式,从同一对父母的大量后代中,随机的选取一雄一雌进行交 配,产生后代,如此继续下去,考察一系列后代的基因类型的演变情况. 与前面的模型不同的是,那里讨论后代群体中基因类型的分布,只许设置 D,H,R 三个 11 状态即可,这里则需按照随机选取的雄雌配对,分析后代配对中基因类型的变化.于是状态 应取雄雌 6 种基因类型组合,设 X n = 1, 2,3, 4, 5, 6 依次定义为 DD,RR,DH,DR,HH,HR. 构造马氏链模型的关键是写出转移概率 pij ,它可根据本节开始给出的表看出,显然 p11 = 1, p1 j = 0 ( j ≠ 1) , p22 = 1, p2 j = 0 ( j ≠ 2 ) , 因为父母全为优种 D(或劣种 R)时, 后代全是优种(或劣种),随机选取的雄雌配对当然也是. p31 = 1/ 4 因为配对 DH(状态 3)的后代中 D 和 H 各占 1/2,所以随即选取得配对为 DD(状态 1)的概率是 1/2×1/2=1/4; p31 = P (后代配对为 DH|父母配对为 DH)=P(后代雄性为 D, 雌性为 H|父母配对为 DH) +P(后代雄性为 H,雌性为 D|父母配对为 DH)=1/2×1/2+1/2×1/2=1/2; 同理 p33 = 1/ 4 ,又因配对 DH 的后代中没有 R,故对于含有 R 的状态 2,4,6,有 p32 = p34 = p36 = 0 其他的 pij 可以类似的计算,最后得到转移矩阵为 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1/ 4 0 1/ 2 0 1/ 4 0 P= 0 0 0 1 0 0 1/16 1/16 1/ 4 1/ 8 1/ 4 1/ 4 0 1/ 4 0 0 1/ 4 1/ 2 容易看出,状态 1(DD)和状态 2(RR)是吸收态,这是一个吸收链.它表明不论最初选取得配 对是哪种基因类型组合,经过若干代近亲繁殖,终将变为 DD 或 RR,即变成全是优种或全 是劣种,而且一旦如此,就永远保持下去. 为了计算从任一个非吸收态 3,4,5,6 出发,平均经过多少代就会被吸收状态 1,2 吸收, 我们首先将矩阵 P 转化为前面给出的转移矩阵地标准形式,得到 0 1/ 2 0 1/ 4 0 1/ 4 0 1 0 0 0 0 Q= ,R = 1/ 4 1/ 8 1/ 4 1/ 4 1/16 1/16 0 1/ 4 1/ 2 1/ 4 0 0 则 8/3 4/3 1 M = ( I Q) = 4/3 2/3 4 / 3 2 / 3 4 / 3 8 / 3 4 / 3 1/ 3 8 / 3 4 / 3 1/ 6 4 / 3 8 / 3 1/ 6 12 5 2 2 5 ′ y = Me = 4 , 6 ,5 , 4 6 3 3 6 3/ 4 1/ 2 F = MR = 1/ 2 1/ 4 1/ 4 1/ 2 1/ 2 3/ 4 5 代就会被状态 DD 或 RR 吸收, 6 M 的第 1 行至第 4 行依次代表非吸收态 DH,DR,HH 和 HR, 由定理对 y 的各个分量的解释, 从 DH 配对的状态出发,在近亲繁殖的情况下平均经过 4 即全变成优种或劣种.而根据定理 2,被吸收态吸收的概率为矩阵 F 的第 1 行元素,即变 成优种和劣种的概率分别为 3/4 和 1/4.从其他状态 DR,HH 和 HR 出发,可以得到相应的 结论. 上述结果的使用价值在于,在农业&畜牧业中常常是纯种(优种或劣种)生物的某些品 质(如抗病性)不如混种,所以在近亲繁殖情况下大约经过 5～6 大就应该重新选种,以防品 质的下降. 练习 1,某企业根据前一年 ( t = 0 ) 统计得知,该企业共有技术人员 300 名.其中技术员职 称的有 140 名,助理工程师 100 名,工程师(包括高级工程师)60 名.现若规定技术员每年 可由 30%的人数晋升为助理工程师, 又有 10%的技术员因各种原因调离该企业, 余下 60% 的技术员留任其原来岗位. 而助理工程师每年要有 40%留任, 30%晋升工程师, 30%调离. 工程师则每年有 60%留任,40%调离或退休.同时,该企业计划每年向社会招聘 80 名大 专学生以补充技术员队伍.现要求预测今后 5 年内该企业技术人员总的拥有量及各类技术 人员的分布情况,假定 5 年内人员晋升,流动情况按上述比例不变. 2, 将钢琴销售的存储策略修改为:当周末库存量为 0 或 1 时,订购,使下周初的库 存量达到 3 架;否则,不订购,建立马氏链,计算稳态下失去销售机会的概率,和每周的 平均销售量. 解:仍以第 n 周初的库存量为状态 S n , S n = 2, 3 ,需求概率不变,容易算出状态转移 概率矩阵为 0.368 0.632 P= 0.368 0.632 稳态概率分布为 ω = ( 0.368, 0.632 ) ,稳态下失去销售机会的概率 p=0.041,每周的平均销 售量 R=0.947. 3,老 K 公司生产的某家电产品与其他两家生产同类产品的 A 公司和 B 公司相竞争. 现计划用加强广告宣传的方法以增加改产品的市场占有率.今拟定了两个广告宣传方案 D1 和 D2 ,公司决策人在两个条件相同(指初始市场占有率和初始转移概率矩阵相同)的地区试 13 用这两个广告方案,试验结果得到不同的转移概率矩阵.今已知市场占有率的全国水平是: 老 K 公司产品为 28%,A 公司产品为 39%,B 公司产品为 33%.求解下述问题: (1)用初始转移概率矩阵确定在稳定(平衡)时, 该两试验地区市场占有率是否接近全国水 平? 在稳定(平衡)时哪种广告宣传能有最高的 (2)假定两个广告宣传方案 D1 和 D1 成本相同, 市场占有率? 已知初始转移概率矩阵为: K A B K 0.6 0.3 0.1 A 0.2 0.7 0.1 B 0.1 0.1 0.8 广告 D1 推出后的转移概率矩阵为:K A B K 0.7 0.2 0.1 A 0.2 0.7 0.1 B 0.1 0.1 0.8 广告 D2 推出后的转移概率矩阵为:K A B K 0.8 0.1 0.1 A 0.1 0.7 0.2 B 0.2 0.1 0.7 4,某供应特需商品的商店,每周再周末营业一天,该店对某种不经常有人购买的商品 库存,采用下述订货策略:如结存 0 件或 1 件时,则一次定购 3 件,如结存超过 1 件时就不 定购. 凡在周末停止营业时定购的商品是为了准备在下周末出售. 这一订货策略保证商品的 初始库存量只能是 2 件,3 件或 4 件. 又根据统计,该商品每周的需求量为 0,1,2,3 件的概率分别为 0.4,0.3,0.2 和 0.1, 试建立一个转移概率矩阵, 用以说明由本周初始库存状态转为下周初始状态的概率. 在达到 稳定条件下,确定库存量为 2,3,4 的概率. 14
