所谓动力系统，就是一个集合上的单参数变换群，或者一个相流。

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所谓动力系统，就是一个集合上的单参数变换群，或者一个相流。有离散动力系统和连续动力系统之分。
连续动力系统定义在一个拓扑空间上，称为状态空间或相空间，通常是微微分流形，可以是无限维的，一个动力系统就是一个向量场，对应于
相空间自同构群的李代数，是一个无穷维李代数（有什么性质？）。一个李群的单参数子群和李代数有一一对应。相空间还可以有其它的数学结构，如复结构，
辛结构，黎曼流形，泊松结构，测度空间等等。
给定一个动力系统可以研究它的结构稳定性，所谓结构稳定性就是它的相图结构具有小扰动下的拓扑不变性，可以刻画为具有道路连通邻域。
所有结构稳定的系统构成一个开集（开子空间？，是否稠密？）。两系统称为同构的，如它们在同一个伴随轨道上，同构的系统他们的相图结构只差一个拓扑变换。
轨道是相图结构的基本单位，是最小的不变集。轨道的并集是不变集。系统在不变集上的限制称为子系统，一个变换若和系统相容则称为是系统的对称，一个系统和它的
无穷小对称是可换的。系统可在其一个对称群轨道空间上决定一个动力系统称为系统的商动力系统或约化系统。
除了对称性和结构稳定性，还可以研究系统的轨道的周期性，回归性，渐近行为，系统可积性和是否包含混沌和遍历性。
对于轨道可以有分为不动点，周期轨道，和概周期轨道等，再复杂一点就是混沌。
混沌对立面就是可积性。可积的轨道就是规则的轨道，相邻的轨道动力学行为相似的，可积的轨道就是周围的轨道都有相似的行为，比如都在一个环面或扭曲的柱面内运动。

辛几何

辛流形就是具有辛结构的流形，辛结构就是闭的非退化的二形式，闭的二形式称为预辛形式，非退化的二形式称为近辛形式。微分为分为辛形式的一形式称为接触形式。
辛流形就是可积的近辛流形。一个流形上的辛结构，复结构，和度量结构存在着相互制约关系。一个流形上是否存在辛结构有拓扑障碍。辛流形比偶数维且可定向。辛形式在辛流形上确定一个标准的体积形式。
流形上存在近辛结构当且仅当存在近复结构。辛几何和复几何在某种意义下（量子几何）是等价的（极有可能对的猜测），镜对称可以理解为两种几何的一种等价。
紧致无边辛流形偶维上同调非零。辛几何和复几何都不存在局部的几何。
（近）辛形式在流形切丛和余切丛间建立一个同构，该同构是辛几何上的分析的基本出发点。利用该同构可定义辛算子和逆辛算子（诺特算子），在微分一形式和向量场李代数之间建立一一对应，
微分算子和逆辛算子的复合为哈密顿算子，该算子把一个光滑函数变为一个向量场，利用哈密顿算子可定义辛流形上泊松括号，使得流形上函数空间构成一个无穷维的交换结合的泊松代数。
该代数的中心利的元素成为卡什米尔元素，物理上通常称该类元素为中心荷。
辛几何是经典力学中完整几何约束系统的数学抽象。哈密顿算子是辛流形上函数空间构成的李代数到向量场李代数的同态，该同态的像称为哈密顿向量场，一个哈密顿向量场定义了一个哈密顿动力系统。卡什米尔元素是辛流形上
所有哈密顿动力系统的守恒量。比哈密顿向量场集合稍大的一类元素构成的集合是辛向量场，类似于黎曼几何中的凯林矢量场，是辛几何的最大的对称李代数。
在辛算子下，辛向量场对应闭的微分一形式，哈密顿向量场对应于恰当形式（嘉当恒等式的简单推论，辛形式为闭形式所保证）。辛流形上有多少哈密顿向量场不是辛向量场由该流形的一阶德拉姆上同调群决定。

哈密顿动力系统

辛流形上有哈密顿向量场定义的动力系统称为哈密顿动力系统，所有的哈密顿系统都是辛动力系统，所谓辛动力系统，和辛向量场或单参数辛变换群可以看作是一样的，辛变换群是保持辛形式不变的微分变换，是辛几何的同构变换群，
辛向量场相当于黎曼几何中的凯林向量场。
所有的哈密顿系统和辛系统都构成李代数。辛流形上辛系统模掉哈密顿系统同构于辛流形的一阶德拉姆上同调。
辛流形上存在着一个标准的体积形式，它给定辛流形的定向，是辛形式的乘方。辛变换保持辛体积就如同等距变换保持黎曼流形上的体积形式。
保持辛体积的变换未必就是辛变换。
一个动力系统成为保守系统，如果它保持相空间上某种测度不变，辛动力系统都是保守系统，保守系统具有的一个有意思的性质就是庞加莱回归定理成立，保守系统必然具有很多好的回归性。
与保守系统相对的就是耗散系统。在系统论里对于耗散系统有更加广泛的刻画，与这里的不太一样。耗散性可以认为是双曲性的推广。
怎么样刻画双曲性呢？

辛流形上辛变换局部上存在母函数，无穷小辛变换在辛算子作用下对应闭的微分一形式，即局部恰当形式，从而存在局部原函数（嘉当引理），
那么辛变换的局部母函数和无穷小辛变换的局部原函数有何关系呢（只差一个指数映射或者说是对数关系？）？
辛变换局部上的母函数和哈密顿雅可比方程的解一一对应，其等值面是拉格朗日子流形，该等值面就是波动光学中的波前。
哈密顿动力系统和波动光学是对偶的。经典力学，波动光学，和量子力学之间的对应
哈密顿雅可比方程~---- 薛定额方程 费马原理~--- 哈密顿原理~--- 费曼积分

 


哈密顿动力系统就是存在整体原函数的无穷小辛变换。哈密顿动力系统的另一个描述就是它是一个梯度系统，即它来自于一个函数的梯度。
梯度系统的特征？。。。。梯度系统和保守系统的关系，梯度系统的相图有何特征？

一个函数的梯度是一阶协变张量场，为了得到一个向量场（一阶协变张量场），需要和一个二阶反变张量场做收缩，二阶反变张量场通常是
泊松张量或者是反变度规张量（诺特算子或升调算子的作用）。
给定系统的哈密顿函数~H/特征函数（通常记为~H）就完全确定了系统的演化规律~$X_{H}$，
力学系统的哈密顿函数通常是系统的总能量~= 动能~+ 势能。黎曼几何可以看成一种特殊的哈密顿系统。

诺特定理
诺特定理的重要性是不用说的，对称性的意义可以说就是诺特定理保证的，当然对称性决定相互作用的形式也是很重要的。
诺特定理说对应于系统的对称性的每一个自由度，都有系统的一个守恒流。物理理论都要求诺特定理成立，不论系统是有限维的还是无限维的。
在拉格朗日体系下，利用变分可以具体的写出这种对应。
在哈密顿或者辛几何框架下， 诺特定理几乎是平凡的。


辛作用和哈密顿作用

一个李群的保辛作用称为称为辛作用，若每一个群元的辛作用都有整体生成函数则称为哈密顿作用，
从李代数的水平上，称基本同态的值域包含在辛向量场集合内的作用为辛作用，
称基本同态的值域包含在哈密顿向量场集合内的作用为哈密顿作用。
一个李群的作用在微分的层次上完全由作用同态算子决定，作用同态算子就是李群的李代数到向量场李代数的李代数同态，
它和群作用相互确定。微分几何里和群作用相关的东西本质上都是利用它来定义的。

动量映射（矩映射：群的李代数到函数空间的一种和群作用相容的对应）
动量映射本质上就是哈密顿作用，有哈密顿作用就有动量映射，有动量映射就有哈密顿作用。给定一个哈密顿作用，
在差一个常数的意义下唯一对应一个动量映射，所以一个哈密顿作用对应的动量映射构成一个仿射空间（和联络空间类似，这里有什么关联呢），
动量映射不惟一性说明它可能对应于一个上同调类，事实确实如此。
从群表示的观点来看这是自然的，群在流形上的作用，就是群的一个无穷维表示，有表示就有上同调。
动量映射也是诺特定理的简洁表示。

泊松作用
哈密顿作用都是辛作用，反之未必。泊松作用是一种特殊的哈密顿作用，
特殊性在于它有一个动量映射是群的李代数到函数空间的泊松李代数的同态，哈密顿作用能不能成为泊松作用是有障碍的，
该障碍也是用群的上同调类表示。

哈密顿系统的对称性 辛约化 和 刘维尔可积系统（KAM 定理）

 

物理量子化
海森堡方程和拉克斯方程从泊松代数的角度，本质上是一样的，df/dt=[H,f],dL/dt=[A,L]。
哈密顿力学和量子力学在数学结构上是一样，前者是交换的空间（交换的~C* 代数）和辛泊松结构，
后者是非交换的空间（算子代数/非交换~C* 代数）和量子泊松括号，前者相空间是有限维辛流形（系统所有可能的位形和动量），
后者是无限维希尔伯特空间的（其中的元素是系统的波函数）。前者力学量（可观察量）是相空间上光滑函数，后者力学量是相空间上的自伴算子。
可观察量是力学量的特征值。
由函数到算子，由经典辛泊松结构到量子泊松括号的“对应”叫做量子化。这种通过类比建立量子系统的量子化通常叫做正则量子化。
物理上的量子化当然不是严格的数学手续。

 

两个代数对象是森田纪一等价的是指它们的模范畴是等价的，两个代数对象是森田纪一对偶的是指它们的模范畴是对偶的，
等价的两个代数对象，它们的~K 群（环）是同构的，它们的上同调理论是一样的。
对于代数拓扑合适的范畴是~CW 复形范畴，在~CW 复形范畴里代数拓扑的方法才能充分展开。

 

群最简单的分类就是交换群和非交换群的划分，然后就是单群，半单群和一般群。其次就是有限群，有限生成群，非有限生成群。交换群的范畴就是~Z- 模范畴，
存在一个交换化函子，从群范畴到交换群范畴，把一个群变为其极大阿贝尔商群，该函子本质上就是一维表示函子。

群的一维表示一一对应极大阿贝尔商群的表示，一维表示就是谱空间上的线丛（可逆层），
一维表示全体差不多就是线丛，
可逆层，除子类群（卡提尔，韦依），皮卡群数论中的理想类群等等，本质上是一类东西，它们之间有很完美的短正合列。
已知交换群可由其表示完全确定（富立叶变换，庞特利亚金对偶）。
一个群的所有表示可以确定群的正规子群和中心，非交换群的表示包含在非交换几何里。
可以把所有的群都理解成群代数（其实更应该看成霍普夫代数），群的表示就是群代数模，可把群范畴嵌入代数范畴或环范畴，群代数范畴嵌入模范畴，
两个环是森田纪一等价/对偶定义为它们的模范畴等价/对偶，等价和对偶是不同的。等价或对偶的（?）模范畴，它们的~K 理论是一样的，同调理论是一样的。

霍普夫代数（量子群），双代数是非常有意思的东西，它们的意义？？它们的表示？和物理的关系（顶点代数，拓扑量子场论，杨巴方程和可积系统）？


群可以认为是有最简单的单群通过扩张而得到，所有的代数结构都可以这么看。
一个群的扩张就是一个短正合列，0--->A--->C--->B--->0,C 称为~B 借助于~A 的一个扩张，
B 借助于~A 的每一个扩张都对应于短正合列~0--->A--->？--->B--->0 一个解。
若~A 是交换的，则称扩张为交换扩张，若~A 在扩张的中心里，则称为中心扩张，
这在数学物理里是重要的。若~A 是~C 的正规子群，C 就是~A 和~B 的直积，所以扩张总是存在的。
更一般地，阿贝尔扩张总是存在的，非阿贝尔扩张存在性一般有障碍（和三阶上同调的性质有关）。
在~A 是阿贝尔的情况下~B 借助于~A 的扩张的同构类一一对应于{B 在~A 上的表示}*{表示的二阶上同调群}
在给定~B 在~A 上的表示后，高阶上同调对应高阶扩张，即长正合列~0--->A--->N--->Cn--->...--->C2--->C1--->B--->0，其中~N 是~Cn 的交叉模。
一般情况下，不假定~A 是交换的，B 以群同构的方式作用在~A 上，此时群扩张的存在有障碍，和在~A 的中心上表示的三阶上同调类有关。
若障碍不存在，非阿贝尔扩张的同构类仍然对应于在中心上表示的二阶上同调类群。在群扩张有障碍情况，可有一个称为“圈（loop）”的代数结构代替群扩张，
“圈（loop）”是具有具有非结合乘法的代数结构。
高阶上同调的另一种意义可以用来描述非结合的乘法。群的上同调和规范反常的关系？

 


研究拓扑空间的结构，主要是通过研究空间的组合结构，即是研究空间的同调和同伦性质，当然拓扑空间理论的中心问题是空间的同构分类，
和所有的结构数学一样，分类问题往往不好直接结果，希望找到足够多的不变量。从本质上讲分类问题就是一个求解问题，
求解问题通常有障碍，障碍通常就是不变量。所以不变量理论。障碍理论，分类理论，和不变量理论本质上是相通的。
用范畴语言，有可能给这种统一一个清楚的表达。
在结构数学里，分类问题处于核心的地位，原则上它决定了该类结构的所有范畴性的问题，分类问题决定了所有的范畴性问题。
一个范畴性问题的求解通常是对一个函子性质的研究。研究的结果当然常见的就是导出函子（同调函子）。
很多范畴性的障碍问题，通常可以转化为对某一函子的研究。
从问题的转化角度来分析，分类问题可以向两个对立的方向转化，正面的是求解问题，反面的判定问题，
求解问题和判定问题本质上是统一的，在逻辑上它们是对偶的。分类问题通常没有算法解。求解问题是万里挑一，着眼与问题的正面，
若是不可能解，可尝试用反证法，但若是可能解，通常没有算法解。分类问题通常没有算法解。判定问题相对具体，通常有算法解，
求解问题等价于一类所有可能的判定问题。
各种同调理论，通常都是某类障碍问题的算法解。

所有的拓扑空间构成一个范畴，称为拓扑范畴，拓扑范畴的同构分类比较困难，可以考虑同伦范畴，同伦范畴是拓扑范畴的商范畴。
大部分拓扑不变量都是都是同伦范畴上的集值函子。同伦范畴上的函子称为同伦不变量。
对于代数拓扑，合适的范畴应该是~CW 复形范畴，或者~CW 复形的同伦范畴，只有在该范畴上才能充分发挥代数拓扑的方法的威力，
一般拓扑空间的范畴适合用点集拓扑或集论方法研究。
最简单的~CW 复形是各中维数的可缩空间，同伦于各维单位球体的，它们是同伦范畴的单纯对象，一个一般的有限~CW 复形，
就是由这些对象有限堆积（粘合）而成，堆积的方式还要满足维数的限制，只能是高维对象堆积在低维之上，反之不符合规则，
在同伦范畴里这种限制不是实质性的。也可以定义一些无限的~CW 复形，只需要加一些技术性的限制既可满足方法论的要求。

直和，直积在拓扑范畴，同伦范畴有定义，顺向极限和反向极限也可定义，极限对象所取拓扑为相应的弱拓扑或强拓扑。
纤维积和纤维和，等化子和余等化子可定义。拓扑范畴中可定义映射空间，乘积空间，直和空间对偶，映射空间，乘积空间也是" 对偶的"
严格的说乘以一个拓扑空间和取一个空间上的映射空间这两个函子是伴随的，这就是所谓的指数律，
在所有的张量范畴里，指数律都成立？
在~CW 复形范畴，以上函子有条件使用。
比较两个空间的复杂程度或者说由一个空间得到另一个空间通常有两种对偶的方法，一个是上纤维化，即是通过堆积来扩张一个空间，
另一个是纤维化，就是通过局部上乘以一些空间来膨胀一个空间。两种方法可在同伦范畴里操作，一个具有同伦扩张性质。
另一具有同伦提升性质。

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