为什么时空是弯曲的黎曼流形？

为什么时空是弯曲的黎曼流形？


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幻想在线 2006-12-30
　　为什么广义相对论断言时空是弯曲的黎曼流形？首先弯曲的定义是曲率不为零，即度规具有不为零的二阶导数（当然没有度规也可以定义曲率，但是这里仅限于广义相对论所假设的情况，注意时空是黎曼流形也是广义相对论的假设）。相应地，度规必然依赖于时空点。而狭义相对论的度规处处相同，可以认为其是一个平直的黎曼流形，那么需要证明的就是为什么有引力的情形下时空是弯曲的。

　　引力等效于时空的弯曲，这个想法来源于引力作用于一切物质的性质。即不可能避开引力建立一个惯性系——任何参考系可以依附的物质均受引力作用。那么就有两种观点，一是认为引力是独立于平直时空的客体，二是引力是时空自身的性质，这两种观点何种正确由于上面的原因不能通过观测区分，因而从经济的角度考虑选择后者更好。

　　下面需要解决的是，现在假设引力是时空自身的某种性质，那么这种性质究竟是什么。

　　首先，爱因斯坦假想的引力红移实验说明如果假设时空仍然是平直的，则红移不可能发生，因为各处的度规——相应地，时间流逝速度——应该相同。因而引力和非恒定的度规相关。

　　其次，引力是否只和度规相关？即引力是否只依赖于时空的几何？爱因斯坦的电梯假想实验说明，加速参考系在局域上等效于引力。加速参考系仅仅意味着Lorentz变换，不过此时的Lorentz变换依赖于坐标。在平直时空的不同点做不同的Lorentz变换意味着改变各点相对的度规，这就说明了，引力可以完全由时空的几何描述。