peng_56：广义相对论的引力理论主要思想就是质量分布影响周围的时空弯曲。但其至少是把星系看作粒子（或你说的小球a、b）的这样

在http://tieba.baidu.com/f?kz=363804006一帖中，本来已经谈到了什么是张量，但为了使更多人了解什么是张量，所以另开一帖，便于专题讨论，同时期待高手指导。

相信知道张量这个名词的人很多，但什么是张量，其定义是什么？其实很多人并不是很清楚，特别是用数学式定义。

什么是张量？简单的说就是“在任意坐标系都具有协变性的量就是张量”。但这种定义对一般人而言，却很难理解，其中提到的任意坐标系、协变性，不同的人有不同的理解。因而，只有数学形式上进行严格定义，才能无歧义，清楚明了。

2008-4-27 13:52 回复

peng_56
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2楼

下面给出张量的公理化定义。

2008-4-27 13:52 回复

peng_56
4位粉丝
3楼

2L的（2.19）式就张量的公理化定义。它同时也是张量的一般变换定律。满足（2.19）式的量，就是在任意坐标系都具有协变性的量－－张量。再说通俗一点就是，场中某一点的量从一个坐标系变换到另一个坐标系，只是一个比例关系，一个系数就搞定，该系数就是（2.19）式右边T前面的一串偏导的乘积。另外，注意这个式子是对高阶张量的一个广义的定义，看起来很烦，其实并不难。

另外，解释一下文中最下面一句（答“血染图腾”），为什么说“由张量定义可见，零阶张量是标量，一阶张量是矢量”呢？解释如下：

1、零阶张量是标量
很显然，在（2.19）式中当指标为0时，即零阶张量。
则（2.19）式为：

T'=T

这就是标量，其意义就是，T'等于变换到任意坐标系的T和一个系数（这儿为1）的乘积，这就是“在任意坐标系都具有协变性的量”，所以它是张量。

2、一阶张量是矢量
当（2.19）式中的指标为1时，即一阶张量。
则（2.19）式为：

T'^i = (dx'^i/dx^j) * T^j

而这实际上就是矢量的坐标变换式，所以说“一阶张量是矢量”。从式中可看出，矢量T'^i也等于变换到任意坐标系的T^j和一个系数（这儿为(dx'^i/dx^j)）的乘积，所以它是张量。

3、二阶张量
同理，只要满足：

T'^ij = (dx'^i/dx^n) * (dx'^j/dx^m)* T^nm

就是二阶张量。由此可见，度规g^ij也是张量，因为它满足上式。

2008-4-27 13:53 回复
风云
CloudK
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4楼

问下，这里对于相同的指标是意味着要求和吧？

2008-4-27 14:55 回复
图腾主义
血染图腾
215位粉丝
5楼

谢谢peng_56!继续问,同楼上,如:g^ijdx_idx_j中,相同的指标表示的是跑过1,2,3,...还是求和?还是同时满足跑过1,2,3,...与求和?这里比较混乱.

2008-4-27 17:12 回复

peng_56
4位粉丝
6楼

To：CloudK

没错，式中某项里有相同的指标就意味要求和。

例如：

T'^i = (dx'^i/dx^j) * T^j
　　 = (dx'^i/dx^1) * T^1 + (dx'^i/dx^2) * T^2 + (dx'^i/dx^3) * T^3

这在我的“简谈度规”一帖中也提到过。

To：血染图腾

像 ds^2 = g_ij*dx^i*dx^j 也是自动求和。

可以回忆一下席瓦西尔球对称外部真空解就知道了：

ds^2 = g_ij*dx^i*dx^j
　　 = -(1-2GM/r)*dt^2 + (1-2GM/r)^-1*dr^2 + r^2*dθ^2 + (rsinQ)^2*dφ^2

2008-4-27 17:51 回复
图腾主义
血染图腾
215位粉丝
7楼

这样的规律是无一例外的吧?也就是说,只要有那种形式的都是自动求和?
额...史瓦西解...我现在还看不懂那个...

2008-4-27 18:46 回复
风云
CloudK
330位粉丝
8楼

谢谢6L的解答，我还没有很强的能力运用张量的知识，所以目前只能问点基础的。

对于一阶张量，也就是矢量，这个变换：
T'^i = (dx'^i/dx^j) * T^j
　　 = (dx'^i/dx^1) * T^1 + (dx'^i/dx^2) * T^2 + (dx'^i/dx^3) * T^3
是不是普遍成立的？或者可不可以认为这个是判定一阶张量充要条件呢？
对于一些具有矢量性质的算符，也可以使用这个变换？


还有就是对于双指标的二阶张量，在求和的时候是不是类似于二重积分的方式求和？即先固定第一个指标，然后对第二个指标求和；再对第一个指标求和？先谢过回答。

2008-4-27 19:00 回复

sd439
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9楼

有两个相同的指标是求和，有三个的话，就需要检查公式是否写错了~
或者必须加上Sigma

2008-4-27 21:21 回复

peng_56
4位粉丝
10楼

7楼8楼不用客气，虽然本人所知有限，但只要有空，很乐意为真心求知的各位效劳。

To 血染图腾

对的，用张量较多的同行之间的论文，手稿，讲演等，一般不申明，都知道是自动求和。有些不是自动求和的情况反倒要注明一下。

To CloudK

没错，在矢量的坐标变换中是普遍成立的。说它是公理化定义，其实同时也是张量的一般变换定律。它应该是充要条件。至于“对于一些具有矢量性质的算符，也可以使用这个变换？”，应该是没问题的。问题是你所说的矢量性质的算符大概是指梯度、旋度之类的吧？但这些算符只是对于只懂矢量的人的一种简化写法，而张量中已经很简化了，并不用这些算符。比如，一个标量a的梯度，在张量中记为：a_,i即可。而散度则记为：b^i_;i,等等。所以并不存在算符的变换问题。

对于双指标的二阶张量求和，你说的没错。作为一个例子，就是我在6楼给出的“席瓦西尔球对称外部真空解”。

2008-4-28 16:22 回复
风云
CloudK
330位粉丝
11楼

明白了，非常感谢您的回答。

2008-4-28 17:21 回复
图腾主义
血染图腾
215位粉丝
12楼

在相对论中,X'_μ=a_μvX_v,仔细看,这并不符合张量的公理化定义啊.即x的指标没用通过a把指标升上去啊,也没有将无'变有'的符号…

这条留言是通过手机发表的，我也要用手机发表留言！ 2008-4-29 08:32 回复

peng_56
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13楼

X'_μ=a_μvX_v

不知你这个式子是从哪儿来的？如果“μv”都是下标的话，就不是张量式的记述方式了。在张量里，有用下标表示的协变张量、用上标表示的抗变张量（反变张量）以及上下标表示的混合张量。别看在式子里都是上下指标，像是很乱，实际上是一点都不能错的。如果违反记述规则，经验多的人一眼都可看出其错误。

这个式子像是线性代数里的一个线性方程组。你再确认一下，如果是 X'_μ=a_μ^vX_v 或 X'_μ=a_μvX^v 的形式就对了。

2008-4-29 10:30 回复
风云
CloudK
330位粉丝
14楼

还有个问题想请教下LZ。就是想请您结合一个简单的例子来解释一下张量变换的时候是如何求和的。因为我刚刚学这个时间不长，所以问题都比较基础，希望你能赐教，先谢过。

2008-4-29 21:32 回复
风云
CloudK
330位粉丝
15楼

接上面的问题。

2008-4-29 21:33 回复

peng_56
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16楼

ClouDK，恕我直言，你14楼给出的第一个式子，还是如13楼指出的，并不是一个张量式。当然你左边的T带了一个“‘”，表明和式右边的T不同，所以式子是成立的。在电动力学中，电磁张量的式可以写成你下面F_uv的形式是没错的。但这是一个协变二阶张量，它和抗变张量的关系应该是：

F_uv = η_uk*η_vl*F^kl

注意：左右的F是一样的（没带“‘”），但右边的kl是F的上标。（不知这是不是你的第一式？）

再来回答你的问题。不太清楚你为什么要用Lorentz变换矩阵，我只回答一般电磁学中Maxwell方程组在闵氏空间时，F^kl是如何变为F_uv的。

此时，一般电磁张量F^uv可定义为下列形式（常数为1）：

F^uv =　
| 0　　E1　E2　 E3 |
| -E1　 0　B3　-B2 |
| -E2　-B3　0　 B1 |
| -E3　B2　-B1　0　|

在闵氏空间：

η_uk =
| -1 0 0 0 |
|　0 1 0 0 |
|　0 0 1 0 |
|　0 0 0 1 |

由式 F_uv = η_uk*η_vl*F^kl，注意右边的kl各有2个，则实施求和约定。

（注意当u=v时，F_uv = 0）

F_12 = η_1k*η_2l*F^kl = η_11*η_22*F^12 = -1*1*E1 = -E1
F_13 = η_1k*η_3l*F^kl = η_11*η_33*F^13 = -1*1*E2 = -E2
F_14 = η_1k*η_4l*F^kl = η_11*η_44*F^14 = -1*1*E3 = -E2

其它F_21.....F_43，你可自己练习一下,结果为：

F_uv =　
|　0　-E1 -E2 -E3 |
| E1　 0　 B3 -B2 |
| E2　-B3　0　 B1 |
| E3　 B2 -B1　0　|

如果你想用Lorentz变换矩阵，就代替η_uk即可，算法一样。

2008-4-30 13:24 回复
风云
CloudK
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17楼

我知道我可能有些地方写的不规范甚至是错误的，不过没关系，LZ可以尽您所言。先谢过您能回答我的问题，毕竟我也刚刚学习张量运算。按照您的说法，我再算算看，如果还有异议就还来讨教。再次表示感谢。

2008-4-30 13:35 回复

菜鸟终极版
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18楼

楼主,你好.
看来你对广义相对论比较熟悉.请你指点一下.
你有无曾经尝试用相对论算过,一个简单的物理模型.

一个小球a获得速度后,它对静止的球b产生的引力效应会如何变化
请看此贴48,55.
http://tieba.baidu.com/f?kz=364076622

2008-4-30 13:45 回复

peng_56
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19楼

广义相对论的引力理论主要思想就是质量分布影响周围的时空弯曲。但其至少是把星系看作粒子（或你说的小球a、b）的这样一个规模。这时，如果一个小球（星系）和另外一个小球（星系）的距离发生变化时，周围的时空当然要发生变化，还会有引力波产生。如果是很小的球体，只能说从理论是成立的，但很难计算。

2008-4-30 15:13 回复

peng_56
4位粉丝
20楼

CloudK不必客气，有问题只管问，互相学习。不过接下来几天，我将出外旅游，不能及时回复，有问题留下，回后答复。

2008-4-30 15:20 回复
图腾主义
血染图腾
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21楼

谢谢peng_56吧友的指点。

2008-4-30 15:31 回复

菜鸟终极版
0位粉丝
24楼

如果是很小的球体，只能说从理论是成立的，但很难计算。
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诶22楼,不见了.

peng_56,你好.

一个质点a,和一个质点b.相对静止的时候,有引力效应.
其中一个质点a有瞬间速度v,相对b运动.此时瞬间的引力效应发生怎样的变化.
(你可以理解为a,绕质点b圆周运动,半径为l,或者直线也可,选方便计算的就可以了,想知道的只是这个瞬间的引力效应会如何变化. )

这应该是一个很简化的物理模型了. 真的这么难计算吗. 请问你学广义相对论多久了??

2008-4-30 15:45 回复

菜鸟终极版
0位粉丝
26楼

peng_56,我觉得很不解,你好像在吧里发了不少广义相对论的计算方法知识.
这个问题真的这么难计算 ??? 用张量算黑洞比这个要容易???

用牛顿力学考虑,你的理解,认为会怎样.???

2008-4-30 15:52 回复
风云
CloudK
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27楼

LZ能抽空回答，我已经很感激了!如果还有不明之处，我会来此继续请教。

2008-4-30 15:57 回复
图腾主义
血染图腾
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28楼

有个疑惑,对偶空间的存在到底有什么必要?

这条留言是通过手机发表的，我也要用手机发表留言！ 2008-5-1 01:00 回复

peng_56
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30楼

我觉得是很多人对定义（2-19）式的一连串的上下标写法不太习惯，没有看清它的本质。

2008-5-12 21:11 回复

peng_56
4位粉丝
32楼

这个......没听说过。从定义上看不出来。

2008-5-12 21:22 回复

Schrodinger
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33楼

我觉得是很多人对定义（2-19）式的一连串的上下标写法不太习惯，没有看清它的本质。


作者： peng_56 2008-5-12 21:11 　 回复此发言 删除

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那就少弄几个上下标吧。为了便于理解，放弃一些普遍性还是可以接受的。

2008-5-12 21:50 回复

peng_56
4位粉丝
34楼

为了便于理解，放弃一些普遍性还是可以接受的。
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实际上很难。不光是书中的定义，即使是讲张量的老师一上来在黑板上也是一串的上下标。往往还嫌不够，就像上面的文中，还要加一些省略号。道理很简单，因为定义是普适的，不说清楚，反遭非议。毕竟不像我们在此神侃，出了错没有任何责任，也谈不上面子的问题。所以，怎样能让对方理解就怎样侃。

2008-5-12 22:10 回复

peng_56
4位粉丝
36楼

这里本来就不是解决问题的地方。这儿的神侃、闲聊相当研究室的coffee break，能对某些人的思索或理解某问题有点启发已经是不错了。